Alocação de fluxos de passageiros em uma rede de transporte público de grande
porte formulado como um problema de inequações variacionais
1. Introdução
As grandes metrópoles do mundo enfrentam-se diariamente como problemas de
transporte. Na maioria das cidades, o principal meio de transporte usado pelas
pessoas nos seus deslocamentos diários é o público. Trata-se de um sistema
bastante complexo cujos principais componentes são o ônibus, o trem urbano e o
metrô. Dependendo da cidade, faz-se uso de outros modos como veículos leves
sobre trilhos, lotações, vans, táxis coletivos, etc. Os tomadores de decisão
tratam com diversos agentes que disputam o mercado representado pela demanda da
população. Decisões, com impactos importantes sobre a qualidade de vida das
populações, são tomadas sem que exista algum conhecimento prévio das suas
conseqüências. Criação ou extinção de linhas, mudanças de traçado, de
freqüência, ou de tecnologia produzem efeitos sobre a distribuição de fluxos de
passageiros sobre os trechos e veículos do transporte público e interferem no
tempo de viagem, no conforto e no número de transferências dos usuários.
Modelos de alocação de fluxos servem para prever como os fluxos de passageiros
se distribuem sobre a rede de transporte público e deveriam ser instrumentos
auxiliares nas tomadas de decisão das autoridades de transportes. Este trabalho
tem como objetivo discutir diversas abordagens de modelos de alocação de fluxos
em redes de transporte público e detalhar a formulação matemática de um modelo
de alocação baseada em inequações variacionais.
O trabalho apresenta na seção dois a conceituação do problema. Na seção três
uma revisão bibliográfica descreve o estado da arte partindo dos primeiros
modelos dos anos 70 até a atualidade. A seção quatro apresenta a formulação
matemática proposta, a seção cinco, a implementação computacional, e a seção
seis mostra resultados de experimentos com uma rede de grande porte da região
metropolitana do Rio de Janeiro. Finalmente a seção sete apresenta conclusões
sobre os resultados da implementação do modelo e sobre possíveis desdobramentos
desta pesquisa.
2. Definição do problema
Nos problemas de alocação de fluxo de veículos particulares em redes viárias
urbanas, existe uma equivalência direta entre os deslocamentos dos usuários
(condutores, ou passageiros) e os deslocamentos dos próprios veículos. A
alocação de fluxo dos usuários está relacionada diretamente com a determinação
dos itinerários dos veículos. No caso do problema de alocação de passageiros de
uma rede de transporte coletivo, esta equivalência não existe: os deslocamentos
dos ônibus ou os trechos do metrô, em geral não correspondem aos deslocamentos
dos usuários. No caso mais geral, os usuários do sistema de transporte coletivo
têm que acessar a rede, ou seja têm que se deslocar desde suas origens até uma
parada de ônibus, ou uma estação de metrô ou de trem ou de barca, onde
esperarão para serem atendidos por algum veículo, e depois saem da rede de
transporte público para se deslocar a pé até seus destinos. Os correspondentes
tempos de espera são, de modo geral, aleatórios, se é aceita a premissa de que
as chegadas dos passageiros e dos veículos são aleatórias. Tudo isto afeta a
abordagem do problema.
Então se pode afirmar que em redes de transporte coletivo se faz alocação de
passageiros e em redes de transporte particular se alocam veículos. Mesmo
assim, as primeiras pesquisas que apareceram na literatura propunham tratar a
alocação de passageiros como uma variação do problema de alocação de fluxo de
veículos em redes de transporte particular, para os quais já existiam métodos
de alocação baseados nos algoritmos desenhados por Moore (1957) e Dijsktra
(1959), que resolvem o problema de rotas mínimas. Zhan & Noon (1998)
analisaram diversos algoritmos que resolvem o problema de achar rotas mínimas
em redes reais. Eles consideram que pesquisas anteriores avaliam o
desenvolvimento computacional e a eficiência da implementação dos algoritmos
para achar as rotas mínimas, principalmente em base a redes geradas
aleatoriamente. Indicam que os métodos para gerar as redes aleatórias variam
consideravelmente, e que podem identificar-se diferenças com as redes reais,
pelo grau de conectividade, estimado pela razão que mede a incidência arco-nó.
As irregularidades na conectividade das redes aleatórias podem favorecer certos
tipos de algoritmos na avaliação do desempenho.
Por outro lado, o problema de alocação de equilíbrio em redes de transporte
coletivo é abordado pelos diversos modelos existentes na literatura, como um
problema estático. Em geral esses modelos visam determinar o estado médio do
sistema durante o período estudado, geralmente horas de pico, ou seja
determinar as cargas médias na rede e os custos médios dos deslocamentos dos
pares origem-destino. Gendrau (1984) justificava isto, explicando que devido ao
tamanho das redes estudadas, o estudo do estado médio do sistema nas horas de
pico representa, provavelmente, um conjunto de informações suficientes para a
tomada de decisões dos planejadores da rede estudada, e que considerar um
modelo mais detalhado poderia originar um modelo de tamanho e complexidade que
tornaria inviável sua utilização num problema real.
3. Modelos de alocação: O estado da arte
Os modelos de alocação de passageiros em redes de transporte coletivo têm
experimentado um desenvolvimento importante nas últimas quatro décadas. Os
modelos que primeiro aparecem na literatura (Dial, 1967; Andréasson, 1976;
Lampkin & Saalmans, 1967; Hasselströem, 1981), propunham técnicas de
alocação similares às utilizadas nos problemas de alocação de fluxo de veículos
particulares. Estes modelos assumem que os passageiros viajam nos caminhos mais
curtos entre suas origens e destinos, e a maioria não considera os efeitos do
problema do congestionamento, sendo chamados de "modelos sem restrição de
capacidade".
De modo geral, os modelos que não consideram restrição de capacidade, dependem
das hipóteses adotadas acerca do comportamento dos passageiros. O comportamento
dos usuários do transporte coletivo na hora de fazer a escolha da rota pode ser
classificado em dois tipos segundo a literatura existente: no tipo I o
passageiro espera um ônibus de uma linha determinada, e no tipo II o passageiro
espera o primeiro ônibus a aparecer no ponto de parada, de um subconjunto de
linhas consideradas atrativas.
No primeiro grupo estão aqueles que se baseiam no conceito de rota mínima, ou
seja, o usuário do sistema de transporte coletivo utilizará a rota que minimize
seu custo generalizado. O usuário já sabe qual é a linha que tem o menor custo
generalizado para chegar até seu destino, e somente espera um ônibus daquela
linha, o que corresponderia a uma alocação do tipo "tudo ou nada". No
segundo grupo, estão aqueles modelos que se fundamentam na idéia de estratégia
ótima, conceito formulado por Spiess (1983), que basicamente consiste em
escolher um subconjunto de linhas de modo a minimizar o valor esperado do custo
total de viagem. Bouzaïene-Ayari et al. (1995) indicam que o que determina uma
estratégia de viagem são o conjunto de linhas atrativas escolhidas pelo
passageiro em diferentes paradas e os pontos de desembarque daquelas linhas,
para transbordo ou para caminhada até o destino. Knoppers (1995) ressalta que
os transbordos reduzem a atratividade do transporte público como uma
alternativa ao carro. A resistência ao transbordo pode ser expressa como o
tempo necessário para o transbordo e uma probabilidade de perder a conexão.
Conexões perdidas implicam em tempos de espera longos.
De Cea et al. (1990) salientam que se bem os modelos baseados no conceito de
estratégia permitem obter uma maior dispersão de fluxos na rede de transporte
público, a abordagem da alocação a rotas mínimas é mais eficiente em termos de
tempo de cálculo computacional. A existência de seções do caminho que podem ser
atendidas por mais de uma linha de ônibus, origina várias opções para escolha
dos passageiros, e esta escolha freqüentemente não é simples de ser modelada.
Um passageiro, para viajar de um ponto a outro da rede, pode escolher de um
conjunto de linhas disponíveis. Umas linhas dentro deste conjunto podem ser
muito mais lentas que outras. Chriqui (1974) apresenta um método de
determinação do subconjunto das linhas atrativas. Ele parte da idéia de que o
subconjunto de linhas é escolhido de modo a minimizar o valor esperado do custo
total de viagem, incluindo tempo de espera e tempo em veículo. A linha mais
rápida está sempre nesse subconjunto. As outras linhas são ordenadas em forma
crescente com respeito ao tempo de viagem em veículo, e somente são incluídas
aquelas que diminuem o valor esperado de tempo total de viagem. Chriqui &
Robillard (1975) demonstram que o problema de determinar o subconjunto ótimo de
linhas que minimizam o valor esperado do tempo total de viagem, pode ser
resolvido como um problema de programação hiperbólica.
Por outro lado, o conceito de rota em uma rede de transporte coletivo não
corresponde ao conceito clássico de rota definido para redes de transporte
particular ou privado. Os ônibus trafegam pela rede seguindo percursos
preestabelecidos. Portanto, os usuários do transporte coletivo escolhem seus
caminhos em função das linhas que utilizam e das paradas onde embarcam e
desembarcam, para continuar a pé ou fazer um transbordo. Uma rota de transporte
coletivo é então definida por uma linha ou combinação de linhas, com os
respectivos pontos de embarque e desembarque. Os trechos percorridos na viagem,
que serão representados por arcos da rede, aparecem como uma conseqüência do
processo de escolha.
Mandl (1978) desenvolve um algoritmo de caminho mais curto apropriado às redes
de um sistema de transporte público urbano que, para ele, tem características
especiais: os nós desta rede, usualmente representam uma parada ou, de modo
mais geral, uma área de uma cidade a ser servida nessa parada. Esta área
deveria ser suficientemente pequena para permitir acessar cada ponto dentro
dela caminhando desde a parada. Mandl considera, na representação do seu
modelo, que a maioria das linhas utiliza os mesmos arcos nos dois sentidos (o
que é verdadeiro no caso do metrô e às vezes não é válido para os ônibus) e que
a rede viária (que consiste de nós paradas e arcos) é não orientada.
Spiess (1983) propõe um modelo que determina as rotas ótimas em uma rede de
transporte coletivo, resolvendo um problema de programação linear para obter as
estratégias ótimas de viagem entre dois nós. Ele define uma estratégia como um
conjunto de regras que permitem ao passageiro chegar ao seu destino, ou seja, o
passageiro vai decidindo sua viagem de acordo com essas regras, podendo ter nós
de transbordo, e define a estratégia ótima, como aquela que minimiza o valor
esperado do custo total de viagem. Este autor generaliza seu modelo para o caso
em que o custo de viagem em veículo em um arco é uma função crescente do fluxo
de passageiros naquele arco.
Nguyen & Pallottino (1988) definem o conceito de hipercaminho como a
representação de uma estratégia, através de um subgrafo acíclico que conecta
dois nós da rede, r e s, onde r é a origem, s o destino, e onde cada nó i
contido no subgrafo, é atravessado por algum caminho que conecta r com s, e
onde somente existem arcos divergentes nos nós que representam paradas. Isto
quer dizer, que para um determinado par origem-destino r-s, um hipercaminho
representaria uma subrede que contem todas as combinações possíveis de caminhos
para ir de r até s (considerando transbordos) utilizando o subconjunto de
linhas atrativas para esse par r-s. Na Figura_2.1 apresenta-se um exemplo com
três paradas, A, B e C e três linhas de ônibus, e na Figura_2.2 mostra-se como
seria o hipercaminho que contém todos os caminhos possíveis que conectam A com
C.
Modelos desenvolvidos posteriormente começam a considerar a influência do
congestionamento. Spiess & Florian (1989) propõem um modelo que considera
que os custos do deslocamento em veículo (custo experimentado pelo passageiro
já dentro do ônibus) são funções crescentes do número de passageiros, ou seja,
que o efeito do congestionamento representaria o desconforto dos passageiros
dentro de um ônibus lotado. Nesse modelo são considerados custos de espera
fixos que unicamente dependem da freqüência das linhas, mas que não são
afetados pelos efeitos do congestionamento.
Alguns autores consideram os efeitos do congestionamento concentrados nos
pontos de parada dos ônibus. Gendrau (1984) considerou efeitos do
congestionamento na distribuição de passageiros e nos tempos de espera nas
paradas. De Cea & Fernández (1993-I) e Wu et al. (1994) apresentam
formulações em que os passageiros experimentam tempos de espera que dependem da
capacidade total da linha (ou conjunto de linhas atrativas) e do fluxo de
passageiros nela. De Cea & Fernández (1993-II) formulam dois modelos em que
assumem que os tempos de espera dependem da capacidade dos arcos e do fluxo de
passageiros que utilizam as linhas associadas a estes arcos, mas, uma vez que
os passageiros abordam um veículo, o tempo de viagem em veículo é fixo, e
determinado somente pelo nível de congestionamento na rede viária, o qual é
considerado um parâmetro exógeno.
Nguyen & Pallottino (1986) enfatizam que o problema de alocação de
passageiros em redes de transporte coletivo pode ser escrito como um problema
de inequação variacional no espaço dos vetores de fluxos nos hipercaminhos
viáveis, em forma similar ao problema de inequação variacional no espaço dos
vetores de fluxos nos caminhos viáveis para problemas de alocação de tráfego, e
que portanto os métodos de solução desenvolvidos para este caso podem ser
adaptados para o problema de alocação de passageiros. Wu et al. (1994) formulam
um modelo como um problema de inequação variacional, em que os custos de espera
dependem da freqüência das linhas e dos efeitos do congestionamento devido às
filas de passageiros nas paradas. Muitas modelagens que consideram o fenômeno
do congestionamento, formulam o problema como de inequações variacionais em que
a função de custo nos arcos tem em geral um Jacobiano assimétrico. Isto quer
dizer que o efeito de uma mudança no fluxo do arco a, no custo do arco b, pode
ser diferente do efeito de uma mudança no fluxo do arco b, no custo do arco a.
Matematicamente significa que a derivada parcial do custo no arco a em relação
ao fluxo no arco b, não é necessariamente igual à derivada parcial do custo no
arco b em relação ao fluxo no arco a.
As redes de transporte público em países em desenvolvimento apresentam algumas
características peculiares, como por exemplo, a existência de muitas vias por
onde circula uma grande quantidade de linhas de ônibus. A estrutura dos
percursos de muitas linhas produz uma grande superposição de ônibus em algumas
vias principais. Em muitos países os operadores pressionam para oferecer linhas
cujos itinerários atravessam vias com maior demanda. O problema das linhas
comuns nas redes de transporte coletivo em algumas cidades de países em
desenvolvimento deveria ser modelado considerando a questão do limite de
capacidade, o que não é feito em muitos modelos de alocação disponíveis, motivo
pelo qual é necessário fazer alguma simplificação.
Os modelos de escolha baseados em função de utilidade, como modelos do tipo
Logit, assumem que os passageiros são indivíduos racionais, que associam, a
cada alternativa de um conjunto de alternativas possíveis, uma utilidade, e que
eles escolhem a alternativa de maior utilidade.
Bunster (1986) indica que nenhuma das diferentes formulações acerca do
comportamento dos usuários na hora da escolha da rota, quando existem linhas
comuns, pode pretender ser exata, pois na decisão de cada usuário intervém
aspectos pessoais que dificilmente podem ser modelados matematicamente. Mas,
considerando um comportamento racional e similar em todos os usuários, pode-se
supor que o objetivo deles é minimizar o custo generalizado associado à viagem,
o que inclui tempo de espera, valor monetário da passagem, tempo de
deslocamento em veículo, tempo de caminhada, etc. Kirchhoff (1995) considera
que informações gerais acerca do serviço de transporte público e acerca das
diferentes possibilidades de deslocamento em direção aos destinos dos usuários,
são necessárias nas paradas e durante a viagem, para a escolha de rota. Neste
contexto são importantes as abordagens que estimam o tempo de viagem
experimentado pelos passageiros.
3.1 Determinação do tempo de viagem
O modelo de Chriqui (1974) considera que o tempo de viagem entre dois nós da
rede A e B, [TTV(A,B)] em que o conjunto de linhas atrativas é L, estará dado
pela expressão:
TTV(A,B) = TEL + TVL (A,B) onde o primeiro termo é o tempo de espera combinado,
(TEL) ou seja, o valor esperado do tempo de espera, considerando que o usuário
abordará o primeiro veículo de alguma linha do conjunto L que aparecer na
parada, e o segundo termo [TVL (A,B)] é o valor esperado do tempo em veículo no
caso em que o usuário aja da forma mencionada.
Para o caso em que um passageiro pretende ir de A até B utilizando a primeira
linha do conjunto L, Chriqui assume que os ônibus das linhas aparecem no ponto
de parada A em forma aleatória e independente, e portanto, os tempos de espera
de cada linha são variáveis aleatórias independentes, e com distribuições
semelhantes. Ele considera também que para cada linha, o tempo de espera de um
ônibus é independente do instante de chegada do passageiro ao nó, e apresenta a
seguinte propriedade:
Pr[TE(i) <= a0 + a / TE(i )> a0 ] = Pr [TE(i) <= a] , onde TE(i) é o tempo de
espera da linha i.
Isto equivale a dizer que o tempo de espera de um ônibus da linha i, não
depende do tempo de espera já transcorrido. Esta propriedade de "falta de
memória" é encontrada na distribuição exponencial, e Chriqui supõe uma
distribuição exponencial para as variáveis aleatórias dos tempos de espera das
linhas. Considerando a hipótese de que o passageiro tomará a primeira linha que
chegue, ele apresenta a seguinte formulação para o valor esperado do tempo de
espera:
onde wi é o tempo médio de espera para a linha i.
Integrando por partes chega-se a:
Esta fórmula corresponde ao conceito intuitivo de que o tempo de espera é
aquele que o passageiro experimenta ao esperar qualquer linha de um conjunto
cuja freqüência total é a soma das freqüências das linhas do conjunto.
Spiess (1983) considera que para uma taxa de chegada uniforme de passageiros ao
ponto de parada pode-se considerar que para uma determinada linha i, wi = a / F
(i), onde a é uma constante positiva e F(i) é a freqüência da linha i (número
de veículos / unidade de tempo). A constante assume dois valores: a = 1, para
uma distribuição exponencial dos headways, com média 1/F(i) e a = ½ como uma
aproximação para headways constantes. O fator a pode modelar o efeito de
diferentes percepções dos tempos de espera e dos tempos em veículo. Sem perda
de generalidade Spiess (1983) e Chriqui (1974) assumem um valor de a = 1.
Logo:
A probabilidade de que a linha i se apresente primeiro é igual a probabilidade
de que TE(i) seja t e, para j ¹ i , TE(j) > t, ou seja:
Se o tempo em veículo pela linha i é TV(i), então o tempo médio em veículo
independente da linha tomada será:
E o tempo total de viagem esperado será:
Acomodando termos:
Este valor de TTV é válido caso o passageiro tome qualquer primeira linha que o
leve até o destino, ou seja, são consideradas todas as linhas que passam na
parada e que podem levar o passageiro ao seu destino. No caso geral o
passageiro faz uma seleção de linhas atrativas, escolhendo aquelas que não
aumentem "muito" o tempo total de viagem. A continuação é descrito o
método proposto por Chriqui (1974) para a determinação das linhas comuns ou
atrativas.
O problema de encontrar as linhas comuns equivale a encontrar os valores Xi
tais que minimizem o valor esperado do tempo total de viagem:
O problema foi formulado como um problema de programação hiperbólica e o
procedimento, proposto por Chriqui e denominado algoritmo "S", é
descrito a seguir:
Primeiro é definido: <formula/>
4. Formulação matemática do problema de alocação por equilíbrio em redes de
transporte coletivo
O problema de alocação por equilíbrio em redes de transporte coletivo, abordado
neste trabalho, está caracterizado pelas seguintes hipóteses:
- a escolha das rotas dos passageiros está baseada nas estratégias
ótimas, representação no contexto dos hipercaminhos;
- a alocação de passageiros é efetuada segundo o primeiro princípio
de Wardrop, conhecido como ótimo do usuário;
- a repartição dos passageiros entre os caminhos elementares que
compõem um hipercaminho será baseada em um modelo logit;
- a demanda de viagens é considerada fixa, isto quer dizer, a matriz
origem-destino tem valores constantes e conhecidos;
- a matriz de custos nos arcos é assimétrica;
- as funções de custos nos hipercaminhos são funções convexas.
Para chegar na formulação do problema que contempla as hipóteses acima
indicadas serão apresentadas antes as formulações de um problema de alocação
para os seguintes casos:
- um modelo de alocação com custos fixos, no qual os efeitos do
congestionamento não são levados em consideração;
- um modelo de alocação com funções de custo no arco não lineares,
dependentes do fluxo no próprio arco; e
- um modelo logit de alocação.
4.1 Modelo de alocação com custos fixos
Um modelo baseado nas estratégias ótimas para redes de transporte coletivo com
custos fixos nos arcos é apresentado brevemente nesta seção (Spiess, 1983).
A rede de transporte coletivo é representada por um grafo G=(I,A), onde os
elementos do conjunto de nós, iÎI, são conectados por um conjunto de arcos
direcionados a=(i,j)ÎA.O conjunto de arcos saindo do nó i (correspondendo a uma
estrutura forward star) é denotado por <formula/>,
e o conjunto de arcos chegando ao nó i (backward star) é denotado por 
.
Uma impedância ca e uma freqüência fa são associados a cada arco a. No caso de
um modelo de alocação com custos fixos, a impedância de cada arco é um valor
constante, e na literatura é representado pelo tempo de viagem ou por um custo
generalizado de viagem. A demanda de viagens entre os nós p e q está dada por
gpq.
Uma rede aumentada, gerada a partir da representação básica da rede de
transportes, é utilizada para representar o sistema de transporte coletivo. Um
procedimento automatizado da explosão da rede, idealizado e desenvolvido nesta
pesquisa, é explicado com detalhe na seguinte seção. Os itinerários das linhas
de ônibus, metrô, trens e barcas estão implicitamente contidos na rede básica
de transportes. O conjunto de nós da rede aumentada contém, além dos nós
físicos da rede básica, um nó adicional por cada parada de cada linha.
Correspondentemente, os arcos são subdivididos em vários tipos, como arcos de
embarque, arcos em veículo, arcos de desembarque ou descida e arcos de
caminhada. Somente os arcos de embarque representam o evento da espera,
portanto estes arcos têm uma freqüência finita fa. Os outros arcos são
atendidos em forma contínua, adotando portanto uma freqüência infinita (fa =¥).
O tempo de espera em um nó i depende do conjunto de arcos atrativos[/img/
revistas/pope/v23n2/a01img09.gif]Í<formula/>, ou
seja, depende do subconjunto de arcos saindo de i, que são considerados
equivalentes em termos de custo pelos usuários. Os passageiros abordarão o
primeiro veículo que corresponda a qualquer um destes arcos atrativos. Para um
conjunto de arcos atrativos<formula/> no nó i, o
tempo de espera combinado W(<formula/>) é
proporcional à freqüência total combinada desses arcos:
E a probabilidade Pa(<formula/>) de passar pelo
arco a saindo do nó i é:
Em base a (11) e (12) qualquer estratégia para chegar ao destino r estaria
completamente definida pelo correspondente subconjunto de arcos atrativos ÅÍA.
A estratégia ótima para chegar ao destino é aquela que minimiza o valor
esperado do custo total de viagem. O custo de uma estratégia é a soma dos
tempos de viagem dos arcos da estratégia ca ponderados pela probabilidade de
viajar por cada arco a, e do tempo de espera nos nós i da estratégia,
ponderados pela probabilidade de viajar pelo nó i.
Para este problema com custos fixos nos arcos ca, a alocação das viagens desde
todas as origens até o destino r, segundo a estratégia ótima, corresponde a
resolver o seguinte problema de otimização linear:
sujeito a:
Aqui va é o fluxo no arco a e wirepresenta o tempo total de espera, em pessoas-
minutos no nó i.
Este problema pode ser resolvido em forma eficiente utilizando um algoritmo do
tipo label-setting proposto por Spiess (1983), que é apresentado a seguir , no
qual são determinadas as estratégias ótimas desde todos os nós da rede até um
determinado destino r. Para fazer a alocação para todos os destinos, basta
executar o algoritmo uma vez para cada destino r.
Para chegar ao nó de destino r, são achados desde todos os nós de origem: a
estratégia ótima Å* e os valores esperados dos tempos totais de viagem ótimos
u*i desde cada nó iÎ I até o destino r. Isto é feito nos passos 0 a 2. No passo
3 é realizada a alocação dos fluxos.
Passo 0. Inicialização:
Passo 1. Ache o próximo arco:
Passo 2. Atualize a etiqueta do nó i:
Passo 3. Aloca demanda segundo a estratégia ótima:
A variável Vi representa o fluxo que passa pelo nó i. Neste algoritmo a
distribuição de passageiros entre as linhas atrativas em cada parada, é feita
em forma proporcional às freqüências de cada linha atrativa.
4.2 Alocação de fluxo em redes de transporte coletivo com funções de custo não-
lineares
Nesta seção é tratado o problema de alocação de fluxo em que os tempos de
viagem nos arcos ca não são constantes, mas são funções contínuas não-
decrescentes ca(va) do fluxo total no correspondente arco a. Essa dependência
dos custos nos arcos em função dos volumes de passageiros pode representar uma
diminuição da rapidez do veículo devido ao número de passageiros, mas poderia
também ser interpretado como um custo generalizado que inclui um termo do
desconforto que aumenta a medida que o veículo vai ficando lotado.
As principais hipóteses deste modelo são as seguintes:
- todos os passageiros que viajam nos veículos sofrem o mesmo grau de
desconforto, mesmo que aqueles passageiros que abordaram o veículo
nas paradas anteriores tenham maiores chances de conseguir um
assento;
- os tempos de espera não são afetados diretamente pelo volume de
passageiros. Os passageiros podem abordar o primeiro veículo que
chegar na parada pois a capacidade dos veículos não é considerada
limitada.
Se <formula/> representa o volume de passageiros
no arco aÎA cujo destino é o nó rÎR, então o volume total de passageiros no
arco a será a soma dos volumes vapara todos os diferentes destinos r Î R,
Neste contexto, o problema de alocação em uma rede de transporte coletivo não é
separável por nó de destino devido a que o custo em cada arco depende do fluxo
total de passageiros que trafegam pelo arco.
Se a demanda de viagens desde o nó iÎIaté o destino rÎRé [/img/revistas/pope/
v23n2/a01img02.gif], Kr o conjunto de todas as estratégias para chegar ao
destino r,<formula/> a parte da demanda[/img/
revistas/pope/v23n2/a01img02.gif] que é alocada à estratégia kÎK, a seguinte
equação garantirá a conservação do fluxo:
Similarmente ao caso em que os custos são constantes, cada passageiro escolhe a
estratégia que minimiza o valor esperado do tempo total de viagem, só que neste
caso os tempos de viagem dependem dos volumes totais nos arcos e portanto das
estratégias escolhidas pelos outros passageiros. O comportamento dos
passageiros pode ser caracterizado matematicamente por condições de equilíbrio
similares àquelas que se originam do primeiro princípio de Wardrop, utilizadas
em uma alocação de tráfego de equilíbrio em uma rede de carros particulares.
Se <formula/> representa o custo de viagem
esperado desde o nó i até o destino r utilizando a estratégia kÎKr, e [/img/
revistas/pope/v23n2/a01img05.gif] representa o mínimo custo esperado de viagem
desde o nó i até o destino r, as condições de equilíbrio podem ser escritas
assim:
Da expressão (19) pode-se dizer que somente existirá fluxo não nulo nas
estratégias cujos custos sejam iguais aos custos da estratégia ótima, e
naquelas cujo custo é maior não existirá fluxo, o que implica em que somente as
estratégias com o menor custo esperado serão utilizadas pelos passageiros.
Spiess (1983) demonstra que as condições de equilíbrio da equação (19) são a
solução ótima do seguinte problema de minimização convexa:
sujeito a:
onde ca(x) é a função de custo no arco a que depende do fluxo no próprio arco
<formula/> é o custo total de espera para ir desde
iaté r
fa é a freqüência do arco a
Spiess ressalta que as restrições (21), (22), (23) e (24) do problema são
separáveis por destino (somente as restrições, a função objetivo não), e que
portanto é possível reformular o problema em termos dos volumes vak associados
com cada estratégia viável kÎ K da seguinte forma:
sujeito a:
As constantes <formula/> são iguais a 1, se o arco
a faz parte da estratégia k, e 0 em caso contrário. Se [/img/revistas/pope/
v23n2/a01img12.gif], <formula/> e [/img/revistas/
pope/v23n2/a01img14.gif] são as variáveis duais que correspondem às restrições
(26), (27) e (18), as condições de Kuhn-Tucker para uma solução ótima (v*,w*,
h*) do problema (25) podem ser escritas assim:
onde ta(<formula/>) é o custo no arco a para o
fluxo ótimo va
e
As variáveis <formula/> correspondem ao tempo de
viagem esperado desde o nó i até o destino r utilizando a estratégia k, isto é:
Como por (32) <formula/> então:
o que garante que (32) é equivalente a (19).
Spiess (1983) sugere que este problema pode ser resolvido utilizando um
algoritmo baseado no método de Frank & Wolfe (1956) para sucessivas
aproximações lineares da função objetivo. Spiess indica que, dado que não é
necessário guardar explicitamente os volumes dependentes dos destinos[/img/
revistas/pope/v23n2/a01img10.gif], é possível trabalhar com grandes redes com
muitos nós de destino. Uma aproximação linear deste problema origina um novo
problema em que é possível separar os fluxos por destino. Para cada destino, o
subproblema resultante é equivalente a um problema com custos fixos nos arcos
e, portanto, pode ser resolvido utilizando o algoritmo apresentado na seção
4.1.
A continuação é apresentado o algoritmo que resolve o problema de alocação com
funções de custo não-lineares.
Passo 0. Inicialização
Ache uma solução viável (v0,w0)onde v0 denota o vetor dos fluxos
totais no arco a, e o escalar w0 denota o correspondente tempo total
de espera: <formula/>
l <formula/> 0
Passo 1. Subproblema
l<formula/>l +1
calcule (v',w') resolvendo o problema de alocação com custos fixos
ca= ca(<formula/>) para cada destino
rÎR.
Passo 2. Busca linear
Calcule o tamanho de passo ll, que minimize a função objetivo no
segmento de linha determinado por: (1 'l) . (vl '1, wl '1) +l. (v',
w'), 0 <l<1
Passo 3. Atualização
(vl,wl)<formula/> (1 'll) . (vl '1, wl
'1) +ll . (v', w')
Se <formula/> ca ([/img/revistas/pope/
v23n2/a01img19.gif])(<formula/> ' [/img/
revistas/pope/v23n2/a01img21.gif]) + wl '1 ' w' <e então pare, senão
vá ao passo 1.
A minimização do passo 2 pode ser implementada igualando a zero a derivada da
função objetivo. O que seria equivalente a resolver a seguinte equação:
Este mesmo problema de uma minimização convexa com custos simétricos, pode ser
também formulado como um problema de inequações variacionais, o que é tratado
na próxima seção.
4.3 Formulação do problema de equilíbrio como um problema de inequações
variacionais
O problema de equilíbrio pode ser escrito como um problema de inequações
variacionais, como a continuação se apresenta.
Um problema de inequações variacionais consiste em achar o vetor x* que
satisfaça a seguinte expressão:
onde xÎ W Ì Rn, um conjunto não vazio, e c(x) é uma função de Rn em Rn.
Por outro lado, um problema de complementaridade não linear, equivalente ao
problema de inequações variacionais, é definido por:
Torres (1987) apresenta a equivalência entre um problema de equilíbrio em uma
rede de veículos particulares e um problema de complementaridade não linear.
Seguindo a mesma lógica pode-se provar que um problema de equilíbrio para uma
rede de transporte coletivo também pode ser expresso como um problema de
complementaridade não linear.
Primeiro, considerando que as condições de ótimo do usuário (9) também podem
ser escritas como:
e as condições de conservação de fluxo e de não negatividade dos fluxos e das
variáveis duais (os multiplicadores das restrições):
Pode-se demonstrar que uma solução x = (h,u) que satisfaz as relações (40) '
(43) também resolve o problema de complementaridade não linear:
se é definido apropriadamente c(x) = (y(x), z(x)) uma função de Rn em Rn, com n
= /K/ + /IxR/onde y(x)e z(x) são definidas assim:
Então um problema de equilíbrio de redes de transporte coletivo pode ser
escrito como um problema de complementaridade não linear e, portanto, também
como um de inequações variacionais.
4.4 Alocação de equilíbrio em redes de transporte coletivo com custos
assimétricos
Nesta seção é tratado o problema de alocação de equilíbrio, quando os custos
nos arcos são funções convexas não decrescentes que dependem, não somente do
fluxo no próprio arco, senão também dos fluxos em outros arcos da rede.
O algoritmo apresentado na seção 4.2, satisfatório para o caso em que o custo
ca em cada arco a depende somente do fluxo no arco a, não é capaz de resolver
situações como as que se apresentam quando os custos nos arcos não dependem
unicamente dos fluxos nos mesmos. Exemplos destas situações se apresentam em
ruas de mão dupla em que os tempos de deslocamento em cada sentido dependem não
somente do fluxo numa direção, senão também na direção contrária. Outro exemplo
aparece nas interseções, em que o tempo de deslocamento numa determinada rua
pode depender dos fluxos das ruas transversais a ela.
Para uma formulação em função dos fluxos nos arcos as restrições do problema
continuam sendo as de não negatividade e de conservação de fluxo:
A função objetivo não é mais a mesma da formulação com funções de custos nos
arcos que dependem unicamente do fluxo no próprio arco. Para uma alocação de
acordo com o ótimo do usuário, devem ser satisfeitas as condições de equilíbrio
de Wardrop: as estratégias cujos custos sejam iguais ao custo ótimo (custo da
melhor estratégia) terão fluxos não negativos, e aquelas cujos custos sejam
maiores terão fluxos nulos, chegando à seguinte expressão:
que é um problema de inequação variacional, onde X representa o vetor de fluxos
nos arcos, X* o vetor ótimo de fluxos nos arcos, C(X*)o vetor de custos nos
arcos para os fluxos ótimos, dependente do fluxo em todos os arcos, W o vetor
de custos totais de espera associados ao padrão de fluxos X, e W* o vetor de
custos totais de espera associados ao vetor X* ótimo.
Dado que o vetor de custos C(X) possui um Jacobiano assimétrico, não existe uma
formulação equivalente de otimização. Uma forma de resolver o problema consiste
em utilizar o método da diagonalização. A cada iteração o vetor de custos é
diagonalizado na solução atual, conseguindo-se desta maneira, um problema de
alocação simétrica.
O método da diagonalização faz parte dos métodos de aproximação linear da
função de custos C(X).Pang & Chan (1982) apresentam o seguinte algoritmo
para definir a aproximação linear:
Dado Xk um vetor de fluxo viável, seja Xk+1 a solução do subproblema de
inequações variacionais onde o vetor de custos C(Xk) é uma aproximação de C(X)
no ponto Xk. Cada C(Xk) deveria ser tal que o subproblema com o vetor de custos
aproximados seja mais fácil de ser resolvido que o problema original.
Uma aproximação linear de C(X) tem a forma seguinte:
onde A(Xk)é uma matriz quadrada.
Se C(Xk) for não linear, Ck(X) será uma aproximação não linear.
Quando a matriz A(Xk)é igual à diagonal do Jacobiano D(Xk), o método é
conhecido como Jacobiano linearizado, ou diagonalização.
Então voltando ao problema de equilíbrio, a solução do problema (43) será
achada resolvendo em forma iterativa o seguinte problema:
onde C' (X*) (a aproximação linear) tem um Jacobiano diagonal.
Em Dafermos (1982) pode se apreciar que uma condição necessária e suficiente
para que as funções de custos sejam fortemente monótonas, é que o Jacobiano
(não necessariamente simétrico), seja definido positivo para qualquer valor de
fluxo da região viável. Espera-se que esta condição seja observada na maioria
das situações onde existe interação entre os fluxos dos diferentes arcos, pois
geralmente o custo ca num arco apode depender dos fluxos em todos os arcos, mas
é razoável esperar que a maior dependência seja com respeito ao fluxo do
próprio arco va, de tal forma que ¶ ca / ¶ va seja muito maior que ¶ ca / ¶vb.,
permitindo desprezar esta última influência.
Com tudo isso, pode-se reescrever o problema (45) como:
onde <formula/>(x) é uma componente do vetor de
custos Ck(X)que é aproximado como:
onde D(Xk) é a diagonal do Jacobiano.
O problema pode ser resolvido em forma iterativa com o algoritmo apresentado na
seção 4.2.
4.5 Alocação logit nos hipercaminhos mais curtos
No modelo de Spiess (1983), o algoritmo faz a alocação de fluxos repartindo-os
nos arcos em forma proporcional às freqüências, considerando somente o conjunto
de linhas atrativas. Os arcos de espera de cada linha têm uma freqüência igual
à freqüência da linha associada. Os outros tipos de arcos têm freqüência
infinita.
Nguyen et al. (1998) propõem a aplicação de uma forma seqüencial do modelo
logit para fazer a alocação em uma rede de transporte coletivo, como uma forma
de evitar a enumeração explícita de todos os hipercaminhos, mantendo as
vantagens do modelo logit utilizado em redes de veículos privados.
Neste trabalho foi implementada a alocação logit seqüencial baseada nos custos
e comparada com a alocação baseada nas freqüências relativas. A primeira
reparte os passageiros em uma parada entre as diferentes linhas atrativas em
função dos custos de viagem desde esse ponto até o destino. A segunda reparte
em função das freqüências das linhas atrativas.
O modelo logit calcula a proporção da escolha de uma determinada alternativa
através da probabilidade de escolha da mesma. Pode ser aplicado a todas as
etapas dos modelos de viagem, e a outros aspectos da análise de transporte e
problemas urbanos. O modelo usa a seguinte fórmula:
onde i é uma alternativa que pertence ao conjunto de alternativas relevantes
Atpara um indivíduo t. Uit , a utilidade da alternativa i, é uma função de
certas características sócio-econômicas do indivíduo t, e das características
da alternativa i, como tempo de viagem, custo, medida de atratividade, idade,
renda, etc.
Uma forma de apresentar o modelo logit para o problema de alocação de fluxos é
a seguinte:
onde VP é o custo associado com o caminho p, e q é o coeficiente da função de
utilidade, denominado aqui de parâmetro de dispersão, e Uit= q VP.O modelo
padrão de alocação logit foi apresentado por Dial (1971). Este modelo
representa uma forma viável de fazer uma alocação de equilíbrio devido a
requerimentos de memória moderados para armazenar os dados da rede.
O comportamento dos motoristas de veículos é incerto, devido a que o
congestionamento, a geometria das vias, as decisões dos outros motoristas,
entre outros fatores, podem provocar uma dispersão na avaliação que cada
viajante faz dos tempos de cada rota alternativa a seguir num determinado
trajeto entre um par O-D. Os modelos probabilísticos tornam-se, então uma
alternativa para tentar representar esse fenômeno.
Em vários modelos de alocação, todas as viagens entre um par origem-destino são
alocadas aos arcos que compõem o caminho mais curto mediante a técnica de
alocação "tudo ou nada". Uma alocação "tudo ou nada" a um
único caminho contradiz o comportamento do conjunto total de viajantes, pois,
muitas vezes, eles não utilizam o caminho que percebem como o mais curto e as
alocações nestes modelos são, freqüentemente, inexatas, comprometendo as
decisões dos planejadores de transportes quanto ao desenho da rede. Muitos
planejadores consideram mais útil que o modelo de alocação reflita em algum
grau o comportamento aparentemente não ótimo dos usuários. A qualidade das
decisões dos planejadores poderia melhorar e os custos dessas diminuiriam.
Uma solução para o problema de alocação é o modelo probabilístico de Dial
(1971) que evita a enumeração de caminhos. Ele aloca viagens a todos os
caminhos "razoáveis" em forma simultânea, de modo tal que o efeito é
idêntico ao que aconteceria se houvessem sido alocadas viagens separadamente
sob certas premissas de probabilidade de escolha de caminhos.
Um caminho será razoável se ele é "eficiente". Um caminho eficiente é
aquele em que o usuário não "avança para atrás". Enquanto o usuário
se desloca num caminho progredindo de nó a nó, ele sempre se afasta do nó de
origem e se aproxima ao nó de destino. Um caminho é eficiente, se cada arco
contido nele tem seu nó de início mais perto do nó de origem do que seu nó
final, e tem seu nó final mais perto do nó de destino do que seu nó inicial.
No que se refere à alocação logit, esta tem algumas especificações funcionais
identificadas por Dial (1971) que convém ressaltar:
i) o modelo dá, a cada caminho eficiente associado a cada par O-D,
uma probabilidade não nula de ser utilizado, enquanto os caminhos
ineficientes têm probabilidade zero;
ii) todos os caminhos de igual custo têm igual probabilidade de uso;
iii) quando existem dois ou mais caminhos eficientes, o de menor
comprimento tem maior probabilidade de uso;
iv) o modelo não enumera explicitamente os caminhos em que faz
alocação; todos os caminhos eficientes para um par O-D são carregados
simultaneamente;
v) o usuário do modelo pode controlar as probabilidades dos caminhos,
atribuindo diferentes valores a um parâmetro de dispersão.
Uma forma seqüencial de escrever o modelo logit (49) para a escolha dos
hipercaminhos baseada na probabilidade condicional proposta por Nguyen et al.
(1998) é a seguinte:
Pr[(i,j)/i] é a probabilidade condicional de selecionar o arco(i, j) em um
hipercaminho entre o nó i e o destino.
P(j) é o conjunto de hipercaminhos que conectam o nó j com o destino d.
cijé o tempo ou custo no arco (i,j)
i+é o conjunto de arcos cuja cauda é o nó i
V 'P(j) é definido assim:
onde Wj (peso do nó i) é calculado recursivamente:
onde j+ é o conjunto de arcos saindo do nó da rede j.
Para uma rede de veículos privados, onde a estrutura de custo é aditiva, ambos
modelos, o global e o seqüencial geram iguais resultados. No caso de
hipergrafos, onde os custos nos hipercaminhos não são funções aditivas dos
custos dos arcos envolvidos, os dois modelos geram resultados diferentes, e
somente o modelo seqüencial produz uma implementação eficiente que dispensa a
enumeração explícita dos hipercaminhos eficientes.
Nguyen et al. (1998) consideram que devido a que o itinerário de um passageiro
não depende somente da escolha dele, mas também da realização de alguns eventos
externos aleatórios, como a chegada do primeiro ônibus do conjunto de linhas
comuns, o mecanismo de escolha embutido no modelo seqüencial parece ser mais
apropriado. Também afirmam que a aplicação direta do modelo logit global aos
caminhos eficientes, em lugar dos hipercaminhos eficientes, destruiria a regra
de repartição nos arcos de espera, embutida na abordagem dos hipercaminhos.
Em uma rede de transporte coletivo o modelo logit seqüencial levaria ao
seguinte cálculo recursivo das probabilidades condicionais. A probabilidade de
incluir o arco e na rota dado que o nó i (cauda do arco e) está incluído na
rota é calculada assim:
V'P(j') é calculado como uma soma log ponderada dos pesos Wk das cabeças dos
arcos originados em j' quando j' é um nó de embarque, e como uma soma log em
caso contrário.
o valor do peso do nó j, Wj é calculado recursivamente:
onde a(e,k)é o coeficiente positivo da repartição de fluxo nos arcos
(proporcional à freqüências relativas dos arcos incidentes).
Nguyen et al. (1998) apresentam a alocação logit seqüencial em forma de um
algoritmo dividido em dois passos. No primeiro, são varridos os nós desde o
destino para atrás (backward order). Aqui calcula-se o peso de cada nó Wj e,
simultaneamente, determina-se b(e,i),a proporção local do nó i.
No segundo passo são varridos os nós para a frente (forward order) desde a
origem até o destino, alocando a demanda aos arcos eficientes.
Estes dois passos são mostrados a continuação:
O procedimento de distribuição de fluxo é o seguinte:
Na seção seguinte apresenta-se uma descrição da implementação computacional do
modelo para achar a alocação de equilíbrio.
5. Implementação computacional do problema de alocação de equilíbrio
Nesta seção apresenta-se o algoritmo que resolve o problema da alocação de
fluxo de equilíbrio para redes de transporte coletivo com congestionamento, com
funções de custo assimétricas, utilizando o conceito de estratégias ou
hipercaminhos. A repartição dos passageiros nos diferentes caminhos elementares
de cada hipercaminho pode ser feita utilizando dois métodos que serão
apresentados e brevemente comparados, na seção 6. Trata-se de um modelo logit,
e outro, utilizando uma repartição dos fluxos entre os caminhos elementares de
cada hipercaminho, em forma proporcional às freqüências das linhas.
Nesta implementação as funções de custos nos arcos são funções monótonas não
simétricas dos fluxos nos arcos. Como parte da solução, foi implementado um
método de diagonalização baseado no Jacobiano do vetor de custos, que é um
procedimento iterativo em que as funções de custo são aproximadas em forma
linear na solução corrente, obtendo-se um novo problema com funções de custo
simétricas. Será utilizado um procedimento para resolver o problema de alocação
em uma rede de transporte coletivo baseada no algoritmo de Frank-Wolfe (1956).
De Cea & Fernández (1993) indicam que as condições de monotonicidade das
funções de custo são suficientes mas não necessárias em algoritmos de
diagonalização, que na prática apresentam excelentes propriedades de
convergência, mesmo até quando as condições não são satisfeitas.
Como as restrições de conservação de fluxo e de não negatividade determinam um
conjunto convexo, então o problema pode ser resolvido por métodos iterativos
para resolver problemas de inequação variacional (ver Pang & Chang, 1982;
Parada, 1989), em particular, pelo procedimento baseado no método de Frank-
Wolfe, que não requer guardar os volumes para cada destino em forma explícita.
A continuação apresenta-se o algoritmo proposto para resolver o problema de
equilíbrio, no qual é utilizada uma adaptação do método de Frank-Wolfe, que
resolve o problema para o caso com congestionamento do problema linearizado, e
faz uma alocação logit:
5.1 Algoritmo de solução
0. Inicialização
Gere a rede aumentada
Ache uma solução viável (v0, w0)
Seja l = 0
1. Seja l = l +1
Ache os hipercaminhos mais curtos para todos os pares O-D
Faça uma alocação logit seqüencial e ache (v', w') aplicando os
algoritmos de repartição local e distribuição de fluxo com os custos
nos arcos ti = ti(vl-1)
2. Calcule o tamanho de passo ll que minimize a função objetivo no
segmento de linha determinado por: (1 'l) . (vl-1, wl-1) +l. (v',
w'), 0 < l < 1
3.Atualize (vl, wl) = (1 'll) . (vl-1, wl-1) +ll . (v', w')
Se <formula/>(vl, wl) ' (vl-1, wl-1)[/
img/revistas/pope/v23n2/a01img30.gif] < e então pare, senão vá ao
passo 1
As principais rotinas desta implementação podem ser identificadas como:
- a geração da rede de transporte coletivo (rede aumentada),
- a determinação das rotas, representados pelos hipercaminhos,
- a alocação dos passageiros nessas rotas.
Para a geração da rede aumentada parte-se da representação da rede viária,
feita através de um grafo G=(N,A), onde N é o conjunto de nós e A é o conjunto
de arcos. A região em estudo é dividida em zonas de tráfego. Cada uma destas
tem um centróide, onde é suposto que está concentrada a demanda de passageiros.
Uma matriz de viagens origem-destino representa os deslocamentos de passageiros
entre cada par de centróides. Os nós da rede representam centróides, paradas e
interseções das vias. Os arcos representam as vias, conectando paradas
consecutivas, e também existem conectores (arcos de caminhada) que representam
os acessos dos centróides à rede viária. A rede "aumentada" é obtida
pela adição de arcos de caminhada, utilizados para o acesso e saída da rede e
transferências entre linhas. Além disto, cada uma das linhas disponíveis entre
duas paradas consecutivas, i e j, é representada por um arco individual a. Isto
é, duas linhas diferentes entre um mesmo par de nós são representadas por dois
arcos diferentes. Na rede aumentada, cada parada de ônibus atendida por k
linhas, é representada por k+1 nós diferentes (um da parada própria e um nó
adicional para cada linha). A geração da rede aumentada explode o tamanho da
rede original, tanto em número de arcos como em número de nós. Uma das
contribuições desta pesquisa foi o desenvolvimento de um procedimento para a
geração automática da rede aumentada (Castro & Leal, 1998).
Para a determinação dos hipercaminhos foi utilizada uma sub-rotina que se
encarrega de encontrar os custos totais de viagem desde todos os nós até um nó
que é fixado como destino, para custos fixos nos arcos. Os valores dos custos
são fixos em função dos fluxos de uma iteração anterior. Na primeira iteração
parte-se de um conjunto de fluxos viáveis, podendo ser nulos.
As funções de custos nos arcos que foram utilizadas nesta implementação,
dependem somente dos fluxos de dois arcos, ou seja, além do fluxo do próprio
arco, depende do fluxo de um outro arco da rede. Como a atualização dos custos
é feita a cada iteração, para este caso particular, em que as funções de custo
nos arcos dependem somente de dois arcos, foi conveniente identificar esse
outro arco, cujo fluxo influi no custo. Foi criada uma sub-rotina para
identificação desse arco auxiliar no cálculo do custo, o que agiliza a
atualização dos custos. Para cada arco de espera, foi considerado que o custo
de espera depende do número de passageiros esperando na parada e da quantidade
de passageiros que já está dentro do veículo, quando este chega na parada. Para
os arcos em veículo, foi considerado que o custo depende do número de
passageiros que já está dentro dele e dos que acabam de subir. Nesta
implementação, foi utilizado o algoritmo de Spiess para custos fixos, detalhado
na seção 4.1, que usa etiquetas nos arcos que correspondem às linhas
consideradas atrativas pelos passageiros. No passo 1 deste algoritmo, para
poder escolher o arco a=(i,j) com o menor uj+ca , os arcos devem ser ordenados
em forma crescente, segundo a etiqueta uj+ca. Para isto foi utilizada uma
estrutura heap binária.
A alocação de passageiros foi realizada neste trabalho usando dois métodos: Um
que reparte os fluxos nas paradas atendidas por mais de uma linha atrativa, em
forma proporcional às freqüências das respectivas linhas e outro que efetua a
repartição segundo uma alocação logit.
O tamanho do passo corresponde ao valor de l que minimiza a função objetivo do
problema linearizado, para dois valores de fluxos calculados em duas iterações
seguidas. Uma forma de calcular este valor, é igualando a zero a derivada da
função objetivo para um valor do fluxo que depende de l. Deve se verificar que
o valor achado corresponda a um mínimo e não a um máximo, já que a derivada
nula não garante que seja o mínimo. Para a igualação a zero da derivada foi
implementado um cálculo iterativo utilizando o método da bi-seção, com valores
iniciais de l entre 0 e 1. Além disso, a cada iteração, tem que ser examinadas
as condições nos extremos do intervalo de busca. Deve-se verificar, por
exemplo, a condição de que as pendentes da função a ser minimizada nos extremos
do intervalo de busca tenham sinais diferentes para garantir que pode haver um
mínimo em algum ponto do intervalo de busca. No caso em que as pendentes nos
extremos do intervalo de busca têm o mesmo sinal o mínimo acontece em um dos
extremos do intervalo de busca. Para identificar em qual dos extremos se dá o
valor mínimo, basta avaliar a função nos dois pontos, e comparar estes valores.
Estas rotinas foram implementadas em linguagem Delphi e o programa foi aplicado
na rede de transporte coletivo da cidade do Rio de Janeiro, com resultados
resumidos a seguir.
6. Resultados da aplicação da alocação de equilíbrio
Nesta seção são apresentados os primeiros resultados da aplicação da
implementação computacional. Testes foram feitos previamente com redes
utilizadas nos artigos de Spiess (1983) e Wu et al. (1994) produzindo
resultados corretos.
Os dados utilizados nesta aplicação correspondem à Região Metropolitana do Rio
de Janeiro. Esta região era atendida, na época da construção da base de dados,
por um total de 605 linhas de ônibus, das quais 328 eram linhas municipais e
277 eram linhas intermunicipais. Também são consideradas as duas linhas de
metrô: linha 1: Botafogo-Saens Peña, e linha 2: Estácio-Engenho da Rainha. Não
foi considerado o ramal Copacabana-Botafogo da linha 1 do metrô, pois os dados
utilizados são anteriores ao funcionamento daquele trecho. Além das linhas de
ônibus e das de metrô, também são considerados 10 ramais de trem e 5 linhas de
barcas e aerobarcas nas rotas Rio-Niterói, Rio-Ilha do Governador e Rio-Ilha de
Paquetá.
A seguir descrevem-se os dados gerais das linhas dos diversos modos de
transporte coletivo consideradas nesta aplicação.
ÔNIBUS: para este modo foram codificadas 605 linhas.
METRÔ: foram codificadas as duas linhas.
TREM: foram codificados 10 ramais: ramal Deodoro, Santa Cruz, Japeri,
Paracambi, Belford Roxo, São Mateus, Gramacho, Vila Inhomirim, Guapimirim e o
ramal de Niterói.
BARCAS / AEROBARCOS: foram codificadas 5 linhas, sendo 3 do modo barca, a
saber: Rio-Niterói, Rio-Ilha do Governador e Rio-Ilha de Paquetá. Para o modo
aerobarco foram codificadas as linhas Rio-Niterói e Rio- Ilha de Paquetá.
A rede viária básica contém 1098 nós e 2753 arcos. A rede generalizada contém
30641 nós e 85341 arcos.
A região em estudo está dividida em 94 zonas de tráfego e parte-se da hipótese
de que a demanda de passageiros está concentrada nos centróides de cada zona.
Os valores das quantidades de viagens para cada par de zonas origem-destino
estão contidos em matrizes de origem destino (matrizes O-D). São duas matrizes
O-D, uma para o período de pico da manhã, e a outra para a tarde.
Foi aplicado o algoritmo, descrito na seção 5.1, aos dados das matrizes origem-
destino das horas pico da manhã e da tarde.
As funções de custos nos arcos que foram utilizadas neste estudo são teóricas
uma vez que a criação destas funções deveria surgir a partir de um estudo
prévio que escapa ao escopo desta pesquisa. Estas funções de custos nos arcos
deveriam ser criadas de forma tal que refletissem o padrão de fluxos
observados, além de observar as características de monotonicidade e convexidade
para garantir a convergência e existência da solução do problema.
Consideraram-se 4 tipos de arcos sendo aqui especificada uma função de custo
para cada tipo de arco:
ca(v) =a1tapara arcos de caminhada
ca(v) =a2((vb +b2 vd)/K)r para arcos de espera
ca(v) =a3ta +b3((vd +g3 vb)/K)r para arcos em veículo
ca(v) =a4tapara arcos de desembarque
onde ta é o tempo de deslocamento no arco, v é o fluxo no arco a, vb e vd são
os fluxos nos arcos em veículo e arco de espera prévios ao arco corrente a,
respectivamente. As variáveis a1, a2,a3, a4,b1, b2, g3 e r são parâmetros das
funções de custos.
Foram considerados dois critérios de parada para a execução do programa. Um
deles é baseado na função GAP definida como: Gap(h) = min S(h)T(h-x) onde x é
um fluxo qualquer na região viável, e h é o valor corrente do fluxo. O segundo
critério é fixar o número de iterações. Os valores default sugeridos pelo
manual do pacote de EMME/2 são de 15 iterações e um GAP relativo de 0.5% ou
0.005. O GAP relativo é obtido dividindo o valor do GAP absoluto pelo valor do
custo ou tempo total na rede.
O critério de parada atingido foi geralmente o número de iterações previamente
estabelecido no programa, o qual foi fixado em 10 ou 20 iterações. Em termos de
tempo de CPU, utilizando uma máquina Pentium 100 a média foi de 37 minutos para
20 iterações, o que dava um valor médio de um minuto e 50 segundos por
iteração. Isto depende muito da estrutura particular da rede, dos algoritmos
utilizados e das estruturas de dados utilizadas. No caso, a rede da Região
Metropolitana do Rio de Janeiro apresenta alta concentração de linhas em
determinadas zonas de tráfego da cidade, como por exemplo no centro da cidade
na avenida Rio Branco, na avenida Brasil, na avenida Nossa Senhora de
Copacabana. Em média cada linha passava por 10 pontos de parada, e cada ponto
de parada era atendido por 20 linhas de transporte coletivo. Aqui deve se levar
em conta que as linhas com percurso de ida e volta foram consideradas como duas
linhas independentes e que alguns nós destas linhas faziam parte tanto do
percurso de ida quanto da volta.
O uso do algoritmo de Frank-Wolfe produz bons resultados mas sem a precisão que
poderiam atingir outros métodos. Pompermayer (1997) indica que o método de
Frank-Wolfe mesmo considerando estas restrições, ainda é um dos mais utilizados
em aplicações de transportes, devido às incertezas envolvidas no levantamento
dos dados, o que torna inadequado preocupar-se com a exatidão na busca do
ótimo.
A continuação, apresenta-se uma tabela com os resultados das alocações
efetuadas para distribuição dos fluxos proporcionais às freqüências e segundo o
modelo logit. Mostram-se os valores da função objetivo e os gaps relativos para
20 iterações.
Na tabela anterior pode-se observar como variam os valores da função objetivo
para as duas formas de alocar os passageiros nos arcos da estratégia ótima. A
primeira alocação é feita em função de um modelo logit que reparte os fluxos
nos arcos em função de parâmetros que dependem da distância do ponto analisado
até o nó de destino. A segunda alocação é em função das freqüências dos arcos
que representam as linhas de ônibus.
Pode-se notar que os valores observados da função objetivo oscilam em torno a
um mínimo local e em algumas iterações, ficam até pior que na solução da
iteração prévia o que pode ser considerado uma característica do Frank e Wolfe.
O procedimento usando a alocação Logit teve, neste experimento, um desempenho
um pouco melhor, com o valor mínimo alcançado na 20. iteração. Seu valor mínimo
ficou 8% abaixo do valor mínimo obtido na alocação proporcional à freqüência,
alcançado na 16. iteração.
7. Conclusões
Nesta pesquisa foi desenvolvido e implementado um modelo para alocação de
equilíbrio em uma rede de grande porte. Foram apresentados os fundamentos
teóricos do modelo e aspectos da implementação computacional.
Para aplicações práticas é necessário um estudo de fluxo que determine as
funções de custos nos arcos adequadas à região em estudo, para se obter valores
de fluxos que possam ajudar a simular uma situação real e auxiliar na tomada de
decisões ao planejador do sistema de transporte coletivo. A modelagem da função
de custo merece ser objeto de estudos adicionais. Acredita-se que, dentro de um
escopo de um estudo completo de tráfego na região em estudo, podem ser
calibradas funções de custo próprias da cidade estudada, em função da geometria
particular da rede, do número de linhas, etc., que expliquem, em melhor forma,
os padrões de fluxo observados em uma situação real.
Considerando o tamanho da rede analisada e os tempos de CPU, pode-se concluir
que os tempos de processamento obtidos são aceitáveis. De fato, redes mais
detalhadas consomem maior tempo nos cálculos computacionais, e deve-se chegar
em uma solução de compromisso, onde os critérios em conflito seriam a memória
necessária para redes mais detalhadas e o tempo de computação. O nível de
detalhe da representação da rede de transporte coletivo deverá ser escolhido
pelos planejadores de acordo com os objetivos do estudo.
Uma alocação logit leva em consideração uma forma de distribuição dos fluxos
mais realista, em relação ao comportamento dos usuários do sistema de
transporte público, do que uma distribuição proporcional às freqüências das
linhas. Mas, nos casos em que não existe congestionamento, é possível supor que
os passageiros serão distribuídos entre as linhas consideradas comuns, ou
atrativas, em forma proporcional às freqüências.
Em uma rede em que os transbordos são permitidos podem aparecer rotas que
contenham um número absurdo de transbordos. Isto não refletiria a realidade da
maioria das cidades de países em desenvolvimento, em que a maioria dos usuários
do sistema de transporte coletivo é considerada como usuários cativos, os quais
procuram minimizar o custo monetário da viagem independentemente do tempo de
viagem. Pode ser sugerido algum tipo de penalidade que limite o número de
transbordos permitidos, o qual refletiria melhor uma situação real e diminuiria
o tempo de cálculo dos algoritmos.
Na aplicação relacionada a este estudo apresentam-se apenas valores dos custos
totais de uma alocação de equilíbrio na rede do Rio de Janeiro. Algumas
sugestões para os planejadores do sistema de transporte podem surgir a partir
dos resultados obtidos, ao se analisar os dados de uma forma desagregada. Para
tal é necessário dispor de um método de visualização associado a um sistema de
informações geográficas para poder interpretar a massa de dados relacionados
aos arcos e trechos de linhas. O modelo está sendo implementado nesta direção,
através de interfaces com o Transcad. A partir daí, podem ser analisados fluxos
e, uma vez verificados trechos com engarrafamentos, realizar alguns
experimentos. Por exemplo, pode-se mudar o tamanho dos veículos de algumas
linhas segundo os fluxos observados, mudar as freqüências, mudar os itinerários
de algumas linhas, tirar linhas, etc. Os primeiros resultados da pesquisa são
encorajadores no sentido de se dispor de um procedimento avançado de análise de
redes de transporte público em cidades de grande porte.
