Sistemas em paralelo com diferentes tipos de taxa de risco: análise de períodos
e de custos de inspeção
1. Introdução
Considere-se um sistema cujo tempo de vida T é uma variável aleatória contínua
com valor médio E(T), cujo estado de bom ou mau funcionamento é apenas
conhecido se o sistema for inspeccionado. Admita-se, ainda, que existe um custo
fixo C1 por cada inspecção feita ao sistema e um custo fixo C2 por cada unidade
de tempo de mau funcionamento não detectado. Considere-se, por outro lado, que
as inspecções consideradas neste trabalho são periódicas, perfeitas, de duração
nula e que não interferem no estado do sistema.
O problema que se nos coloca num esquema de inspecção periódica é determinar
uma sequência de instantes de inspecção iP, com i=1, 2, 3, ..., em que P é o
período, de tal forma que seja mínimo o custo total médio por ciclo E(C) dado
por:
em que E(N) e E(D) são, respectivamente, o número médio de inspecções e o tempo
médio de detecção. Considera-se que um ciclo começa no instante inicial de
funcionamento (pode ser após a reparação de uma falha, após a qual o sistema se
considera como novo) e termina no instante em que a falha é detectada.
E(N) e E(D) admitem interpretações geométricas curiosas, permitindo conclusões
interessantes (Rodrigues Dias, 1983, 1987). Em particular, note-se que
onde R(t) representa a função de fiabilidade do sistema, definida por
em que F(t) é a função de distribuição de T. Note-se também que
A solução para o período de inspecção P é obtida através da resolução da
equação (Rodrigues Dias, 1983):
onde f(t) é a função contínua de densidade de T.
Nakagawa & Yasui (1979), admitindo que E(D)=P/2, obtiveram a solução
aproximada P* para o período de inspecção:
Em Rodrigues Dias (1983) analisou-se, com detalhe e, em particular, em termos
de custos, a validade desta aproximação para diferentes distribuições de tempos
de vida e diferentes valores de r. Note-se que na solução não aparecem os
valores individuais de C1e C2mas apenas o seu cociente r.
Em Rodrigues Dias (1990a) obteve-se uma outra aproximação para o período de
inspecção P**, dada por:
que pode ser considerada como uma generalização de P*. Em termos globais,
concluiu-se que P** é melhor que P* e, em especial para o caso da distribuição
exponencial, pode ser considerada (quase) óptima.
Rodrigues Dias (2000a) mostrou, através de alguns exemplos, que quando se
introduz um novo componente (sistema) em série num sistema já existente, ambos
com tempo de vida exponencial, o período de inspecção óptimo do novo sistema
pode aumentar ou diminuir, apesar da diminuição da fiabilidade do sistema
global resultante, dependendo dos novos custos de inspecção e de mau
funcionamento. Em Rodrigues Dias & Infante (1999) generaliza-se esse
estudo, considerando, em particular, tempos de vida com uma distribuição de
Weibull com diferentes parâmetros de forma, obtendo, para cada r, uma relação
entre os custos por forma a que o período quase-óptimo no sistema em série e no
sistema inicial seja o mesmo. Em Rodrigues Dias & Infante (2001) aprofunda-
se o estudo feito, numa perspectiva de comparação de períodos e de custos
totais médios por ciclo. Em Rodrigues Dias (2001) alarga-se o estudo ao caso em
que se consideram componentes em paralelo, admitindo que o respectivo tempo de
vida é exponencial.
O caso em que se consideram inspecções não periódicas tem também sido
largamente tratado. Por exemplo, em Barlow & Proschan (1965), Munford &
Shahani (1972) e Rodrigues Dias (1987, 1990b, 2000b), diversas situações são
tratadas.
2. Sistema com Componentes em Paralelo com Diferentes Tipos de Taxa de Risco
Considere-se, então, que, em relação a um sistema inicial, se introduz um ou
mais componentes em paralelo. Este caso é importante em situações em que o
custo por unidade de tempo de mau funcionamento é relevante, como acontece, por
exemplo, em contextos de saúde (hospitalares e outros), de segurança (de
pessoas e bens), de telecomunicações e militares (de defesa e de ataque).
Nestas situações, com o objectivo de aumentar a fiabilidade dos sistemas em
causa, pode-se introduzir um ou mais componentes em paralelo, de sorte que o
sistema resultante global funcione desde que um deles, pelo menos, funcione. Na
Figura_1 representa-se tal situação, para o caso de dois componentes.
Seja, então, no caso de um sistema com dois componentes, Ri(t) a função de
fiabilidade do componente i (i = 1, 2), com tempo de vida Ti. A função de
fiabilidade do sistema resultante RP(t) passa a ser:
Repare-se que o resultado expresso em (8) resulta directamente da aplicação do
teorema da probabilidade total.
Seja, ainda, C1 o custo de cada inspecção feita ao sistema inicial, quando este
é apenas formado por um só componente e C1P o custo de cada inspecção do
sistema global após ter sido introduzido o segundo componente. Poder-se-á,
então, escrever:
Analogamente, sendo C2 o custo por cada unidade de tempo de mau funcionamento
não detectado do sistema inicial, quando este é apenas formado por um só
componente e C2P o custo correspondente do sistema global após ter sido
introduzido o segundo componente, ter-se-á:
Seja:
Os valores de r1 são, em princípio, maiores que 1. De facto, a inspecção global
do sistema com os dois componentes terá um custo C1Psuperior ao custo de
inspecção C1do componente inicial. Note-se que se está aqui a admitir que
quando o sistema é inspeccionado, ele o é na sua globalidade. Quanto aos
valores de r2, é natural supor que são iguais ou maiores que 1. Em particular,
este último caso pode estar intimamente associado à necessidade de introduzir o
segundo elemento em paralelo. Com base, então, nos valores possíveis de r1 e de
r2,k poderá tomar qualquer valor positivo.
É fácil concluir que a fiabilidade do sistema global aumenta, daí resultando um
tempo médio de vida superior a qualquer um dos componentes iniciais. E, sendo
assim, poder-se-ia concluir que o período óptimo de inspecção aumentaria
necessariamente. De resto, considerando como boa a solução aproximada dada por
e considerando, por outro lado, que, com k > 1, se tem rP > < r, poder-se-ia
concluir de imediato que, como E(TP) > E(T1), P*P seria sempre maior que o
período P*1 = P* que minimiza o custo total médio por ciclo quando se considera
apenas o sistema inicial, com um componente. Note-se que, noutros trabalhos,
com sistemas em série, se considerou sempre k>1.
Apenas quando a relação dos custos diminuir de uma forma clara é que poderá
verificar-se o caso oposto. Podendo tal acontecer em situações de interesse
prático, com componentes em paralelo, este caso será aqui considerado.
Tratando-se de três ou mais componentes, a situação não se altera em termos
qualitativos, complicando-se apenas ao nível analítico e computacional. Alguns
resultados podem ser encontrados em Almeida (1998).
Neste artigo, vamos apresentar e analisar alguns resultados, considerando
sistemas com um, dois e três componentes em paralelo, cada um deles com
distribuição de tempo de vida Weibull, com diferentes valores do parâmetro de
forma b. Procuramos, assim, estudar sistemas com componentes com diferentes
tipos de taxa de risco h(t), dada por:
Acentue-se que a distribuição de Weibull é largamente considerada neste
contexto de fiabilidade, tendo a sua função densidade de probabilidade a
expressão:
em que ß é o parâmetro de forma e a o parâmetro de escala. Quando ß<1 a taxa de
risco h(t) é decrescente, quando ß=1 a taxa de risco é constante e, finalmente,
quando ß>1, ela é crescente. Os dois últimos casos referidos são aqueles que,
na prática, têm maior interesse.
Refira-se, a propósito, que é também esta distribuição de Weibull, com um
parâmetro de forma ß=2.5, que é usada para modelar o período de incubação do
vírus HIV1 (Brookmeyer & Goedert (1989) e Amaral et al. (2000)).
3. Resultados Numéricos Obtidos e sua Análise
Para efeitos de obtenção de resultados, considerou-se que E(Ti)=1, pelo que o
parâmetro de escala a foi convenientemente escolhido para cada valor do
parâmetro de forma ß. Resultados idênticos poderiam ser obtidos para valores
iguais de r/E(T), tendo em conta que o custo total médio por ciclo E(C) é dado
por (Rodrigues Dias, 1983):
Os resultados numéricos que a seguir se apresentam foram obtidos recorrendo a
técnicas de simulação e de análise numérica. Note-se que a solução da equação
(5) não pode ser obtida por métodos analíticos, já que, em particular, não
podem ser obtidas as somas das séries envolvidas. De facto, basta ter em conta
que a função de fiabilidade do sistema com (apenas) dois componentes em
paralelo é dada, no caso dos seus tempos de vida terem uma distribuição de
Weibull, pela expressão:
Como anteriormente, vamos considerar a solução exacta para o período de
inspecção do sistema global, que designamos por PP, e as duas soluções
aproximadas P*P e P**P dadas por:
Considerando, neste momento, a solução P*P como boa, verifica-se facilmente, a
partir dela, que o período de inspecção do sistema em paralelo é maior que o
valor correspondente do componente inicial, desde que k>1. De facto, sendo E
(TP) > E(T1), conforme antes se viu, com k>1, tem-se rP>r e, portanto, PP> P1.
Uma questão que, então, pode ser colocada é verificar se existem valores de k
(e em que condições, em caso afirmativo) que conduzam à situação oposta. No
Quadro_1 apresentam-se resultados relativos a dois sistemas: num deles
considera-se que o primeiro componente tem uma taxa de risco constante (ß1=1) e
o segundo componente uma taxa de risco crescente (ß2=2); no outro sistema
considera-se que ambos os componentes apresentam taxas de risco crescente (ß1=2
e ß2=4).
Verifica-se, claramente, que os resultados dependem da distribuição do tempo de
vida do componente inicial e, naturalmente, do sistema global. Em particular,
para k=.8 e para os valores de r apresentados, verifica-se que no primeiro
sistema (ß1=1 e ß2=2) se tem P1< PP, enquanto que no outro se verifica a
situação oposta. Por outro lado, constata-se ainda que no primeiro sistema, ao
passar do valor k=.6 para k=.8, o período de inspecção óptimo no sistema global
passa de menor para maior, tomando como referência o valor correspondente do
componente inicial. Idêntica situação se verifica no caso do segundo sistema
(ß1=2 e ß2=4), quando se considerou k=.8 e k=1.
Os factos antes referidos levam-nos a concluir que existe um valor de k, menor
que um, que conduz à igualdade P1=PP. Em termos aproximados, poder-se-á
escrever, com base nas expressões (6) e (18):
Considerando P*1= PP*, poder-se-ia escrever para solução aproximada de k:
Como é evidente, k depende dos componentes em paralelo, já que os tempos médios
de vida também dependem.
Note-se que esta aproximação para k, apesar da sua simplicidade, não foi antes
apresentada noutros trabalhos. Será interessante analisar quão válida ela é,
quer no caso de componentes em paralelo, quer no caso de componentes em série.
À semelhança do que se fez em Rodrigues Dias (1983, 2001), analisemos agora as
grandezas Q1, Q2e Q3, dadas pelas expressões:
Nos Quadros_2, 3, 4 e 5 estão apresentados, em percentagem, os valores obtidos,
para sistemas diferentes, com n componentes (n=1, 2 e 3) e para diferentes
valores de r (r = .001, .01 e .1).
Os resultados obtidos permitem-nos, entre outras, fazer as seguintes
considerações:
a) Os valores de Q1, em módulo, apenas com duas excepções, diminuem
com n. Este facto significa que, à medida que n aumenta, o tempo
médio de detecção se aproxima, de um modo geral, de metade do período
de inspecção.
b) Os valores de Q2 diminuem com n, o que é uma consequência da
conclusão expressa em a). No entanto, poderá acontecer que Q2 diminua
mesmo quando Q1 aumente, o que tem a ver com as distribuições dos
tempos de vida e com os valores das diversas grandezas
intervenientes.
c) Quando r aumenta, tipicamente, os valores de Q1, Q2 e Q3 aumentam,
o que está de acordo com interpretações e resultados anteriores
(Rodrigues Dias, 1983, 1987).
d) Para n=1 (sistema com um só componente), verifica-se, nos casos
apresentados, que Q2 > Q3. Esta constatação leva-nos aqui a concluir
que a aproximação P**P é melhor que P*P. No entanto, tal nem sempre
acontece com outras distribuições de tempos de vida (Rodrigues Dias,
1983).
e) Para n>1, verifica-se quase sempre a situação oposta da referida
no ponto anterior. Neste caso, a aproximação P**P é pior que P*P.
f) Em jeito de síntese, poder-se-á dizer que, para n>1 e para r=.001
e r=.01, os erros relativos das aproximações P*P e P**P são
inferiores (em módulo) a 2%, pelo que, tendo em conta a fraca
sensibilidade do custo total médio por ciclo, conforme se verá
depois, se podem considerar como sendo quase óptimas.
Nos Quadros_6, 7, 8 e 9, análogos a Quadros anteriores, apresentam-se agora os
valores das grandezas:
A partir destes Quadros, cujos valores, em percentagem, foram calculados
considerando C2=100, é possível acentuar, entre outros, os resultados
seguintes:
a) Quando n=1, verifica-se que Q4 > Q5, o que significa que a
aproximação P*1 é pior que P**1.
b) Para n>1, verifica-se quase sempre que Q4 < Q5, o que significa
que a aproximação P*P é melhor que P**P. Este resultado e o anterior,
em função de conclusões antecedentes, seriam de esperar.
c) Quando n aumenta, Q4 diminui ou, pelo menos, não aumenta. Em
particular, para n=3, verifica-se que é quase nulo (Q4@.000% ), pelo
que se pode afirmar que, neste caso, a aproximação correspondente do
período de inspecção se pode considerar como (quase) óptima.
d) Finalmente, comparando os erros relativos das aproximações dos
períodos de inspecção com os dos custos associados, é óbvio que estes
são incomparavelmente inferiores, sendo muito próximos de zero, pelo
que aquelas aproximações dos períodos de inspecção, em termos
práticos, têm uma extrema relevância.
Considere-se, por fim, no Quadro_10, para os mesmos sistemas e valores, a
grandeza Q6, dada por:
em que o denominador representa a duração média de um ciclo. Recorde-se que E
(CP) é calculado, para cada sistema e para cada valor de r, com base no
respectivo tempo médio de vida E(TP). Os valores de Q6 têm o significado de um
custo por unidade de tempo.
A partir dos valores obtidos, não esquecendo que r/E(T) varia de sistema para
sistema, pode constatar-se o seguinte:
a) Para cada valor de n , à medida que a taxa de risco do sistema
global vai aumentando, no sentido de a respectiva função de
fiabilidade se aproximar de uma forma rectangular (função densidade
de probabilidade de Dirac), verifica-se que E(NP) vai diminuindo,
tendendo para 1. De igual modo, E(DP) também diminui, tendendo para
0.
b) Com base nas considerações do ponto anterior, para cada um dos
valores de n, o custo total médio mínimo por ciclo E(CP) também
diminui, tendendo, no limite, para E(C1).
c) De igual modo, para cada n, E(TP) vai diminuindo à medida que a
taxa de risco dos componentes vai aumentando, tendendo para o valor
comum dos tempos médios de vida dos componentes E(Ti), ou para o
maior deles.
d) Quando a um dado sistema se acrescenta um novo componente em
paralelo, E(TP) aumenta, conforme se referiu logo no início.
e) De igual modo, E(CP) aumenta quando n aumenta.
f) Quando n=1, Q6 diminui quando b aumenta. Repare-se que E(C1)
diminui mas diminui também E(D1), estando a considerar-se que E
(T1)=1.
Quando n>1, Q6aumenta quando a taxa de risco aumenta (R(t) aproximando-se de
uma forma rectangular). Neste caso, verifica-se que E(CP) diminui, mas diminui
de uma forma mais acentuada E(TP). Constata-se ainda que E(DP) diminui, embora
de uma forma ligeira.
4. Conclusões e Considerações Finais
Neste trabalho pretendeu-se fazer o estudo, na sequência de trabalhos
anteriores, de sistemas com componentes em paralelo com diferentes tipos de
taxas de risco, considerando a distribuição de Weibull. Esta é tradicionalmente
usada neste contexto e noutros, como, por exemplo, na modelação do tempo de
incubação do vírus da Sida (HIV1). A introdução de sistemas em paralelo assume
relevância quando se pretende aumentar a respectiva fiabilidade.
Apesar de num ponto anterior se terem feito, à medida que os resultados
numéricos iam sendo apresentados, as análises pertinentes, vamos agora fazer a
síntese dos pontos que nos parecem ser mais significativos. Assim:
a) Introduzindo um novo componente em paralelo num sistema já
existente, o tempo médio de vida do sistema global resultante
aumenta. Sendo assim, através de uma expressão simples que
introduzimos, é fácil concluir que pode diminuir o período de
inspecção que minimiza o custo total médio por ciclo (de maior
duração) do novo sistema, bem como estimar as condições em que tal
pode acontecer. De facto, aumentando a fiabilidade, poder-se-ia
pensar que o período de inspecção aumentaria também, de uma forma
imperativa, o que não acontece.
b) As distribuições dos tempos de vida dos diversos componentes
assumem um papel importante nos diversos resultados que se obtêm. Em
particular, tal acontece na precisão das duas aproximações
consideradas para o período de inspecção.
c) À medida que o número de componentes em paralelo aumenta,
aumentando a fiabilidade do sistema, verifica-se que o tempo médio de
detecção se aproxima de metade do período de inspecção. Este facto é
relevante ao nível das aproximações consideradas.
d) Podendo, de um modo geral, em termos dos respectivos erros
relativos, considerar-se como bastante boas (em certos casos, quase
óptimas) as aproximações para o período de inspecção, a verdade é
que, em termos dos custos totais médios por ciclo que lhe estão
associados, elas podem ainda ser consideradas melhores. Este facto
deve-se a que existe uma fraca sensibilidade dos custos totais médios
em relação aos períodos de inspecção, conforme, de resto, já tinha
sido constatado em outras situações.
e) O custo total médio mínimo por unidade de tempo depende também do
número e da distribuição dos tempos de vida dos componentes.
Apesar de tal não ter sido explicitamente referido, é claro que alguns
resultados obtidos apontam num sentido diferente do que se constata no caso de
sistemas com componentes em série. Por outro lado, considerou-se aqui que o
tempo médio de vida dos componentes era igual, o que pode usualmente não
acontecer. Por outro lado, finalmente, ao analisar custos médios por unidade de
tempo de duração média de um ciclo, consideraram-se valores de custos em
situações diferentes. Estes vários aspectos parecem ser merecedores de uma
atenção cuidada.
