UM PROCEDIMENTO PARA CALCULAR ÍNDICES A PARTIR DE UMA BASE DE DADOS
MULTIVARIADOS
Introdução
O problema de se estabelecer índices para ordenar objetos pode ser facilmente
entendido através dos dois exemplos a seguir:
1. Considere um conjunto de pacientes em um hospital sobre os quais
são observadas variáveis relacionadas a sua saúde. Suponha que se
deseja ordenar esses pacientes segundo seu "grau de saúde".
2. Considere que foram observadas variáveis relacionadas com poluição
da água em diversos pontos do litoral do Estado do Rio de Janeiro, e
que se deseja ordenar esses pontos segundo seu "grau de
poluição".
Esses são exemplos em que surge a necessidade da construção de um índice para
ordenar objetos (pacientes, pontos no litoral, etc.) segundo um conjunto de
variáveis observadas. O problema de construção de índices tem sido resolvido
buscando uma forma adequada para essa ordenação. A abordagem desse trabalho tem
base nos trabalhos de Kendall (1939), e posteriormente Theil (1960), que
estabeleceu um índice linear ótimo no sentido da quantidade de informação
contida nos dados. Aqui também foi utilizada a técnica de Análise de
Componentes Principais para obter a participação de cada variável na construção
do índice. Além disso, neste trabalho, é tratado também o problema de seleção
das variáveis usadas para construção do índice. Esta seleção é feita com
auxilio de outra técnica de análise multivariada, a técnica de Análise de
Grupamento, que é usada no sentido de descartar variáveis consideradas pouco
importantes do ponto de vista estatístico. Além desses aspectos, é dada uma
ênfase especial na interpretação do índice, isto é, no significado da ordenação
obtida.
O trabalho foi dividido em duas partes. Na seção 1 são detalhados os passos
para a construção do índice. Na seção 2 o procedimento proposto é aplicado em
um problema de ordenação de países da América Latina, tendo como critério
variáveis econômicas, e em um problema de ordenação das regiões brasileiras
tendo como critério os Indicadores Sociais Mínimos do IBGE.
1. Definição do Índice
Seja um conjunto de objetos O1,¼ , On que se deseja ordenar, segundo
características associadas à um conjunto de variáveis X1,¼, Xp . Assim, a cada
objeto Oj associamos um valor
onde:
xij é o valor da i-ésima variável observada para o j-ésimo objeto;
ai é o peso da i-ésima variável (importância da variável na
construção do índice I);
Na tentativa de construção do índice I, é necessário primeiramente selecionar
variáveis, e posteriormente ponderá-las. Esses dois aspectos do problema serão
abordados nesse trabalho, usando duas técnicas de análise multivariada. A
Análise de Grupamento será usada para seleção das variáveis, e a Análise de
Componentes Principais será usada para ponderá-las.
1.1 Seleção de Variáveis
Considere um conjunto inicial de k variáveis, a partir do qual um subconjunto
de n < k será escolhido. As n variáveis escolhidas deverão guardar as
principais características observadas nas k variáveis iniciais. Isto é, serão
excluídas as variáveis "pouco importantes do ponto de vista
estatístico". Serão consideradas "pouco importantes" aquelas
variáveis que, se excluídas de uma análise estatística, não alteram seu
resultado. A análise estatística escolhida foi a Análise de Grupamento, pois
esta fornece uma estrutura de semelhança entre os objetos que poderá servir de
auxílio na avaliação do índice obtido. Essa abordagem para seleção de variáveis
já foi utilizada anteriormente em Kubrusly (1992). Outra abordagem para o
problema de seleção de variáveis pode ser encontrado em Tanaka & Mori
(1997).
A Análise de Grupamento é uma técnica de análise estatística multivariada que
procura grupar objetos semelhantes segundo o critério dado pelo conjunto de
variáveis observadas. O modelo de Análise de Grupamento foi descrito por Lucas
(1982) da seguinte forma:
Seja X = {X1, ¼,Xp}um conjunto de variáveis, e
O = {O1 ,¼,O} no conjunto de objetos que se deseja grupar.
Com base no conjunto X, determinar uma partição de O em grupos gi tal que:
se
Or e Os
Î
gi ÞOr e Ossão semelhantes,
se
Or
Î
gi
e
Or
Î
gj ÞOr e Ossão distintos.
Para solução desse problema é necessário calcular as distâncias entre os
objetos no espaço das variáveis. Essas distâncias fornecem as medidas de
similaridade entre os objetos. Mais detalhes sobre a escolha das métricas, e
escolha de métodos para análise de grupamento, pode ser visto em Barros (1992).
Voltando a questão da seleção de variáveis, o procedimento adotado nesse
trabalho pode ser assim descrito:
1. Obter uma solução de análise de grupamento para o conjunto inicial de k
variáveis;
2. Faça i =1;
3. Excluir Xi do conjunto inicial, e repetir a análise. Comparar com o
resultado obtido no passo 1;
4. Se os resultados são similares, exclua Xi do conjunto de variáveis
selecionadas. Senão mantenha;
5. Faça i = i + 1, se i = k + 1 pare, senão volte ao passo 3.
1.2 As Ponderações
Na construção de índices, muitos métodos são utilizados para ponderar as
variáveis. O objetivo é obter pesos que traduzam a importância das variáveis.
Em análise estatística, uma medida de importância muito usada é a variância. De
certa forma, a variância traduz o a informação contida na variável. Ao
construirmos um índice como uma combinação linear de variáveis, é desejável que
este tenha a maior variância possível, ou seja, que contenha o máximo de
informação fornecida pelo conjunto de variáveis selecionadas. Um método que
cria combinações lineares com essa propriedade (máxima variância), é a Análise
de Componentes Principais. Por isso esta será a técnica utilizada neste
trabalho para construção do índice.
O modelo de Análise de Componentes Principais será empregado na sua forma
clássica como foi descrito em Johnson & Wichern (1992). Pesquisas mais
recentes desse modelo podem ser encontradas em Cazes, Chouakria, Diday &
Schektman (1997) ou em Le Cercle Factoriel (1997).
Seja X = (X1,¼ , Xp ) um conjunto de variáveis observadas sobre n objetos.
As componentes principais Ci são definidas como:
<formula/> sujeito a:
var(Ci ) = máxima
cor (Ci,Ci) = 0 para i ¹ i' , i = 1,¼ , p.
A solução do modelo é dada pela decomposição da matriz de covariância (ou
correlação) em seus auto-valores e auto-vetores. O índice I será identificado
com a primeira componente principal C1, pois esta é a combinação linear das
variáveis que possui a maior variância.
Na aplicação desse método para construção de índices, a solução será tanto
melhor quanto maior for a proporção da variância total contida na primeira
componente C1. Em alguns casos é possível a construção de índices
bidimensionais, desde que facilmente interpretáveis, identificados com as duas
primeiras componentes principais (veja Theil, 1960). Nesses casos é necessário
lembrar que a primeira componente (que fornece o primeiro índice) será mais
importante que a segunda (que fornece o segundo índice) devido à sua maior
variância. Intervalos de confiança para os índices podem ser estudados a partir
dos intervalos de confiança definidos para o modelo de análise de componentes
principais. Um ponto de partida para esse estudo pode ser encontrado em
Jolliffe (1986).
2. Aplicações
2.1 Ordenação de Países da América Latina
Esta aplicação tem como objetivo ordenar países da América Latina, segundo
algumas variáveis sócio-econômicas. O conjunto de dados iniciais é formado por
8 variáveis sócio-econômicas observadas em 15 países. Os demais países da
América Latina foram excluídos pois não apresentavam dados suficientes nas
fontes pesquisadas. Abaixo listamos os países e as variáveis utilizadas.
Os Países:
Argentina Costa Rica México
Bolívia El Salvador Paraguai
Brasil Equador Peru
Chile Guatemala Uruguai
Colômbia Honduras Venezuela
As Variáveis Iniciais:
PIB ' Taxa média de crescimento anual do produto nacional bruto per capita
(1991 ' 1996).
INFLAÇÃO ' Taxa média da variação anual do INPC (1995 ' 1996).
DESEMPREGO ' Taxas médias anuais dos indicadores de desemprego urbano (1995 '
1996).
JUROS EXTERNOS ' Relação entre os juros externos totais e as exportações de
bens e serviços (1995 ' 1996).
CÂMBIO ' Índices de taxas de câmbio efetivo real, ponderado pela importância
relativa das exportações para cada parceiro comercial.
JUROS ' Taxas reais de juros deflacionadas pela variação dos preços ao
consumidor.
RENDA ' Renda per capita ($).
GASTOS SOCIAIS ' Gasto Social per capita ($); média entre 1994 e 1995.
Fontes:
CEPAL ' Panorama Social de América Latina, 1996.
WORLD BANK ' World Development Report, 1996.
A Seleção de Variáveis usando Análise de Grupamento
Para a solução de Análise de Grupamento tendo como critério as oito variáveis
sócio-econômicas, foi usado o software SPSS 8.0, com o método Ward, e distância
euclidiana. A representação pelo dendograma está dada abaixo:
Nesta análise destaca-se três grupos de países semelhantes. O primeiro contém
COLÔMBIA, EQUADOR, PERU, BRASIL. No segundo grupo estão BOLÍVIA, HONDURAS,
COSTA RICA, MÉXICO, EL SALVADOR, GUATEMALA, PARAGUAI, CHILE, VENEZUELA, sendo
que esta última aparece um pouco afastada dos demais. O terceiro grupo é
formado por ARGENTINA e URUGUAI.
Conforme o procedimento descrito anteriormente, foram retiradas uma a uma as
variáveis e foi primeiramente obtida uma solução de Análise de Grupamento
similar a anterior com sete variáveis (excluindo "JUROS"), e a seguir
foi possível ainda retirar "DESEMPREGO" sem que a solução de Análise
de Grupamento fosse fortemente afetada. Abaixo mostramos a solução com as seis
variáveis selecionadas: PIB, INFLAÇÃO, JUROS EXTERNOS, CÂMBIO, RENDA, GASTOS
SOCIAIS.
Comparando-se essa solução com a anterior observa-se os mesmos grupos de países
semelhantes, exceto o CHILE que nessa última solução vem se juntar a ARGENTINA
e URUGUAI.
A Construção do Índice via Análise de Componentes Principais
A Análise de Componentes Principais para as seis variáveis observadas sobre os
países foi realizada, e foram mantidas as duas primeiras componentes que
correspondem a 62% da variância total. Uma discussão sobre o número de
componentes mantidas na Análise de Componentes Principais, pode ser encontrada
em (Johnson & Wichern, 1992). O resultado, obtido com o auxilio do software
SPSS 8.0, está na Tabela_1:
De acordo com esse resultado a primeira componente mantém 40% da informação
contida nos dados (medida pela variância). Os coeficientes da tabela medem as
correlações entre as variáveis e as componentes. Dessa forma a primeira
componente fornecerá um índice apresentando valores altos para países com maior
PIB, RENDA, GASTO SOCIAIS, e menor INFLAÇÃO. As ponderações das variáveis serão
os coeficientes de escore de C1, isto é, seu auto-vetor dividido pela raiz
quadrada do auto-valor correspondente. Assim as variáveis recebem os seguintes
pesos:
PIB 0,299
INFL -0,132
CAM 0,178
JUREX 0,191
RENDA 0,353
GASTSOC 0,340
Finalmente, usando a definição para o índice:
<formula/>onde:
xij é o valor da i-ésima variável observada para o j-ésimo país,
ai é o peso da i-ésima variável,
é possível ordenar os países conforme a lista abaixo:
ARGENTINA 2,4
URUGUAI 1,42
CHILE 0,97
BRASIL 0,47
PERU 0,40
COLÔMBIA 0,07
COSTA RICA -0,13
EL SALVADOR -0,27
MÉXICO -0,33
EQUADOR -0,35
GUATEMALA -0,70
BOLÍVIA -0,86
VENEZUELA -0,86
PARAGUAI -1,10
HONDURAS -1,13
Observando esse resultado é possível perceber os três grupos apontados pela
Análise de Grupamento. Confirma-se a semelhança de ARGENTINA, URUGUAI, e CHILE,
e também BRASIL, PERU, e mais fracamente COLÔMBIA. Os demais países, que
formavam um grande grupo na Análise de Grupamento, aparecem aqui todos com
índices negativos. Dessa forma, as duas análises fornecem resultados coerentes.
Ordenação de Regiões Brasileiras
Esta aplicação tem como objetivo ordenar as cinco regiões geográficas
brasileiras, segundo variáveis extraídas dos Indicadores Sociais Mínimos do
IBGE (1998). Abaixo listamos as regiões e as variáveis utilizadas.
As Regiões
NORTE ' Rondônia, Acre, Amazonas, Roraima, Pará, Amapá, Tocantins.
NORDESTE ' Maranhão, Piauí, Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco,
Alagoas, Sergipe, Bahia.
SUDESTE ' Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro, São Paulo.
SUL ' Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul.
CENTRO OESTE ' Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Goiás, Distrito Federal.
As Variáveis Iniciais
RMEDIA ' Rendimento médio mensal familiar.
IGINI ' Índice de Gini.
TXATIV ' Taxa de atividade das pessoas de 15 a 65 anos.
ESTUDOS ' Média de anos de estudo das pessoas de 10 anos ou mais de idade.
TXANALF ' Taxa de analfabetismo das pessoas de 15 anos ou mais de idade.
NPESSOAS ' Número médio de pessoas por domicílio.
AGTRAT ' Percentual de domicílios com água tratada.
LXCOLET ' Percentual de domicílios com lixo coletado.
A Seleção de Variáveis Usando Análise de Grupamento
Para a solução de Análise de Grupamento tendo como critério as variáveis
iniciais, foi usado o SPSS 8.0, com o método Ward, e distância euclidiana. A
representação pelo dendograma está dada abaixo:
Esse resultado apresenta dois grupos bem distintos, separando as regiões Norte
e Nordeste das demais. Nota-se também que as semelhanças entre as regiões Sul,
Centro Oeste, e Sudeste, é mais acentuada que a semelhança entre as regiões
Norte e Nordeste.
Conforme o procedimento descrito anteriormente, foram retiradas uma a uma as
variáveis até reduzir o conjunto de variáveis iniciais para o seguinte conjunto
de variáveis selecionadas: RMEDIA, TXATIV, ESTUDO, AGTRAT. A nova solução para
Análise de Grupamento, idêntica a solução anterior, está mostrada abaixo:
A Construção do Índice via Análise de Componentes Principais
Para a solução do modelo de Análise de Componentes Principais foi usado o
software SPSS 8.0. A ACP para as quatro variáveis observadas sobre as regiões
geográficas forneceu o seguinte resultado:
Nesta solução, a primeira componente é responsável por 76% da variância total,
e fornecerá um índice com as seguintes ponderações para as variáveis:
RMEDIA 0,323
TXATIV 0,183
ESTUDO 0,309
AGTRAT 0,306
Utilizando essas ponderações para construção do índice, foi possível ordenar as
regiões geográficas brasileiras conforme está mostrado abaixo:
SUDESTE 0,99
SUL 0,84
CENTRO OESTE 0,16
NORTE -0,63
NORDESTE -1,37
Também nessa aplicação o índice obtido está coerente com o resultado da Análise
de Grupamento, que separa as regiões SE, S, CO das regiões N e NE.
Comentários Finais
Na abordagem usada nesse trabalho para construção de índice, duas técnicas de
análise multivariada foram utilizadas, a Análise de Grupamento e a Análise de
Componentes Principais. Em muitos casos pode ser interessante aproveitar o
poder altamente descritivo dessas duas técnicas para interpretação do índice
resultante. Em particular, a Análise de Componentes Principais analisa a matriz
de correlação das variáveis, e por seu resultado é possível saber se um único
índice é adequado para a ordenação, ou se o conjunto de variáveis fornece duas
ou mais dimensões igualmente importantes. Nas aplicações apresentadas neste
trabalho, uma única componente foi escolhida para construção do índice devido a
sua variância, sensivelmente maior que a da segunda componente. Além disso, foi
mostrada a coerência dos resultados das duas técnicas em ambas aplicações. Na
verdade, o índice obtido ordenou os grupos apontados pela Análise de
Grupamento.
Na aplicação ordenando os países da América Latina, o índice obtido pode ser
considerado como um índice de desenvolvimento econômico, já que as variáveis
mais importantes (com maior peso) na sua construção foram PIB, RENDA, GASTO
SOCIAL, e considerando também que a variável INFLAÇÃO teve peso negativo.
Na segunda aplicação, o índice obtido pode ser associado ao desenvolvimento
econômico e social de cada região geográfica brasileira. Embora o resultado
tenha sido o esperado, a análise de grupamento indicou claramente que o grupo
com maior desenvolvimento sócio-econômico (SE, S, CO) tem um grau de semelhança
bem maior que o grupo formado pelas regiões menos desenvolvidas (N, NE). Por
outro lado, por meio do índice foi possível "quantificar" essas
semelhanças e diferenças.
É importante ressaltar que embora o procedimento proposto seja inteiramente
baseado em duas técnicas de análise, a sua utilização não deve ser desvinculada
de uma interpretação adequada. Daí a importância da escolha das variáveis
incluídas no índice. Na verdade não há dificuldade técnica em se construir um
índice com 100 ou mais variáveis. Alguns analistas adotam essa postura, na
esperança de "não perder informação alguma", mas o resultado será um
índice cujo significado dificilmente será percebido.
