CONVERGÊNCIA DOS MODELOS DE ÁRVORES BINOMIAIS PARA AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
1. Introdução
Em 1973, Black Fischer e Myron Scholes desenvolveram um modelo para avaliação
de opções de compra do tipo européia. Eles partiram do pressuposto que o preço
de uma ação segue um processo estocástico conhecido como Movimento Geométrico
Browniano. A equação que rege este processo é dada por:
onde S é o preço do ativo objeto, r é a taxa de juros livre de risco, s é o
desvio padrão do preço do ativo objeto e dz é o incremento de um processo de
Wiener, com média 0 e desvio padrão dt. Os parâmetros r e s são considerados
constantes ao longo do tempo.
Da suposição sobre o comportamento do preço da ação, o processo que o título
derivativo segue pode ser deduzido usando a idéia chave do modelo de Black e
Scholes que é a formação de uma carteira dinâmica livre de risco, resultando em
uma equação diferencial parcial, dada a seguir:
Onde C é o valor da opção. Ao ser resolvida a equação (2), foi encontrada a
seguinte fórmula que calcula o preço de uma opção de compra do tipo Européia:
onde
N(.) é a função de distribuição normal cumulativa, X é o preço de exercício da
opção e T é tempo de maturação da opção. Muitos trabalhos baseados na
metodologia de Black e Scholes surgiram em seguida, entre os mais importantes
podemos citar:
* Merton (1973) estendeu o modelo de Black e Scholes para ações com
pagamento de dividendos e mostrou que uma opção de compra americana, onde
a ação objeto não paga dividendos, pode ser avaliada como se fosse uma
opção de compra européia, ou seja, o exercício antecipado nunca será
ótimo;
* Cox & Ross (1976) estenderam o modelo de Black e Scholes para ativos
objeto que seguiam outros processos estocásticos que não o Movimento
Geométrico Browniano, como por exemplo, Poisson.
Ainda existia uma questão como avaliar uma opção Americana que pode ser
exercida antecipadamente? Nenhuma solução analítica fora encontrada, então
métodos numéricos ou de aproximação deveriam ser utilizados. Brennan &
Schwartz (1978) aplicaram métodos de diferença finita para resolver a equação
diferencial parcial para uma opção americana.
Diferentemente, Cox, Ross & Rubinstein (1979) utilizaram um processo
discreto no tempo e binomial no espaço para aproximar um processo contínuo e
calcular o preço de uma opção Americana. Devido a simplicidade, a facilidade de
implementação e principalmente a flexibilidade, o modelo de árvores binomiais
(como ficou conhecido) tornou-se uma das metodologias mais utilizadas para a
avaliação de opções Americanas.
Desde 1979 até hoje muitos desenvolvimentos foram feitos a partir do modelo
binomial tornando-o ainda mais abrangente e também podendo modelar opções onde
a taxa de juros e/ou volatilidade são variantes com o tempo, os dividendos
podem ser contínuos, proporcionais ao preço da ação ou valores discretos.
Mais recentemente a comunidade acadêmica e o mercado têm-se preocupado com o
tempo de processamento de diversos métodos numéricos usados em finanças. Existe
a necessidade que esses métodos sejam rápidos e precisos. É claro que nem
sempre é possível encontrar métodos numéricos que possuam essas
características. O modelo binomial, por ser uma aproximação discreta de um
evento em tempo contínuo, é considerado um método numérico e sofre dessas
restrições. Além disso, possui um problema grave: a convergência oscilatória.
Vários pesquisadores têm estudado o modelo binomial de modo a eliminar os
efeitos da oscilação, mantendo-o simples de entender, fácil de implementar e
flexível na hora ser utilizado, ou seja, existe um esforço para torná-lo mais
rápido em sua convergência para o valor verdadeiro sem que sejam perdidas suas
principais características.
Este trabalho têm como objetivo principal mostrar alguns aprimoramentos
sugeridos na literatura nos últimos anos para melhorar a convergência do modelo
binomial. Serão apresentados modelos que diminuem o efeito da convergência
oscilatória.
O restante do artigo será estruturado da seguinte forma: na seção 2 serão
apresentados os principais modelos para os parâmetros das árvores binomiais; a
seção 3 mostrará como uma árvore binomial pode ser utilizada para calcular o
preço de opções Americanas; a seção 4 mostrará as principais técnicas
utilizadas para diminuir os efeitos da convergência oscilatória nos modelos
binomiais e a seção 5 apresentará as principais conclusões.
2. Modelos de Árvores Binomiais
Cox, Ross & Rubinstein (1979) desenvolveram um método que converge para a
solução encontrada por Black & Scholes (1973). Ao invés de resolver a
equação (2) utilizando método numéricos, como Brennan & Schwartz (1978),
eles mostraram que a equação (1) poderia ser obtida como um limite contínuo de
um caminho aleatório em tempo discreto. Para isso, o tempo deve ser dividido em
períodos discretos de comprimento Dt e será assumido que em cada período, o
preço da ação objeto S ou move-se para cima ou para baixo segundo as constantes
proporcionais u e d, respectivamente. A probabilidade de mover para cima é dada
por uma medida neutra ao risco p e para baixo por q = 1 ' p. A Figura_1 mostra
os possíveis valores de S ao longo de três intervalos de tempo.
Esta árvore é conhecida como árvore binomial multiplicativa, pois os possíveis
valores futuros em cada período são distribuídos segundo a distribuição
binomial e são proporcionais ao estado inicial. Os modelos que serão mostrados
a seguir têm como objetivo calcular os parâmetros da árvores, u, d e p.
2.1 Modelo de Cox-Ross-Rubinstein (CRR)
Considere a equação (1) novamente. Esta equação será ligeiramente modificada
para levar em consideração os dividendos pagos pelo ativo objeto. Seja d uma
taxa de dividendos por unidade de tempo, então a equação diferencial
estocástica que modela os movimentos nos preços do ativo objeto pode ser
rescrita como:
Agora, divida a equação (5) por S, obtendo dS / S =(r-d) dt + sdz.Substitua a
variável S por x usando a relação x + 1nS. Para isso, basta derivar x em
relação a S, dx / dS = 1 / S Þ dx = dS / S. Assim, a equação (1) pode ser
rescrita
Por questão de comodidade faça
Tomando-se variações discretas de x e t, a equação (6) pode ser escrita da
seguinte forma:
onde Dt = T/n, T é a vida útil da opção e n é o número de intervalos de tempo.
O valor esperado e a variância de Dx são dados por:
e
lembrando que E(Dz)
= 0 e V (Dz ) = Dt
Como houve uma troca de variável de estado, a árvore binomial proposta na
Figura_1 deve ser alterada a fim de exibir variações em x, melhor do que em S.
Para isso, basta aplicar o logaritmo em cada nó e então a árvore passa a ser
uma árvore aditiva, onde a variável x move-se para cima ou para baixo segundo
os incrementos ln u e ln d, respectivamente. As probabilidades neutra ao risco
de subida e descida não se modificam.
Analisando a distribuição de probabilidades dos valores futuros de x, através
da média e variância de Dx, as expressões abaixo são obtidas:
e
Como a distribuição de probabilidades em cada período da árvore é dada por uma
distribuição binomial então, quanto maior o número de intervalos de tempo, mais
ela se aproxima de uma distribuição normal. Para garantir que ambas as
distribuições sejam idênticas no limite, seus momentos devem ser iguais, ou
seja, as médias e as variâncias têm de ser idênticas. Logo, a equação (9) deve
ser igual à (11) e a (10) igual à (12)
Este sistema tem grau de liberdade um, já que existem três equações e quatro
incógnitas. CRR utilizaram saltos com valores absolutos iguais para a quarta
equação, ou seja, ao sistema anterior foi acrescida a equação ln u = 'ln d. A
solução do sistema foi encontrada assumindo que potências de Dt superiores a
unidade devem tender a zero.
O logaritmo pode ser eliminado nas equações acima
Ao assumir ln u = 'ln d, ou u = 1/d, o modelo de CRR garante que a árvore
binomial torna-se recombinante. Uma árvore binomial é recombinante quando em
qualquer dois intervalos de tempo consecutivos, um movimento de subida seguido
por um movimento de descida é exatamente o mesmo que um movimento de descida
seguido por um movimento de subida. Essa propriedade diminui drasticamente o
número de nós em cada período, a medida que n cresce. Por exemplo, uma árvore
recombinante com três períodos possui 4 nós no terceiro período. A Figura_1
representa árvore binomial recombinante. Caso a árvore não seja recombinante,
como mostrado na Figura_2, então no terceiro período a árvore teria 23=8 nós.
Assim, uma árvore recombinante possui i+1 nós no i-ésimo período (o número de
nós em cada intervalo de tempo cresce linearmente) e uma árvore não
recombinante possui 2i nós no i-ésimo período (o número de nós em cada
intervalo de tempo cresce exponencialmente).
2.2 Modelo de Jarrow Rudd (JR)
Jarrow & Rudd (1983) propuseram que probabilidade neutra ao risco fosse
dada por p = ½. Assim, o sistema dado em (13) passa a ter duas equações e duas
incógnitas. Do mesmo que o modelo de CRR, o modelo de JR supõe que potências de
Dt maiores do que a unidade tendem para zero. Os parâmetros de JR são dados a
seguir:
lembrando que n é dado pela equação (7). A árvore binomial gerada pelos
parâmetros de JR é também recombinante.
2.3 Modelo de Hull e White (HW)
Um modelo mais preciso que os anteriores foi proposto por Hull & White
(1988). Nele os termos (Dt)2 não foram desprezados, diferentemente dos modelos
de CRR e JR. Com isso, o modelo torna-se mais preciso que os outros quando n é
pequeno. Os parâmetros do modelo são dados por
onde m1 e m2 são dados por
2.4Modelo de Trigeorgis (TRG)
Trigeorgis (1991) propôs um outro modelo para o cálculo dos parâmetros da
árvore binomial. Através do lema de Itô, TRG chegou ao processo estocástico
para a variável de estado x = ln S, dado pela equação diferencial estocástica a
seguir:
Procedendo de maneira análoga ao modelo de CRR, TRG igualou a média e a
variância do processo estocástico contínuo com a média e variância do processo
discreto representado por uma árvore binomial aditiva. Ao sistema de equações
foi também acrescida a condição que os incrementos teriam valores absolutos
iguais. Neste modelo, potências de Dt superior a unidade não foram desprezadas.
Assim, foi obtido um sistema cuja solução é dada a seguir:
O modelo de TRG também seria válido se, como no modelo de JR, a probabilidade
de transição fosse considerada constante e igual a ½.
3. Avaliando Opções Americanas
As opções americanas são caracterizadas pela possibilidade de exercício
antecipado. Como dito anteriormente, opções de compra americana sobre um ativo
objeto que não paga dividendos pode ser avaliada como se fosse uma opção de
compra européia, ou seja o exercício antecipado não é ótimo. Já as opções de
venda do tipo Americana (independente se o ativo objeto paga ou não dividendos)
e opções de compra do tipo Americana, onde o ativo objeto necessariamente paga
dividendos, podem ser exercidas antecipadamente.
Um grande empecilho surge quando o exercício antecipado pode ser ótimo: não
existe solução analítica para tais modelos. Assim, o Modelo Binomial surge como
uma aproximação para o valor verdadeiro de tais opções. Amin & Khanna
(1994) mostraram que opções americanas, quando avaliadas usando Modelo Binomial
convergem para o valor verdadeiro.
Uma árvore binomial onde o período entre o lançamento da opção e seu vencimento
foi dividido em n intervalos de tempo possui n+1 nós no n-ésimo período. Um
algoritmo para calcular o valor de uma opção usando os modelos de árvores
binomiais não necessita armazenar mais do que n+1 nós. Os nós da árvore serão
numerados como na Figura_3. O preço da ação é calculado recursivamente e o
valor em cada nó é dado por S uj d n-jn-j. O uso da recursividade é um
artifício de programação muito importante, que nesse caso irá reduzir a
complexidade do algoritmo, pois evita que operações mais complexas que a
multiplicação (potenciação) sejam utilizadas.
A rotina de programação dinâmica é inicializada estabelecendo, por exemplo, o
preço da opção de compra no instante T é CT = max(ST ' K, 0) em cada um dos nós
terminais, onde K é o preço de exercício da opção (caso a opção fosse de venda,
o preço da opção nos nós terminais seria CT = max(K ' ST, 0). Considere o nó no
alto à direita da Figura_1, CT(u3S) é estabelecido para max(u3S ' K, 0). No nó
anterior correspondente ao preço da ação u2S no tempo T ' Dt, o valor da opção
de compra CT-Dt(u2S) é estabelecido para
Isto é, o valor da opção de compra do tipo Americana é o máximo entre o valor
do exercício imediato e o valor presente de continuação. O valor da opção de
compra nos nós restantes são calculados de maneira similar utilizando
recursividade.
Um cuidado que deve ser tomado ao implementar o algoritmo é que não sejam
feitas multiplicações desnecessárias repetidas vezes. Para isso, deve-se
verificar com antecedência o que é constante ao longo do algoritmo. Essas
constantes serão pré calculadas e, deste modo, serão eliminadas operações
redundantes, principalmente dentro dos loops. No apêndice, será apresentado o
algoritmo para avaliação de opções americanas utilizando o modelo CRR.
4. Convergência dos Modelos Binomiais
Nesta seção serão apresentadas algumas soluções propostas na literatura para
acelerar a convergência dos modelos binomiais. Todos os gráficos são de uma
opção de compra do tipo Americana cujo preço do ativo objeto (S) é $110,00, o
preço de exercício (K) é $100,00, o tempo de maturação (T) é igual a 6 meses, a
volatilidade do preço da ação (s ) é 30%a.a., a taxa de dividendos (d ) é
3%a.a. e a taxa de juros livre de risco (r) é 7%a.a..
Quando métodos numéricos são utilizados para resolver problemas, é comum
verificar se o algoritmo empregado converge para o conjunto de soluções e quão
rápido ele o faz. A convergência teórica é uma propriedade altamente desejável
para algoritmos numéricos. Se dois algoritmos são convergentes, mas o primeiro
converge mais rápido do que o segundo, então o primeiro será selecionado.
No cálculo do preço de uma opção baseado em métodos de árvores binomiais, a
definição do números de intervalos de tempo, entre o lançamento e a maturidade
da opção, é fundamental para a que o modelo consiga convergir para o valor
verdadeiro, mas a convergência é lenta e oscilatória. Esta característica pode
ser confirmada no gráfico da Figura_4, que apresenta a convergência dos modelos
de árvores binomiais apresentados seção 2. Observe que o padrão de convergência
é praticamente o mesmo para os quatro modelos apresentados.
Nos itens a seguir serão apresentados os principais métodos para acelerar a
convergência dos modelos de árvores binomiais.
4.1 Método dos Valores Médios (MVM)
Muitas vezes, regras práticas são utilizadas para tirar vantagens de algumas
características de modelos numéricos. No caso das árvores binomiais, a média
entre os valores obtidos nos passos n+1 e n é calculada a fim de tomar vantagem
da regra de convergência oscilatória. O gráfico da Figura_5 ilustra a
convergência do MVM comparado ao modelo de CRR.
Broadie & Detemple (1996) afirmaram, seguindo os resultados obtidos em seus
modelos de simulação, que este método não possui performance significativamente
melhor do que os modelos binomiais tradicionais. Já Mayhew (1998) mostrou,
usando simulações similares àquelas feitas por Broadie & Detemple, que o
Método dos Valores Médios sugere uma velocidade duas vezes maior do que os
modelos tradicionais para um mesmo nível de precisão. O gráfico da Figura_5
sugere que a convergência do MVM seja superior ao modelo CRR.
4.2 Método Binomial Black e Scholes (BBS)
Este método foi proposto por Broadie & Detemple (1996) e consiste em
substituir a fórmula do valor de continuação (apresentada a seguir) no passo
n'1 pela fórmula de Black e Scholes.
O trabalho computacional para calcular o valor de continuação em cada nó é de
somente duas multiplicações. Assim, a computação da fórmula de Black e Scholes
requer a avaliação de uma função de distribuição normal cumulativa duas vezes
para a cada nó. Mas, como este cálculo é feito somente em n nós, o tempo de
processamento é praticamente o mesmo que aquele necessário para calcular uma
opção usando o modelo binomial de CRR. Para que a complexidade do modelo
binomial não aumente, métodos eficientes para o cálculo da função de
distribuição normal cumulativa devem ser utilizados. Abramowitz & Stegun
(1972) e Moro (1995) implementaram algoritmos eficientes que podem ser
utilizados. O gráfico da Figura_6 exibe a convergência dos modelos BBS e CRR.
Repare que a convergência do BBS deixou de ser oscilatória para ser mais suave,
e também sua precisão é maior quando comparado a um mesmo número de intervalos
de tempo.
4.3 Modelo BBS com Extrapolação de Richardson (BBSR)
Segundo Broadie & Detemple (1996), a convergência mais suave obtida com BBS
sugere a utilização da Extrapolação de Richardson. Assim, o método BBSR
adiciona uma extrapolação de dois pontos diretamente sobre o número de
intervalos de tempo do modelo BBS. Para calcular o preço de uma opção com n
intervalos de tempo usando o método BBSR, três passos devem ser seguidos:
* calcular o preço de uma opção usando o modelo BBS com n intervalos de
tempo (Cn);
* calcular o preço de uma opção usando o modelo BBS com m = n/2 intervalos
de tempo (Cm);
* usar a fórmula de extrapolação 2Cn'Cm.
Broadie & Detemple mostraram que o modelo BBSR é significativamente melhor
do que qualquer outro método do tipo binomial. O gráfico da Figura_7 compara os
modelos de CRR, BBS e BBSR. Este gráfico já sugere uma performance melhor em
termos de convergência do modelo BBSR. Para se ter uma idéia, o BBSR com n=100
é tão preciso quanto o CRR com n=1000 e cerca de 55 vezes mais rápido. Esta
conclusão pode ser encontrada no artigo de Broadie & Detemple. Utilizando
distribuição de probabilidades para cada um dos parâmetros da opção e também
uma amostra relativamente grande de opções eles traçaram gráficos de Velocidade
Computacional por Erro Médio Quadrático. Em todos esses gráficos o modelos BBSR
apresentou a melhor performance dentre todos os modelos binomiais apresentados.
O gráfico da Figura_8 ilustra as regras de convergências dos modelos CRR, MVM,
BBS e BBSR.
Existem outros métodos para reduzir os efeitos da convergência oscilatória e/ou
acelerar a velocidade de convergência dos modelos binomiais. Leisen &
Reimer (1995) sugerem que o sistema dado em (13) seja completado com uma
equação que posiciona o preço de exercício no centro da árvore para qualquer
nível de discretização. Este método praticamente elimina a forma oscilatória,
mas não consegue acelerar a velocidade de convergência. Outro método também
apresentado por Leisen & Reimer (1995) utiliza uma aproximação normal para
a distribuição binomial.
5. Conclusão
Neste trabalho foram apresentados os principais modelos numéricos para
avaliação de opções usando árvores binomiais e algumas técnicas de
implementação.
Três métodos propostos na literatura para acelerar a convergência dos modelos
binomiais foram analisados: Método do Valores Médios (MVM), Método Binomial
Black Scholes (BBS) e Método BBS com Extrapolação de Richardson.
Uma maneira simples, mas eficaz de reduzir os efeitos da convergência
oscilatória é tomar a média entre os valores de dois passos consecutivos de uma
árvore binomial simples (MVM). A mistura de um modelo numérico com uma fórmula
analítica (BBS) propiciou um aumento na performance do modelo de árvore
binomial. Quando comparado a uma árvore binomial pura, a forma oscilatória foi
praticamente eliminada e a convergência tornou-se mais rápida. Utilizando-se
extrapolação de Richardson, foi possível incrementar a performance do modelo
BBS. Gráficos de convergência sugeriram que os métodos propostos são mais
precisos e convergem mais rapidamente que os modelos tradicionais, para um
mesmo nível de discretização.
Dos três métodos apresentados, o método BBS com Extrapolação de Richardson
sugere uma melhor performance, ou seja, este método necessitaria de um número
menor de passos para atingir um resultado tão preciso quanto os outros métodos
apresentados.
6. Apêndice
Neste apêndice será apresentado apenas o algoritmo para implementação
computacional do Modelo Binomial usando os parâmetros de CRR. Para implementar
os modelos de JR, HW e TRG basta substituir o cálculo dos parâmetros no
algoritmo por aqueles apropriados.
Para implementar o BBS, deve-se escolher um dos modelos para o cálculo dos
parâmetros da árvore binomial. Dentro do procedimento de programação dinâmica,
deve-se verificar os nós que pertencem ao penúltimo período e a fórmula de
Black e Scholes deve ser usada para avaliar o preço da opção em cada um desses
nós. A fórmula de Black e Scholes utiliza um algoritmo para cálculo da
distribuição normal acumulada. Abramowitz & Stegun (1972) e Moro (1995)
sugerem algoritmos precisos e rápidos para o cálculo da distribuição normal
acumulada.
Já o modelo BBSR é o mais fácil de ser implementado, pois a extrapolação é
feita sobre o número de intervalos de tempo. A fórmula C = 2Cn ' Cm deve ser
computada, onde C é o preço BBSR da opção com n intervalos de tempo, Cn é o
preço BBS com n intervalos de tempo e Cm é o preço BBS com m = n / 2 intervalos
de tempo.
6.1 Modelo de Cox, Ross e Rubinstein
BinomialCRR(s,k,T,sig,r,n)
dt=T/N;
u=exp(sig*sqrt(dt)); /*
d=1/u; /* Cálculo dos parâmetros
pu=0.5+0.5*(r/sig)*sqrt(dt); /*
pd=1-pu /*
disc=exp(-r*dt); /*
dpu=disc*pu; /* Constantes pré calculadas
dpd=disc*pd; /*
/*Preenche o vetor com os valores da ação no último período */
s(-n)=s*(d^n);
para j de 1 até n faça s(j)=s(j-1)*u;
/*Calcula o valor da ação no último período */
para j de 'n até n passo 2 faça
c(j)=max(s(j)-k, 0); se for opção de compra
c(j)=max(k-s(j), 0); se for opção de venda
fim_para
/* Procedimento de Programação Dinâmica */
para i de n-1 até 0 faça
para j de 'i até +i passo 2 faça
c(j)=dpd*c(j-1) + dpu*c(j+1);
c(j)=max(s(j)-k, c(j); se opção de compra
c(j)=max(k-s(j), c(j); se opção de venda
fim_para
fim_para
retorna c(0);
