Método de estimativa dos limites da carta de controle não paramétrica que monitora
simultaneamente a média e variância
1 Introdução
A importância do controle estatístico de processo
(CEP), como tema de pesquisa, pode ser visualizada
na Figura 1, que mostra o crescimento do número
de publicações indexadas na base de dados Web of
Science, de 1956 a 2013. Há mais de meio século, o
CEP tem desempenhado um papel fundamental no
controle e melhoria da qualidade e produtividade
de processos industriais (Baker & Brobst, 1996;
Graves et al., 1999; Duarte & Saraiva, 2008), baseado,
inicialmente, na carta de controle clássica de Shewhart,
que pressupõe que os parâmetros estatísticos média
e desvio padrão do processo sejam conhecidos.
A questão primária relativa ao CEP é compreender
a variabilidade de uma característica da qualidade,
estabelecer o controle do processo e promover sua
melhoria (Woodall, 2000).
Em geral, se desconhece os parâmetros estatísticos,
o que afeta a eficiência no uso desses gráficos
de controle na detecção de uma causa especial,
pois, normalmente, os limites de controle são
calculados a partir de estimativas de tais parâmetros
(Jensen et al., 2006; Castagliola et al., 2009; Castagliola
& Maravelakis, 2011). Se os parâmetros estatísticos
são desconhecidos, eles são estimados e os limites
de controle são determinados a partir de k amostras
de tamanho n, o que se denomina de fase I. Na fase
II, extraem-se amostras de tamanho n do processo,
buscando se verificar se este se encontra em estado
de controle. Caso o valor da estimativa do parâmetro,
calculado a partir da amostra, não esteja dentro dos
limites de controle, o processo é admitido fora de
controle, e uma provável causa assinalável deve
ser identificada e ações corretivas tomadas para
reestabelecer o seu status quo (Montgomery, 1992).
Pesquisas recentes têm avaliado o desempenho
dos gráficos de controle, tanto na fase I como na fase
II, quando os parâmetros são desconhecidos, com o
propósito de estabelecer novos procedimentos que
melhorem o desempenho desses gráficos e, assim,
minimizar os riscos a (erro tipo I) e ß (erro tipo II)
(Chen, 1997; Jones et al., 2001; Epprecht et al., 2005;
Chakraborti & Human, 2006; Chakraborti, 2006;
Castagliola et al., 2009; Costa et al., 2009;
Ozsan et al., 2009; Costa et al., 2010; Trovato et al., 2010;
Zhang & Castagliola, 2010; Boone & Chakraborti,
2011; Castagliola & Maravelakis, 2011; Costa &
Machado, 2011; Zhang et al., 2011; Castagliola &
Wu, 2012; Lee, 2013).
A medida de desempenho de um gráfico de controle
na fase II, comumente utilizada, é a ARL (Average
Run Lenght), que indica o número médio de amostras
necessárias para detectar uma mudança nos parâmetros
do processo. Assim, um tipo de gráfico de controle
é considerado melhor que outro quando apresenta
menor ARL na fase de monitoramento. Porém, caso
o processo esteja sob controle, é desejável que o
ARL seja o máximo possível. Um problema prático
na aplicação dos gráficos de controle clássicos de
Shewhart é que a sua eficiência (ARL) é afetada
pela distribuição de probabilidade dos dados.
Quando a distribuição dos dados é assimétrica, os
métodos não paramétricos se mostram mais eficientes
(Montgomery, 2004; Chakraborti & Human, 2006).
Para Boone & Chakraborti (2011), as vantagens dos
métodos não paramétricos são: eles requerem poucos
pressupostos estatísticos sobre a distribuição dos
dados e são relativamente fáceis de serem aplicados
no chão de fábrica.
Os gráficos de controle tradicionais foram
concebidos para monitorar dois parâmetros: uma
medida de posição central e uma de dispersão,
normalmente a média e o desvio padrão. As razões
para o monitoramento desses dois parâmetros são
encontradas em Box et al. (1978), Montgomery &
Runger (2003) e McCracken & Chakraborti (2013).
Porém, tem tido destaque nas publicações científicas
propostas para monitoramento simultâneo, em um
único gráfico, desses dois parâmetros e, em especial,
os gráficos de controle não paramétricos (McCracken
& Chakraborti, 2013). Essa opção de gráfico facilita o
seu uso pelos gerentes e operadores no chão de fábrica,
pois, com um único parâmetro, é possível identificar
a presença de causas especiais no processo, e, por
ser não paramétrico, o torna livre do pressuposto da
normalidade da distribuição de probabilidade.
Figura 1. Publicações sobre controle estatístico de processo extraídas da base Web of Science, para o período de 1956 a 2013
(Thomson Reuters, 2013).
O uso combinado das medidas de locação e escala
foi analisado por Mukherjee & Chakraborti (2012),
os quais definiram, por meio do uso de simulação
computacional, os limites de controle (H, H1 e H2)
para um conjunto de combinações de tamanhos de
amostra para a fase 1 (m) e para a fase II (n). Porém, os
resultados apresentados pelos autores estão limitados
a um conjunto de valores de m e n, o que restringe
o seu uso na prática.
Pesquisa bibliométrica, realizada na base Web
of Science, indica que há poucos estudos sobre o
uso de técnicas estatísticas não paramétricas para o
monitoramento de processos. A Figura 2 mostra, por
meio da frequência acumulada, os registros de artigos
publicados nos últimos trinta anos. Relações entre
palavras-chave pertinentes aos estudos sobre métodos
não paramétricos são encontradas na Figura 3; por
exemplo, observe a coocorrência entre as palavras-chave
“NONPARAMETRIC” com as palavras “CUSUM”,
“RUN LENGHT” e “DISTRIBUTION FREE”.
A Figura 2 mostra um aumento nas pesquisas sobre
o tema a partir de 2006, o que indica ser esse tema
relativamente novo nas pesquisas sobre controle
estatístico de processo. A Figura 4 mostra os principais
autores que publicam sobre gráficos de controle não
paramétricos. Observa-se que Chakraborti é o autor
nucleador do tema “NONPARAMETRIC”. Esse artigo
apoia-se nas pesquisas de Mukherjee & Chakraborti
(2012) para o desenvolvimento de um framework
para uso de gráficos de controle não paramétrico.
A próxima seção deste artigo apresenta uma revisão
bibliográfica sobre controle estatístico de processo
e cartas de controle sintética. A seção 3 apresenta o
procedimento de pesquisa. A quarta apresenta um
modelo empírico para estimativa dos limites de
controle, ilustra a aplicação do gráfico de controle não
paramétrico proposto e discute a validação do modelo.
Nas seções seguintes, compara-se o desempenho do
gráfico de controle proposto, em relação às cartas de
Shewhart, e analisam-se as melhores condições das
variáveis m e n por meio da técnica de superfície
de resposta.
2 Fundamentação teórica
2.1 Conceitos básicos de CEP
Controle estatístico da qualidade, segundo
Montgomery (2004), é um conjunto de técnicas
estatísticas utilizadas na medição, monitoramento,
controle e melhoria da qualidade. O CEP é uma das
técnicas clássicas do controle estatístico da qualidade
e seu pressuposto é que há uma variação inerente ao
processo, denominada de variação natural, a qual,
em geral, tem como causas muitas variáveis que
produzem individualmente pequenos efeitos e são
difíceis de serem detectas e eliminadas. Por outro
lado, há as causas especiais que produzem grandes
efeitos; elas são poucas e mais fáceis de serem
detectadas (Woodall, 2000; Michel & Fogliatto, 2002;
Montgomery & Runger, 2003). A distinção entre
causa comum e causa especial é dependente do
contexto - uma causa comum hoje pode ser uma
causa comum amanhã – o que pode afetar o processo
de amostragem (Woodall, 2000). Do ponto de vista
prático, deve-se agir sobre a causa quando esta tem
suficiente impacto econômico sobre a qualidade
(Woodall, 1985, 2000).
Figura 2. Número acumulado de Publicações sobre gráficos
de controle não paramétricos. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 3. Coocorrência de palavras-chave sobre controle estatístico não paramétrico. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 4. Redes de pesquisadores que publicam sobre gráficos de controle não paramétricos. Fonte: Dados de pesquisa.
Um processo sobre o qual só têm agido variações
naturais é denominado estado estável, ou sob controle.
Por outro lado, quando o processo tem, além das
variações naturais, a presença de causas especiais ou
assinaláveis, este estaria fora de controle. A implantação
de gráficos de controle é feita em duas fases: na fase
I, em que se estimam os parâmetros estatísticos e se
estabelecem os limites de controle; e na fase II, em
que se monitora o processo. Na fase II, amostras são
coletadas do processo, os parâmetros são estimados
e seus valores são comparados com os limites de
controle determinados na fase I (Montgomery, 2004).
O desempenho dos gráficos de controle é, em
geral, avaliado por diferentes métricas a depender
da fase. Como já mencionado, a métrica utilizada
para a avaliação do desempenho dos gráficos de
controle na fase II é o ARL. Para um processo sob
controle, o valor do ARL é dado por , e
para um processo fora de controle, o <formula/>;
em que a e ß são os erros tipo I e II, respectivamente
(Montgomery, 2004).
2.2 Carta de controle não paramétrica com monitoramento simultâneo de locação
e escala
Tendo como referência o trabalho de Mukherjee
& Chakraborti (2012) e com base no teste não
paramétrico clássico WRS (Wilcoxon Rank-Sum),
proposto por Gibbons & Chakraborti (2011), que
definiram a estatística de teste para a locação, T1,
para uma amostra de tamanho na fase I e na fase II,
utiliza-se o teste estatístico dado pela Equação 1.
<formula/>
Em que Zk = 1 quando os dados N (em que N = m+n)
são provenientes de amostras independentes da
fase II; e Zk = 0 quando os dados são provenientes
de amostras independentes da fase I.
O teste estatístico não paramétrico para a medida de
escala é o AB - Freund-Ansari-Bradley-David-Barton,
T2, descrito por Gibbons & Chakraborti (2011) e
calculado pela Equação 2.
<formula/>
Um processo é dito sob controle quando F(x) a
distribuição de probabilidade da fase I, e G(y), a
distribuição de probabilidade da fase II, forem iguais
(F = G) para os parâmetros de locação e escala.
Caso contrário, o processo é dito fora de controle.
Extraindo-se U amostras de tamanho m referentes
à fase I e V amostras de tamanho n da fase II, as
estatísticas de testes T1 e T2 e são determinadas.
A partir desses testes estatísticos (T1 e T2), Mukherjee
& Chakraborti (2012) determinaram os limites de
controle H, H1 e H2 para algumas combinações de
valores para m e n.
A esperança matemática e a variância da estatística
T1, para um processo sob controle, são obtidas pelas
Equações 3 e 4:
<formula/>
<formula/>
Para a estatística T2, a esperança matemática e
a variância são dadas pelas Equações 5, 6, 7 e 8,
indicadas a seguir:
<formula/>
<formula/>
<formula/>
<formula/>
IC (In Control) indica que o processo está sob
controle.
Utilizando-se da carta de controle de Shewhart-Laplace (SL), Mukherjee & Chakraborti (2012)
propõem um procedimento de oito passos para a
construção de uma carta de controle não paramétrica.
Esse procedimento usa as estatísticas padronizadas
dos testes WRS e AB (Equações 9, 10 e 11) e a
estatística Si
2 (Equação 12):
<formula/>
<formula/>
<formula/>
<formula/>
A estatística Si2 é plotada e comparada com o
limite de controle H. Caso esteja abaixo do limite de
controle, o processo é declarado em estado de controle;
caso esteja acima, o processo é declarado fora de
controle, e as estatísticas S1i e S2i são comparadas,
respectivamente, com os limites de locação H1 e de
escala H2 . Se ambas as estatísticas estiverem acima
dos limites de controle, o processo é declarado fora
de controle tanto para locação como para a escala.
Se estiver acima para um dos limites H1 ou H2 , o
processo é declarado fora de controle para a locação
<formula/> ou <formula/>) para a escala.
Os limites de controle H, H1 e H2 foram determinados
por Mukherjee & Chakraborti (2012) para ARL0 = 500
e com diferentes valores (m,n), por meio de métodos
de simulação computacional. A Tabela 1 apresenta
os limites encontrados pelos autores para algumas
combinações de valores de (m,n) .
Uma propriedade desses limites é a relação H = H1 + H2.
Outra propriedade é que <formula/>, que é particionado em três eventos excludentes para
um processo sob controle: A- Probabilidade da locação
<formula/> e a escala <formula/>; B- Probabilidade da
locação <formula/> e a escala <formula/>; C - Probabilidade
da locação <formula/> e a escala <formula/>. Desse modo, a
probabilidade de um falso alarme a segue a seguinte
relação entre esses eventos: .1+ .2 . .1.2 = a, sendo
que .1 é a probabilidade de um falso positivo para
a locação; .2 a probabilidade de um falso positivo
para a escala; e .1.2 é a probabilidade de um falso
positivo para a locação e escala, simultaneamente.
Tabela 1. Combinação e limites de controle de locação e escala.
Fonte: Mukherjee & Chakraborti (2012).
3 Procedimento de pesquisa
Para desenvolver a aplicação de gráficos de controle
não paramétricos, foi seguido o procedimento de
pesquisa apresentado na Figura 5. A etapa 1 inicia-se
após a definição das características e os parâmetros
de qualidade do produto ou processo; nesta etapa
são definidas as estatísticas de testes para a medida
de locação e escala, no caso os testes WRS e AB,
apresentados na seção 2.
Na etapa 2, é proposto e se analisa um modelo de regressão
múltipla do tipo y = ß0 + ß1m + ß2n +ß11m2 + ß22n2 + ß12mn + e;
e, na etapa 3, são estimados os limites de controle
H, H1 e H2. Na etapa 4, são estimados os limites
de controle estatístico para diferentes valores de
(m,n), de modo a ampliar o conjunto de opções de
combinações de amostras nas fases I e II quando da
implantação do gráfico de controle não paramétrico
proposto. Na etapa 5: - valida-se o modelo empírico
proposto que estima os limites de controle por meio
de análises de resíduos; - avalia-se o desempenho do
gráfico de controle pelo ARL, determinado por meio
de métodos de simulação; - compara-se o desempenho
deste gráfico com os gráficos de Shewhart com
distribuição de probabilidade Normal e Exponencial,
com o objetivo de identificar vantagens em relação
a outros tipos de gráficos de controle.
A melhor combinação de amostras das fases I e
II foram obtidas na etapa 6 utilizando-se de técnicas
de superfície de resposta. O objetivo é ajustar os
parâmetros (m, n) que reflitam os melhores valores
de ARL em termos de m e n. Nesta etapa, também são
utilizado métodos de simulação (utilizou-se o software
Maple) para a obter o valor do ARL com diferentes
valores de m e n. Na etapa 7, foram estimados os
erros tipo I e II (a,ß) e o ARL em torno da solução
ótima obtida na etapa 6. A etapa 8 analisa e compara
o desempenho do gráfico em termos de ARL, m e
n, com o propósito de encontrar uma solução que
combine boas propriedades estatísticas com menor
custo de amostragem (m, n). Por fim, na etapa 9,
define-se os tamanhos de amostras na fase I (m) e
fase II (n) para o gráfico proposto.
4 Estimativas dos limites de controle H, H1 e H2
4.1 Estimativas dos limites de controle
Ajustando-se aos dados da Tabela 1, um modelo de
regressão linear múltipla (Equação 13) por meio do
método dos mínimos quadrados, é possível estabelecer
uma relação entre os parâmetros (m, n) e os limites de
controle H, H1 e H2. Na presente pesquisa testou-se
o seguinte modelo:
<formula/>
O limite de controle H tem relação estatisticamente
significativa apenas para ß, ß11 e ß12, conforme resultados
que constam na Tabela 2. Observa-se, portanto,
significativa dependência de H com o tamanho da
amostra na fase I. A análise de resíduo e o valor do R2
estão descritos na seção cinco e indicam adequação
do modelo proposto aos dados da Tabela 1.
Figura 5. Procedimento de pesquisa. Fonte: Dados de pesquisa.
Para H1, os parâmetros estatisticamente significativos
foram ß, ß1 e ß2. Para esse limite, m é significativo
nos seus dois parâmetros, linear simples e quadrático,
e em n é significativo no termo linear simples.
Os resultados são mostrados na Tabela 3.
Para H2, os parâmetros de m não foram identificados
como estatisticamente significativos (conforme
Tabela 4). Foram identificados como significativos
os parâmetros de n e da interação entre n e m.
Para a determinação do limite H, as estimativas
dos parâmetros de regressão de segunda ordem são
fornecidas na Tabela 2, a qual mostra também o
intervalo de confiança de 95% para esses parâmetros.
Usando o mesmo procedimento, foram obtidas as
estimativas dos limites de controle H1 e H2 cujos
resultados são apresentados nas Tabelas 3 e 4.
Para o caso das estimativas de H, H1 e H2, os
modelos de regressão encontrados foram os seguintes:
<formula/>
<formula/>
<formula/>
Os resultados das estimativas dos limites de controle
H, H1 e H2, pelo modelo proposto, estão na Tabela 5.
4.2 Ilustração do uso do gráfico de controle não paramétrico
Obteve-se num caso real uma amostra de 125 artefatos
de borracha utilizados em componentes automotivos
manufaturadas por um processo de conformação a
quente. Foi feita a medida da espessura das peças,
cuja especificação é de 1,17 a 1,37 milímetros com
tolerância de ± 0,10nm em relação ao valor nominal
de 1,26. O objetivo é aplicar os modelos matemáticos
obtidos a partir dos resultados de Mukherjee &
Chakraborti (2012) (Equações 14, 15 e 16) e
determinar o tamanho da amostra na fase I (m), para a
construção de uma carta de controle não paramétrica
para o monitoramento simultâneo das medidas de
locação e escala.
A literatura (Mukherjee & Chakraborti, 2012)
e os resultados das Tabelas 2, 3 e 4 indicam que o
parâmetro m é o mais importante na estimativa dos
limites de controle na fase I, e n é importante na fase
II. Por essas razões, quatro estratégias de controle
estatístico de processo, para o uso de gráficos de
controle não paramétrico, foram testadas para os
seguintes valores de m(5,14,25 e 50), fixando n = 5.
Os limites de controle H, H1 e H2 e foram estimados
a partir do modelo de regressão proposto. A seguir,
serão analisadas essas combinações de m e n para
as quatro estratégias.
a) Combinações (m = 5, n = 5) e (m = 14, n = 5)
Foi tomada na fase I uma amostra de tamanho
cinco (m=5) e, subsequentemente, catorze amostras
de tamanho cinco (n=5) na fase II. Aplicou-se
o procedimento de oito passos de Mukherjee &
Chakraborti (2012). Os limites de controle foram
calculados a partir do modelo matemático proposto.
Tabela 2. Estimativa dos parâmetros do modelo de regressão para H da combinção (m,n).
Fonte: Resultados obtidos com o software Statistica 11 (StatSoft, 2013).
Tabela 3. Estimativa dos parâmetros do modelo de regressão para H1 da combinção (m,n).
Fonte: Dados de pesquisa.
Tabela 4. Estimativa dos parâmetros do modelo de regressão para H2 da combinação (m,n).
Fonte: Dados de pesquisa.
Tabela 5. Comparação entre os resultados estimados e os valores exatos.
Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 6. (a) Estatística Si2 obtida pela combinação (m = 5, n = 5); (b) Estatística Si2 obtida pela combinação (m = 14, n = 5).
Fonte: Dados de pesquisa.
Os resultados são mostrados na Figura 6, em que
a linha tracejada refere-se ao limite de controle H
estimado pelo modelo matemático. Os resultados
da estatística Si2, obtidos para cada uma das quinze
amostras, na fase II, foram plotadas nos gráficos da
Figura 6a. Aumentando o tamanho da amostra da fase
I para m = 14 obteve-se a estatística Si
2, representada
na Figura 6b. Do ponto de vista teórico, um tamanho
da amostra maior na fase I melhora a capacidade de
detecção na fase II.
b) Combinações (m = 25, n = 5 e (m = 50, n = 5)
Os resultados de m = 25 da estatística Si2 são
apresentados na Figura 7a e de m = 50 é mostrado na
Figura 7b. A última configuração detecta um ponto
fora de controle, o que pode indicar melhor capacidade
de detecção de um processo instável, ou seja, na
capacidade de detecção de causas especiais na carta
de controle quando m aumenta. Isso estaria de acordo
com a teoria, que, por meios matemáticos, mostra os
efeitos do aumento do número de amostras na fase I
no desempenho dos gráficos de controle na fase II.
Foi realizada a análise da distribuição de frequência
dos dados na fase I e fase II da combinação (m = 50,
n = 5) , mostrada na Figura 8. A Figura 8a refere-se à
distribuição dos dados obtidos na fase I e a Figura 8b
mostra os dados obtidos na fase II. Observa-se que
na fase II os dados se distribuem de modo mais
disperso e menos simétricos em relação aos dados
da fase I. Esse comportamento do processo mostra
que este não está em estado de controle, como pode
ser observado pelo gráfico de controle da Figura 7b.
Com os mesmos dados amostrados (125) apresentados no Apêndice A, foram construídos os
gráficos Shewhart para a média e amplitude, sendo
extraídas 25 amostras de tamanho n=5. Esses gráficos,
mostrados na Figura 9, correspondem à fase I do
procedimento clássico de construção das cartas de
controle. Observa-se um aumento na dispersão,
verificado no gráfico da média a partir da amostra
13, entretanto, não foi detectado nenhum ponto fora
dos limites de controle, diferentemente do que foi
observado no gráfico da Figura 7b.
Figura 7. (a) Estatística S2i obtida pela combinação (m = 25, n = 5); (b) Estatística S2i obtida pela combinação (m = 25, n = 5).
Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 8. (a) Histograma da amostra da fase I; (b) Histograma das amostras da fase II. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 9. Gráfico de controle do tipo Shewhart considerando 25 amostras de tamanho 5. Fonte: Dados de pesquisa.
4.3 Validação estatística do modelo proposto e combinação ótima de
Segundo Gibbons & Chakraborti (2011), para
grandes amostras e sujeitas a determinadas condições, a
estatística de teste ()()/NNNTETTs..-.. tem distribuição
de probabilidade aproximadamente normal (é a
padronização do ranqueamento linear utilizado no
cálculo de S1 e S2. As Figuras 10 e 11 mostram a
distribuição de probabilidade dessas estatísticas, que
têm distribuições aproximadamente simétricas (Gibbons
& Chakraborti, 2011). A Figura 12 mostra a análise
de resíduos do modelo que estima H. A interpretação
da Figura 12 é que os resíduos são estáveis e seguem
a distribuição normal de probabilidade; esse resultado
é necessário para validar o modelo de estimativa do
limite de controle proposto.
Uma das análises importante da técnica de superfície
de resposta é encontrar o valor ótimo de para a melhor
estimativa de H. O valor encontrado foi m = 82 e
n = 12. Esses valores são mostrados na Figura 13.
Resultados similares para m = 82 e n = 12 são obtidos
para H1 e H2. Esses resultados são mostrados nas
Figuras 14 e 15.
As análises de resíduos para H1, mostradas
na Figura 16, e para H2, mostradas na Figura 17,
indicam leve desvio na normalidade dos resíduos,
especialmente para H2. Ao contrário de H, em que
os resíduos tiveram um comportamento simétrico à
distribuição normal de probabilidade, os métodos de
estimativa dos limites para locação, H1, e escala, H2,
têm que ser analisados com cuidado, para avaliar o
impacto desses desvios no desempenho do gráfico
de controle. Cabe observar que o limite estimado
de H, que combina os dois parâmetros estatísticos
de locação e escala, é o utilizado no monitoramento
do processo, sendo H1 e H2 objeto de análise para
os efeitos sobre a medida de posição central ou na
dispersão. O estudo do desempenho é então importante
para verificar o nível de desempenho obtido nesse
tipo gráfico, o que é apresentado na próxima seção.
5 Análise do desempenho da carta de controle não paramétrica
obtida pelo modelo proposto e comparação com as cartas de
Shewhart
A análise do desempenho de diferentes tipos de
cartas de controle é tradicionalmente baseada no
parâmetro ARL. A Tabela 6 e a Figura 18 mostram
os resultados do ARL para diferentes combinações
de valores de (m,n).
Foram estimados, por meio de simulação
computacional, no MAPLE, os valores de ARL para
t = 0,01 a 0,07. Foram realizadas 50000 simulações
das cartas de controle para as combinações mostradas
na Tabela 6. Os resultados mostram que o ARL
diminui conforme m aumenta. Por exemplo, para
a combinação (m=14, n=5) necessitará, em média,
50,84 amostras até a detecção de um ponto fora de
controle; enquanto que para a combinação (m=30, n=5)
serão necessárias 32,26 amostras, o que significa um
desempenho superior para uma amostra de tamanho
m = 30 para a fase I em comparação a m = 14.
Figura 10. Distribuição de probabilidade da estatística.
Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 11. Distribuição de probabilidade da estatística.
Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 12. Análise de resíduos de H. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 13. Valores ótimos de para H. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 14. Valores ótimos de para H1. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 15. Valores ótimos de para H2. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 16. Análise de resíduos de H1. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 17. Análise de resíduos de H2. Fonte: Dados de pesquisa.
Figura 18. Avaliação do desempenho do gráfico de controle não paramétrico. Fonte: Dados de pesquisa.
Os resultados mostrados na Tabela 6 e Figura 18
indicam que, para um processo em estado fora de
controle, o desempenho dos gráficos de controle não
paramétrico melhora à medida que o tamanho da
amostra (m) aumenta. O desempenho dos gráficos de
controle não paramétrico, quando comparado com o
desempenho da carta Tipo-Shewhart, com distribuição
normal, tem pior desempenho, o que significa erros
a e ß maiores. Porém, quando comparado com o
desempenho dos gráficos da carta Tipo-Shewhart com
distribuição exponencial, há melhor desempenho.
Portanto, a carta de controle não paramétrico tem
melhor desempenho que o gráfico de controle
clássico quando a distribuição de probabilidade dos
dados é desconhecida ou não tem distribuição de
probabilidade normal.
Tabela 6. Desempenho entre a carta de controle sintética e a carta de controle tipo Shewhart (T-S).
Fonte: Dados de pesquisa.
Tabela 7. Erros tipo (I, II) e ARL para o gráfico de controle não paramétrico cujos limites foram obtidos a partir dos modelos
matemáticos.
6 Análise das melhores condições
das variáveis
Nesta seção, são avaliados os erros tipo I e II
(a e ß) e o desempenho ARL da carta de controle
não paramétrica, cujos limites de controle foram
obtidos pelas Equações 14, 15 e 16. Os resultados
dessa análise são mostrados na Tabela 7, cujos valores
foram obtidos por meio de simulação do processo
industrial analisado nas seções anteriores. Foram
executados 10.000 ciclos para cada combinação
apresentada na Tabela 7 para t = 0, considerando
o processo em estado de controle, e t = 0,01..0,07
quando o processo está fora de controle.
Para a condição das variáveis (m = 80, n = 10) obtidas
na seção anterior, obteve-se um bom desempenho do
gráfico de controle quando t = 0,03; por exemplo,
para t = 0,03 , o ARL = 1,39; porém, quando se usa a
combinação (m=50, n=20), o resultado obtido é mais
interessante, ARL=1,04. Diferentes resultados obtidos
pelo método de estimação de H, H1 e H2 proposto
neste trabalho são mostrados na Tabela 7. Portanto, a
melhor combinação encontrada para esses limites de
controle foi m = 50, na fase I, e n = 20, para a fase II.
Analisando os resultados, observamos que, quanto
maior o n, menor é o erro ß, por conseguinte, melhor
é a capacidade de detecção de uma causa especial.
Por exemplo, para m = 50 e n = (5, 10, 20), encontramos
ARL = (2,60; 1,45; 1,04) quando t = 0,03. O erro a
(lado esquerdo da Tabela 7), encontrado por meio
da simulação, é de a = 0,002 a 0,007, para um
ARL =140,8 a 500,0.
7 Conclusões
A carta de controle não paramétrica, com
monitoramento simultâneo das medidas de locação
e escala, é uma alternativa aos métodos clássicos
de controle estatístico. São vantagens desse tipo de
carta: permitir com um único parâmetro avaliar o
estado de controle da variância e da média de uma
característica de um produto ou processo; é mais
robusta, pois apresenta melhor desempenho em
termos de ARL do que as cartas Tipo-Shewhart para
distribuicões assimétricas.
Em geral, e em especial para esse tipo de carta
de controle, a fase I tem grande importância na fase
II da implantação do CEP. A Tabela 6 e a Figura 18
mostram melhor desempenho do gráfico de controle
na fase II para valores de m relativamente maiores.
Portanto, quando maior o tamanho da amostra na fase
I, melhor será o desempenho do gráfico de controle,
medido pelo ARL.
O modelo proposto estima os limites de controle
de gráficos sintéticos não paramétrico. Do ponto de
vista prático, o modelo de regressão linear múltiplo,
ajustado aos dados da Tabela 1, permite estimar os
limites de controle com combinações (m,n) diferentes
das apresentadas por Mukherjee & Chakraborti (2012).
Quando se compara o desempenho da carta de
controle sintética não paramétrica, com os limites de
controle estimados, com a carta de controle clássica
de Shwehart, observa-se melhor desempenho desta
última. Porém, os resultados mostraram melhor
desempenho da carta sintética não paramétrica quando
a distribuição dos dados é assimétrica.
Os resultados mostraram também que o parâmetro
m tem maior importância no desempenho do gráfico
de controle não paramétrico, conforme mostra a
Tabela 7. Os métodos de busca de soluções ótimas
aplicados indicam m = 82 e n = 12, entretanto ao
simular diversas combinações, encontrou-se um
desempenho satisfatório do gráfico de controle para
m = 50 e n = 20 , sugerido para esse tipo de carta.
A literatura nos mostra que há uma regra teórica
para o uso de gráficos de controle, constituída das
fases I e II, em que se associa testes de hipóteses como
ingrediente essencial para o sucesso na aplicação
desses gráficos. Segundo Woodall (2000), a forma
da distribuição subjacente e o grau de autocorrelação
dos dados tornou-se um importante componente na
interpretação dos gráficos de controle, na fase I,
quando da estimativa dos limites de controle, e na
fase II, na avaliação de seu desempenho. Assim, o
estudo do desempenho dos gráficos de controle é
importante como um insight de como os gráficos de
controle se comportam na prática.
Os métodos tradicionais de gráficos de controle
são ainda aplicáveis em muitas situações práticas da
indústria, entretanto é importante considerar novos
desenvolvimentos de métodos de gráficos de controle
que se adapte às novas condições ambientais da
indústria manufatureira.
Apêndice A. Dados amostrados num caso real: 25 amostras de tamanho n=5.
Fonte: Dados de pesquisa.
