Matrix Algebra Useful for Statistics
Shayle R. Searle, 2006
Matrix Algebra Useful for Statistics.
Wiley Series in Probability and Statistics, ISBN-13 978-0-470-00961-1. Preço:
90.14
O livro em questão visa habilitar o utilizador de modelos lineares para
tratamento de dados, com os conhecimentos de álgebra matricial necessários para
o efeito. Neste contexto alguns dos tópicos fundamentais abordados são a
álgebra de matrizes rectangulares associada à temática das inversas
generalizadas, as várias formas de factorização e formas canónicas, as técnicas
de partição ou a resolução de equações lineares.
O livro compreende dezasseis capítulos, complementados com exercícios, sendo os
cinco primeiros dedicados à álgebra matricial mais elementar, a saber definição
de matrizes, vectores e escalares (Cap. 1), operações básicas de matrizes (Cap.
2) englobando a transposição, partição, traço, produto matricial, vectorial e
escalar-vectorial, potenciação e leis algébricas associativa, comutativa e
distributiva das várias operações. Neste Capítulo relevam importância as
questões associadas ao traço de soma e produto de matrizes e os cálculo das
transpostas de matrizes particionadas. O Cap.3 diz respeito a propriedades de
matrizes especiais como sejam as matrizes simétricas, vectores com todos os
elementos unitários ditos vectores soma, matrizes centragem, idempotentes,
ortogonais, ortonormais, formas quadráticas e bilineares. Neste capítulo são
relevantes: i) as propriedades das matrizes simétricas AA', resultantes do
produto entre uma matriz de qualquer ordem n e a sua transposta, no tocante ao
traço e à pré-multiplicação com outras matrizes de ordem adequada, ii) os
conceitos de matrizes definidas(negativa, positiva e positiva semidefinida), a
relação entre formas quadradas e somas de quadrados bem como a unicidade na
associação entre as matrizes simétricas e as respectivas formas quadráticas.
O Cap. 4 é relativo às propriedades dos determinantes de matrizes quadradas,
vulgarmente conhecidas, incluindo o respectivo cálculo por operações
elementares ou os determinantes de matrizes especiais como os produtos de
matrizes, alguns tipos de matrizes particionadas, matrizes ortogonais ou
idempotentes. São também objecto deste capítulo o cálculo de determinantes por
expansão diagonal e expansão de Laplace, sendo abordados os conceitos de menor
de qualquer ordem e principais e dos traços das matrizes enquanto somatórios
dos menores principais de várias ordens decorrentes da expansão diagonal. O
Cap. 5 respeita às matrizes inversas, relativas a matrizes quadradas e não
singulares, sendo apresentados resultados conhecidos sobre as respectivas
propriedades relativas aos respectivos determinantes, transposição e produtos.
São considerados os conceitos de inversas esquerda e direita e as inversas de
matrizes especiais como as idempotentes, ortogonais ou de segunda ordem.
Naturalmente que é feita referência ao conhecido método de cálculo das inversas
por aplicação de operações elementares em equações lineares. O Cap. 6 serve
para abordar o conceito fundamental de característica de matrizes, dependência
e independência linear dos vectores, número máximo de vectores linearmente
independentes de ordem n e igualdade do número das linhas e colunas das
matrizes linearmente independentes. O conceito de característica de matriz é
explorado considerando as matrizes com característica plena, (full rank), plena
de linhas ou colunas (full row e full column rank) e a existência (ou não) das
respectivas inversas. Neste capítulo é apresentado o importante conceito de
factorização de característica plena(full rank factorization) duma matriz
quadrada ou rectangular em quatro submatrizes, entre as quais figura uma de
ordem igual à característica da matriz. É abordado o conceito de matrizes de
permutação, necessárias à troca de linhas e colunas, sem alteração da
característica da matriz, essencial às operações de factorização. O Cap. 7 está
associado à sequência de processos tendentes à redução á forma canónica,
consistindo no cálculo da característica das matrizes por recurso aos vários
operadores matriciais elementares em linhas e colunas permitindo a obtenção de
uma matriz equivalente constituída por quatro submatrizes, em que uma é a
identidade de ordem igual à característica da matriz e as outras três
submatrizes são nulas. A aplicação dessa sequência a matrizes simétricas conduz
à denominada forma canónica sob congruência, distinta pelo facto de as matrizes
elementares de operação em linhas serem transpostas das correspondentes para as
operações em colunas. Dessas operações resultará uma matriz equivalente em que
a submatriz não singular é diagonal distinta da matriz identidade. Relevantes
neste capítulo são os oito Lemas sobre características do produtos de matrizes,
os quais têm importantes aplicações em álgebra de matrizes rectangulares e
modelos lineares. O Cap. 7 termina com a associação entre as matrizes não
definidas negativas (n.d.n.) e respectivas formas canónicas sob congruência,
além da não negatividade dos elementos diagonais e do determinante. Tal
associação é resultante do carácter simétrico dessas matrizes n.d.n.. O Cap. 8
aborda a temática fundamental das matrizes inversas generalizadas, nas versões
Moore-Penrose, reflexiva e fraca, as quais permitem uma vasta gama de
aplicações a análises estatísticas envolvendo matrizes de qualquer ordem
quadradas ou rectangulares de característica não plena (not full rank) ou plena
(caso invertível). São apresentados os algoritmos de cálculo permitindo a
obtenção de tais matrizes, baseados em processos de factorização a matrizes
diagonais equivalentes e em propriedades das características matriciais, como
ainda uma chave de cálculo relacionando as inversas generalizadas entre si.
Importante neste capítulo é o estudo das propriedades de inversas generalizadas
das matrizes XX', de importantes aplicações em modelos lineares. O Cap. 9 é
dedicado ao estudo da resolução de equações lineares com a definição do
conceito de consistência, verificação da possibilidade da existência de uma ou
mais soluções em equações consistentes. No caso de existência de muitas
soluções, é preconizado neste Capítulo o recurso a matrizes inversas
generalizadas (m.i.g.) mediante o recurso a algoritmos de cálculo de soluções
derivadas de uma ou mais m.i.g. ou de combinações lineares de soluções. É
também indicado neste caso como calcular o número de soluções vectoriais
linearmente independentes. A discussão da problemática das equações lineares
por via das m.i.g., é continuada com a abordagem das propriedades de
invariância das combinações de soluções lineares, propriedades que conferem a
aplicabilidade desta metodologia aos procedimentos de estimação em modelos
lineares.
São também mencionados problemas concretos relacionados com derivação de
soluções ortogonais para equações do tipo Ax = 0, ou de pesquisa de soluções
aproximadas para equações inconsistentes, como sejam as possibilitadas pelo
método dos mínimos quadrados, com obtenção de novas equações. O Cap.10 é
dedicado a partição de matrizes em submatrizes, complementando informação já
prestada no Cap. 2. Neste Capítulo são discutidas as principais propriedades
das somas e produtos directos, que como se sabe são as operações matriciais
definidas em termos de matrizes particionadas. É referida a partição de
matrizes ortogonais em submatrizes rectangulares convertíveis em conjuntos de
equações consistentes. É ainda definida a matriz denominada como complemento de
Schur e abordado o cálculo de matrizes inversas e de inversas generalizadas de
matrizes particionadas por recurso a essa matriz.
O Cap. 11 aborda a importante problemática dos valores (ou valores latentes) e
vectores próprios. Essa abordagem é iniciada com as respectivas definições com
uma importante ilustração em como os valores próprios traduzem o conceito de
estacionaridade temporal do respectivo vector próprio. Segue-se o
estabelecimento de algumas propriedades de valores próprios relacionados com os
valores próprios de potências de matriz, produto matriz-escalar, polinómios e
soma e produtos de valores próprios e suas relações com as operações dos traços
das matrizes. As secções seguintes do Capítulo têm a ver com o cálculo dos
valores próprios, que o mesmo é dizer com a pesquisa de raízes do polinómio
característico, e vectores próprios mediante recurso a um algoritmo associado à
pesquisa de uma inversa generalizada da matriz relativa à equação
característica. Para o cálculo dos vectores próprios há que distinguir se as
raízes do polinómio característico são simples ou múltiplas. Segue-se no Cap.
11 a temática relativa à redução de matrizes à forma canónica similar,
denominadas em tal caso como regulares ou a diagonizáveis, bem como o teorema
explicitando as condições em que essa redução se pode processar. A terminar o
Cap. 11 é referido que as matrizes simétricas são sempre diagonizáveis, com
vectores próprios ortogonais, sendo a respectiva redução designada como de
forma canónica com similaridade ortogonal. É apresentado o resultado que
estabelece a igualdade entre a característica duma matriz regular e a
respectiva característica, como ainda apresentados processos de obtenção dos
valores próprios sem necessidade de resolver directamente a equação
característica. Segue-se o Cap. 11A, que funciona como apêndice ao Cap. 11,
onde são feitas as demonstrações do teorema da diagonabilidade bem como de
resultados relativos às matrizes simétricas, nomeadamente a sua decomposição
espectral bem como do carácter positivo dos valores próprios das matrizes não
negativas definidas, que como se referiu se consideram simétricas. Seguem-se
neste capítulo resultados relativos à diagonalização simultânea de duas
matrizes simétricas e à decomposição de valor singular. Esta última, refere-se
como se sabe a um processo de factorização de qualquer matriz A, quadrada ou
rectangular, baseada na diagonalização das matrizes AA' e A'A necessariamente
simétricas. O Cap. 11A indica ainda o Teorema Cayley Hamilton que, em termos
práticos, permite obter as várias potências de uma matriz, conhecido que seja o
seu polinómio característico sem necessidade de obter as respectivas raízes. No
Cap. 12 é feito um resumo de tópicos diversos analisados em capítulos
anteriores. É feita uma análise das propriedades de matrizes ortogonais,
idempotentes, matrizes definidas não negativas, combinações lineares da matriz
identidade com a matriz contendo vectores soma, matrizes definidas não
definidas e resumo de formas canónicas e outras decomposições. É feita também
uma análise relativa às propriedades de vectores de operadores diferenciais,
operadores vec e vech e matrizes complexas. Os três últimos capítulos abordam a
título introdutório diversas aplicações estatísticas de cálculo matricial.
Assim no Cap. 13 são referidas as matrizes de variância-covariância, matrizes
de correlação, médias e sua relação com as matrizes de centragem, somas
corrigidas ao valor médio de diferenças de quadrados e produtos, distribuição
multivariada normal, contrastes entre médias, equações dos mínimos quadrados e
formas quadráticas e distribuições de qui-quadrado. O Cap. 14 faz uma análise
introdutória da regressão simples e múltipla em termos matriciais, incluindo as
tradicionais análises de variância associadas às somas dos quadrados e testes
de hipóteses lineares. São considerados modelos em que a matriz das incógnitas
X é de característica plena de colunas, sendo em tal situação possível a
inversão da matriz XX' e a consequente estimação dos vectores dos coeficientes
das incógnitas. No Cap. 15, final, é feita uma abordagem matricial aos modelos
lineares gerais. Neste tipo de modelos a matriz XX' já não é de característica
plena, pelo que as equações normais para pesquisa dos coeficientes das
incógnitas já são resolvidas por recurso às inversas generalizadas. É também
referida a possibilidade de obtenção de funções estimáveis, baseadas em
propriedades de invariabilidade de produtos q'b0, entre vectores q' obedecendo
a determinadas condições e os vectores dos coeficientes das incógnitas.
Com base nessas propriedades, é possível apresentar o conceito de estimadores
lineares de menor variância (os conhecidos b.l.u.e.), verificar a
invariabilidade das combinações lineares dos elementos homólogos das várias
soluções b0 e a realização de testes de hipóteses e de intervalos de confiança
a essas combinações lineares.
Abel Rodrigues
Investigador Auxiliar
Estação Florestal Nacional
Av. da República, Quinta do Marquês,
2780-159 Oeiras - Portugal
silva.lusitana@inrb.pt
