EuPTCEEx0874-51612006000100005

Inferência Estatística dos Estimadores de Eficiência obtidos com a Técnica Fronteira Não Paramétrica de DEA. Uma Metodologia de Bootstrap

1 Introdução A noção de eficiência corresponde à comparação entre os valores dos inputs e dos outputs observados associados à realização de uma certa actividade, e os seus valores óptimos. A sua obtenção pode ser efectuada numa perspectiva de minimização de inputs, isto é, do rácio entre a quantidade observada de inputs consumidos e a quantidade mínima de inputs para uma quantidade idêntica de outputs produzida ou, numa lógica complementar, de maximização de outputs, do rácio entre os outputs observados e os outputs máximos possíveis para uma quantidade fixa de inputs utilizados. Em ambas as situações é calculada a eficiência técnica (ET) que mede a intensidade dos desperdícios verificados no processo produtivo. Para uma unidade organizatória ou unidade de decisão (DMU) pode ainda determinar-se a eficiência alocativa de preços (EA) que reflecte, no modelo com orientação de inputs, qual a percentagem de custo que pode ser reduzida passando de uma posição da DMU tecnicamente eficiente para uma posição também sobre a fronteira mas que corresponda ao custo de produção mínimo, tendo em conta os preços actuais dos inputs. O produto da ET pela EA corresponde à eficiência económica ou global (Farrell, 1957).

Os métodos de cálculo da eficiência têm sido classificados em métodos paramétricos e em não paramétricos, consoante admitam, ou não, uma forma funcional, definida a priori, para a tecnologia de produção. Os métodos paramétricos possibilitam a medição do erro, mas introduzem a dificuldade adicional de conhecer a especificação associada ao comportamento admitido (Coelli et al., 1998). Entre os métodos mais aplicados, a data envelopment analysis (DEA) e os números índices são considerados métodos não paramétricos, ao passo que as fronteiras estocásticas (SFA) e os modelos de regressão (e.

g. OLS e COLS) são paramétricos. Na figura 1, onde o processo produtivo é caracterizado por um único input (x) e um único output (y), observa-se a diferença entre estas duas classes de métodos. A DEA é um método não paramétrico, ou seja, é empiricamente baseado, enquanto os restantes (OLS, COLS e SFA) requerem a especificação de uma função para a tecnologia de produção. Os métodos paramétricos ou não paramétricos podem ainda ser classificados em não fronteira ou em fronteira, em função de pressuporem, ou não, que as DMU sejam tecnicamente eficientes ou, de outra forma, dependendo se os benchmarks assentam nas aproximações médias ou nas best practices (Coelli et al., 1998). A DEA e as SFA constituem métodos fronteira, ao passo que os números índices e os modelos de regressão (e. g. OLS), desde que não corrigidos (COLS), são não fronteira. Uma vez mais, a figura 1 permite clarificar esta classificação. A DEA, a SFA e a COLS são métodos fronteira, dado que se baseiam nas DMU com valores limite da amostra (best practices), enquanto a OLS é não fronteira, apoiando-se no seu ajustamento médio.

A superioridade dos métodos fronteira em relação aos não fronteira parece evidente e relativamente consensual. O mesmo não ocorre, porém, dentro dos métodos fronteira, em relação aos não paramétricos e aos paramétricos ou vice-versa, nomeadamente entre a DEA e SFA. Não obstante o argumento da maior aplicabilidade da técnica DEA possa sustentar a sua supremacia (Tavares, 2002), o facto de esta não permitir a inferência estatística minimiza o seu potencial de aplicação, sobretudo no domínio empírico. Por outro lado, a SFA é de cálculo complexo e requer fortes assunções sobre a distribuição estatística do erro sem justificação teórica. Os reguladores batem-se, comummente, com essa dificuldade, quando pretendem utilizar a técnica DEA de uma forma explícita, mas são confrontados com a oposição das entidades gestoras, em virtude de os resultados obtidos e dos modelos usados não estarem sujeitos a inferência estatística (vide Bosworth et al., 1996; Burns et al., 2000 e Sarafadis, 2002).

Este documento, assente num trabalho de investigação recente (Marques, 2005a), pretende providenciar contributos nesse sentido, analisando e aplicando a técnica de bootstrap aos estimadores da eficiência obtidos com a DEA, usando como caso de estudo os serviços de água portugueses. Os serviços de água, para além de prestarem um serviço de interesse económico geral, funcionam em regime de monopólio natural, exigem investimentos irrecuperáveis e apresentam economias de escala, de gama e de densidade relevantes. Em Portugal, a indústria da água envolve um valor de negócio anual superior a 1500 milhões de euros, acreditando-se que, pelas suas características e pelo seu histórico (mercado muito desregulado), apresenta níveis de ineficiência muito significativos (Marques, 2005b). O emprego de DEA neste sector é, por isso, da maior pertinência, embora o seu uso empírico (e. g. na regulação económica deste sector) requeira uma elevada robustez da análise. Para esse fim, existe a ferramenta de bootstrap que, sendo um instrumento de simulação estatística, possibilita atestar a qualidade dos modelos concebidos e dos resultados alcançados. O artigo, após esta introdução, expõe, numa primeira parte, sumariamente, a técnica de DEA. Seguidamente, esta ferramenta é aplicada a 70 serviços de água. Numa terceira parte, a metodologia de bootstrap é discutida e testada, usando os resultados alcançados anteriormente com a DEA.

2 Data Envelopment Analysis 2.1 Introdução A DEA é um método assente em programação linear para avaliação da eficiência relativa de unidades mais ou menos homogéneas (DMU), tal como, inter alia, escolas, hospitais e serviços de infra-estruturas, que transformam um conjunto de recursos ou factores de produção (inputs) num conjunto de produtos ou resultados desejados (outputs). A DEA não estabelece uma forma funcional para a fronteira eficiente e não emprega valores específicos para os pesos. A técnica de DEA é empiricamente baseada (a construção da fronteira), ao contrário das abordagens paramétricas concorrentes.

A aplicação da técnica de DEA possui várias vantagens, das quais se destacam: a) identificação para cada DMU ineficiente de um conjunto de DMU (peers) eficientes com combinação de inputs e outputs semelhante; b) facilidade em lidar com múltiplos inputs e outputs; c) adopção dos melhores resultados como elementos de comparação; d) não admissão de uma forma paramétrica para a fronteira ou para a ineficiência quando associada ao erro; e) natureza conservativa das avaliações; e f) decomposição da natureza da eficiência em várias componentes. Todavia, a técnica de DEA revela alguns inconvenientes, a saber, a sensibilidade elevada aos outliers, a exigência em termos de informação requerida e a dificuldade de medir o erro associado ou de testar estatisticamente os resultados e os modelos adoptados. Desta forma, também, na DEA, a análise dos factores explanatórios é complexa, dependendo da correlação existente.

2.2 Formulação Base da DEA Tendo como base o trabalho de Farrell (Farrell, 1957), Charnes, Cooper e Rhodes desenvolveram o modelo CCR, caracterizado pela assunção de rendimentos constantes à escala (RCE) e da sobreutilização (congestão) das variáveis (Charnes et al., 1978).

Considere que uma DMU produz os outputs yi, i =1, …, I a partir dos inputs xj, j = 1, …, J, com os respectivos pesos ai e bj e que existem M DMU. O problema primal do modelo de DEA, também designado por modelo dos multiplicadores, corresponde à seguinte formulação para a orientação de minimização de inputs, no qual Wk diz respeito à eficiência da DMU k e ε é uma quantidade não Arquimediana (na ordem de 10-5 ou 10-6):

I

Max: Wk = ∑ a i yim i =1

s.a.

J

I

j=1

i =1

∑ b jx jm ≥ ∑ a i yim

m = 1, ..., k, …, M

J

∑b x j=1

j

jk

ai, bj > ε

=1 i = 1, ..., I; j = 1, ..., J

(1)

Na programação linear existe a formulação dual, denominada de problema da envolvente. O dual constrói uma aproximação à fronteira verdadeira, formada pela união das DMU eficientes que minimizam a quantidade inputs para um nível desejado de produção de outputs. No primal a escolha dos pesos reside sobre os inputs e os outputs, enquanto no dual a selecção dos “pesos” recai sobre as DMU. O problema dual consiste em:

I

J

i =1

j=1

Min: hk - ε( ∑ si + ∑ s j ) s.a.

M

∑λ m =1

m

x jm = x jk h k − s j

j = 1, ..., J

m

yim = yik + si

i = 1, ..., I

M

∑λ m =1

λm ≥ 0

m = 1, ..., k, …, M

si , s j ≥ 0

i = 1, ..., I; j = 1, ..., J

(2)

onde λm são as ponderações das DMU de referência, Si são as folgas dos outputs e Sj são as folgas dos inputs. Os λm representam a proporção de inputs e de outputs da DMU m utilizados para construir os targets da DMU k em avaliação. As folgas, introduzidas como variáveis do modelo, representam fontes adicionais de ineficiência, isto é, traduzem em que medida os inputs podem ser reduzidos após as contracções radiais terem sido efectuadas. A DMU k é eficiente se e só se hk for igual à unidade e as folgas (slacks) forem iguais a zero. Neste caso, as DMU designam-se por eficientes e são exemplos das melhores práticas (best practices).

O problema dual é computacionalmente menos exigente do que o primal, visto que é munido de um número inferior de restrições (I+J < M+1). Todavia, um algoritmo de programação linear é resolvido para cada DMU da amostra, obtendo-se o valor de hk respeitante à sua eficiência. Este valor é alcançado através da contracção radial do vector de inputs, tanto quanto possível, para uma dada quantidade de outputs que ainda pertence à tecnologia de produção, o que resulta na projecção da DMU na fronteira eficiente. A fronteira de produção é determinada pela isoquântica formada pelas DMU da amostra que conduzem ao menor consumo de inputs para a produção de outputs desejados. O target ou o ponto projectado corresponde a uma combinação linear das DMU que pertencem à fronteira e que constituem os seus pares.

2.3 Extensões ao Modelo Base de DEA O modelo CCR foi estendido em 1984, procurando contabilizar a hipótese de RVE (Banker et al., 1984). Nesta situação, a natureza da ET pode ser separada em eficiência técnica pura (ETP) e em eficiência de escala (EE), se se relacionarem os seus resultados com os dos modelos CCR. Este modelo ficou conhecido como modelo BCC. No modelo CCR a ET obtida poderia dever-se à ineficiência técnica propriamente dita ou à operação a uma escala não óptima, não se distinguindo esse efeito. O modelo BCC pode ser resolvido modificando ligeiramente as formulações 1 e 2, adicionando-lhes uma restrição que garanta que a DMU em análise seja comparada com uma combinação convexa das DMU da amostra. Esta abordagem, mais restritiva, forma um invólucro convexo em vez de cónico sobre as DMU, assegurando, assim, que as DMU só sejam comparadas com DMU de tamanho equivalente. A medida de eficiência, obtida por esta via (ETP), será sempre superior ou igual à alcançada com o modelo CCR. A resolução da formulação BCC determina a ETP, a qual, conjugada com a ET auferida por 1 (ou 2), permite obter a EE. A EE mede a economia de recursos que se verificaria se a escala de operação fosse óptima.

Em meados dos anos 80, outros modelos foram introduzidos como os denominados modelos multiplicativos, os quais admitem uma forma particular para a envolvente, como a função log-linear ou a Cobb-Douglas, o modelo aditivo, baseado no conceito de óptimo de Pareto e o modelo BCC, abandonando o pressuposto da sobreutilização das variáveis.

Os modelos CCR e BCC foram também adaptados para integrar variáveis que são não discricionárias, isto é, que não estão dependentes da acção dos decisores e permitem a presença de variáveis ordinais. Estes e outros modelos estão explanados em (vide Charnes et al., 1994 e Cooper et al., 2000), não se apresentando aqui os artigos originais por uma questão de espaço.

2.4 Especificação dos Modelos de DEA O cálculo da eficiência através da DEA é efectuado sobre os dados de uma determinada amostra não deixando, por isso, de constituir uma estimação. Logo, não obstante a técnica de DEA ser considerada, vulgarmente, como determinística, desde muito cedo existiu a vontade de lhe instituir atributos estatísticos. Esta preocupação tornou-se mais visível com o número crescente de aplicações empíricas, que demonstraram que os resultados da DEA eram falíveis e que estavam muito dependentes da qualidade da amostra e da especificação dos modelos. Contudo, a DEA “estatística” está ainda na sua infância (Grosskopf, 1996; Simar e Wilson, 2000a e Marques, 2005a). Com efeito, nas situações de dimensionalidade elevada (Kittelsen, 1999), de correlação significativa entre variáveis (Pedraja-Chaparro et al., 1999) e para as DMU com valores extremos (input mínimo ou output máximo no caso de RVE), e quando a amostra é reduzida, os resultados obtidos são enviesados (Banker, 1996 e Pedraja-Chaparro et al., 1999). Ademais, a especificação do modelo pode não ser robusta, isto é, omitir variáveis importantes, incluir variáveis irrelevantes ou, ainda, escolher uma forma funcional inadequada. Por exemplo, a adição de uma nova variável aumenta o enviesamento médio nas estimativas da eficiência (Kittelsen, 1999).

Em 1987, Färe e Primont demonstraram que a desagregação de um input do modelo em dois inputs só pode piorar o resultado da função objectivo, isto é, melhorar a eficiência das DMU (Färe e Primont, 1987). Um resultado mais generalizado consiste no facto de a adição de uma variável ao modelo nunca poder piorar a eficiência das DMU. Este resultado tem consequências importantes, permitindo a realização de testes de hipóteses entre dois modelos, sobretudo quando existe desagregação ou quando um deles é alojado (nested) no outro, caso típico quando se acrescenta uma variável ao modelo e se quer estudar o seu impacto. Assim, testando se a mudança da especificação do modelo de A para B, onde B tem mais uma variável, altera os resultados significativamente, isto é, se se aceita a hipótese H0 na qual a estimativa da eficiência de A (ÊA) é equivalente à estimativa da eficiência de B (ÊB), vem: H0: ÊA,I = ÊB,i; H1: ÊA,I < ÊB,i

(3)

O mesmo teste pode ser efectuado, admitindo a mesma especificação das variáveis do modelo, mas a existência de tecnologias distintas, porque se sabe que (Grosskopf, 1986): ÊA,I (RCE) ≤ ÊA,I (RVE)

(4)

As questões que se colocam são se existem e quais os testes estatísticos a adoptar.

Banker sugeriu dois testes assimptóticos, assumindo duas especificações da ineficiência diferentes, designadamente, a meia normal (Fm) e a exponencial (Fe) (Banker, 1993 e 1996). Se a assunção da distribuição da ineficiência não for possível, Banker sugere o uso do teste não paramétrico de Kolmogorov-Smirnov (K-S) para verificar a igualdade das duas distribuições (Banker, 1993). Um outro teste sugerido, que evita o problema da especificação da distribuição das eficiências, consiste no teste T para comparação de médias (Kittelsen, 1998).

A metodologia baseada nos testes estatísticos dá origem à conhecida abordagem stepwise (ST) de Kittelsen da especificação do modelo. Esta técnica, cuja aplicação será efectuada de seguida, é sintetizada pelos seguintes passos (Kittelsen, 1998): a) definir um modelo base que contenha todas as variáveis consideradas essenciais por razões empíricas ou teóricas; b) obter a estimativa da eficiência para o modelo; c) calcular a estimativa da eficiência com uma variável candidata ou com as variáveis desagregadas; e d) determinar os 4 testes atrás referidos (Fm, Fe, K-S e T) e aceitar, ou não, o novo modelo.

Caso existam mais variáveis a desagregar ou novas variáveis candidatas, voltar a b).

Embora o modelo ST exija, do ponto de vista teórico, requisitos que, em geral, não se verificam, como a dimensão da amostra ou a independência (Simar e Wilson, 2002), Kittelsen demonstrou, através de simulação de Monte Carlo, que, no mundo empírico, as distorções ocorridas pelo seu incumprimento não têm os efeitos que, à partida, se poderiam esperar (Kittelsen, 1998).

3 Caso de Estudo 3.1 Dados A aplicação envolveu 70 serviços de água, abrangendo cerca de 63 % da população portuguesa. As DMU incluídas compreendiam as várias formas de organização presentes em Portugal e uma gama muito diversa de população. A tabela 1 sistematiza as características da amostra. A informação usada é respeitante ao ano de 2001.

3.2 Modelos de Cálculo A concepção dos modelos de DEA deve ter em conta as características das DMU e as suas especificidades, a recolha bibliográfica, a opinião dos especialistas, os dados disponíveis e os objectivos do estudo. Na DEA é desejável, que tanto quanto possível, contemplem os aspectos mais abrangentes que caracterizam a actividade produtiva, isto é, os recursos consumidos e os produtos obtidos. As variáveis devem ser quantificáveis e consistentes entre DMU. Pode também existir uma segunda fase de análise, para integrar o ambiente operacional, onde o processo produtivo se desenvolve. No presente caso a orientação dos modelos deve ser a de minimização de inputs, dado que as DMU estão, não só obrigadas a satisfazer todas as necessidades dos seus clientes, como também estão sujeitas a políticas de gestão de procura (demand side management) que condicionam a sua expansão. A especificação das variáveis em quantidades ou unidades monetárias deve também ser atentamente ponderada, tendo em conta os prós e os contras de cada opção (Marques, 2005a). Na tabela 2 evidenciam-se as variáveis mais adoptadas nos estudos de DEA aplicados ao sector da água (Marques e Monteiro, 2004).

A discricionariedade da escolha de um modelo ou a adopção de vários modelos pode não ser prática, podendo mesmo fornecer resultados inconsistentes, não sendo, como tal, viável no mundo empírico. Assim, e tendo em atenção as variáveis presentes na tabela 2, o modelo é obtido estatisticamente pelo modelo ST com vista à selecção da tecnologia mais adequada, ou seja, mais representativa da realidade. Estipulou-se, como critério de paragem, o não cumprimento da hipótese h0 em mais de 50 % dos testes (Fm, Fe, K-S e T) com um nível de significância superior a 1 %. O processo foi iniciado adoptando um modelo com um único input e um único output, respectivamente, o custo total e o volume de água facturado e a presença de RVE. Os valores limite para os níveis de significância de 1 %, 5 % e 10 % para os quatro testes considerados são evidenciados na tabela 3. A tabela 4 apresenta os resultados da primeira iteração. Nesta tabela verifica-se que a variável que conduz aos resultados dos testes estatísticos mais convincentes é a variável perdas de água, a qual permite rejeitar a hipótese h0 de que as estimativas das duas eficiências são equivalentes a um nível de significância de 1 % para os quatro testes. Esta variável tem justificação plena em Portugal, visto que as perdas de água atingem um valor muito elevado, o que, conjugado com o custo muito significativo de produção de algumas DMU, acentua este fenómeno, constituindo a variável mais condicionante na estimativa da eficiência das DMU. Na segunda iteração, com a contemplação do input perdas de água no modelo base, outras variáveis foram candidatas potenciais à inclusão. Verificou-se que a inserção de qualquer variável, ou a sua desagregação, cumpria todos os testes com um grau de significância de 1 %. A inclusão da variável número de clientes como output e a desagregação do input custo total em OPEX e em extensão de redes permitem rejeitar três dos quatro testes estatísticos a um nível de significância de 5 %, sendo o quarto não cumprido com um grau de 10 %. Ambas as hipóteses h0 são aceites à luz dos resultados obtidos e de acordo com o critério de paragem adoptado. Assim, em relação à adição ou à desagregação de variáveis, o processo iterativo termina aqui. Porém, falta atestar a validade acerca do tipo de rendimentos à escala. A tabela 5 testa a especificação do modelo admitindo RCE. Os resultados permitem rejeitar a hipótese h0, na qual não existe diferença entre as distribuições das eficiências de ambas as tecnologias. Logo, segundo a metodologia ST, a tecnologia adoptada para a amostra dos serviços de água portugueses é caracterizada por RVE e por dois inputs, o custo total e as perdas de água, e um output, o volume de água facturado.

3.3 Resultados A figura 2 evidencia o valor da ET e a sua decomposição para o modelo ST por DMU. O valor de ET mais os ganhos de EE corresponde ao valor da ETP. A relação entre a ET e a ETP permite obter o valor da EE. Na figura estão ainda ilustrados os seus valores médios (ET e ETP). As DMU estão organizadas por ordem decrescente de população residente e por forma organizatória.

Na tabela 6 representam-se os valores médios e ponderados, quer pelo volume facturado, quer pela população servida, da ET e da sua decomposição, o número de DMU eficientes e os valores mínimos de eficiência. O cálculo foi efectuado por intermédio do software in2DEA desenvolvido pelos autores.

3.4 Análise de Resultados Os níveis de ineficiência das DMU portuguesas para o ano de 2001 foram significativos, apresentando uma ET média de 0,645. No modelo, o factor determinante na origem da ET foi o valor da ETP, ou seja, precisamente, aquela parcela que é mais controlável pelos gestores das DMU. A ineficiência de escala apresenta também valores não desprezáveis.

Esta origem de ineficiência não é, contudo, controlável a curto prazo. Os serviços de água de maior dimensão são, em geral, penalizados pela EE, apresentando rendimentos decrescentes à escala. Em Portugal, os serviços de água têm um potencial de melhoria da ET média de 35,5 %, da qual 10,6 % correspondem a ganhos de escala (EE) e 26,9 % à melhoria da ETP. Isto significa que, em média, cada DMU pode reduzir em 35,5 % os inputs custo total e perdas de água, apresentando ainda o mesmo volume de água facturado. Das 70 DMU, e para RVE, 27 têm slacks em relação a um dos inputs, isto é, podem produzir a mesma quantidade de output consumindo menos recursos. No modelo ST, em média, os inputs custo total e perdas de água têm um slack, respectivamente, de 75 690 euros e 158 760 m3. Conforme referido, se a escala fosse óptima, ou seja, se existissem RCE, os serviços de água consumiam menos 10,6 % dos inputs para a mesma quantidade de outputs produzidos. Quando determinado o modelo DEA para RVE resulta que das 70 DMU, 27 DMU apresentam RVED, 39 DMU RVEC e 4 DMU RCE. Se se considerar a população servida, o valor da ET é ainda mais reduzido, em virtude da penalização da EE das DMU mais populosas. Para o volume facturado ocorre a situação contrária. As figuras 3 e 4 evidenciam a ET e a ETP hierarquizada por classes de pontuação para o modelo ST.

Considerando como exemplo as 5 DMU de maior dimensão, a tabela 7 evidencia os valores dos inputs actuais e dos seus targets, sem e com slacks, bem como os seus peers.

Esta tabela atesta, de forma peremptória, as potencialidades da técnica de DEA como instrumento de benchmarking, identificando não só as poupanças potenciais destas DMU (radiais e não radiais), mas também os pares de referência que podem constituir seus benchmarks.

4 Análise de Sensibilidade aos Estimadores da DEA 4.1 Metodologia de Bootstrap A DEA é encarada, habitualmente, como uma técnica não paramétrica, na qual a inferência estatística tradicional é difícil de prosseguir. Esta visão da DEA, muitas vezes considerada como uma das suas vantagens, não deixa, simultaneamente, de constituir uma das suas maiores fraquezas. Uma abordagem recente, que permite o desenvolvimento da desejada inferência estatística, consiste na aplicação da metodologia de bootstrap (reamostragem) aos estimadores da DEA. O bootstrap permite estimar o enviesamento e conduzir à inferência sobre os resultados da DEA. Esta metodologia foi introduzida por Bradley Efron em 1979 (Efron, 1979), mas só cerca de 10 anos mais tarde, em 1992, foi empregue, pela primeira vez, aos estimadores de DEA (Simar, 1992; Hall et al., 1995; Ferrier e Hirschberg, 1997 e Simar e Wilson, 1998). A exposição e discussão aqui efectuada segue a abordagem desenvolvida por Simar e Wilson, que aplicam um algoritmo de bootstrap suave (smooth), adoptado com base no argumento da consistência (em alternativa poderia ser usado o bootstrap naive, mas que é inconsistente), baseado num processo de geração de dados (PGD) onde os inputs empregues são obtidos pelos desvios aleatórios da fronteira eficiente de inputs formada pelos targets (Simar e Wilson, 1998). Com efeito, de um ponto de vista formal, cada input no conjunto de observações de input / output xw = {(xk, yk); k=1, …, w} pode ser representado por:

(xk, yk) = (xFk / θk, yk)

(5)

onde xFk constitui a fronteira de inputs não observável da DMU k. As medidas de eficiência “absolutas” são estimadas a partir da mesma distribuição, ou seja, θk ~ F0, k = 1, …, w. O PGD segue o princípio de que, restringido às relações entre inputs e outputs, os elementos estocásticos no processo produtivo são englobados totalmente pelas medidas aleatórias de eficiência dos inputs. A ideia principal da simulação de bootstrap consiste na imitação do PGD. O procedimento para o algoritmo em cada reamostra, limitado pelas proporções entre inputs e outputs observadas, é construído segundo duas fases. Na primeira fase a fronteira de inputs é estimada e os pseudo-inputs do bootstrap são criados através da aplicação do PGD na fronteira estimada de inputs e das pseudo-eficiências, desenvolvido a partir de alguma estimativa da distribuição F0. O algoritmo emprega um procedimento de reamostragem alisado (smooth), baseado no argumento da consistência (Silverman e Young, 1987). Na segunda fase a estimativa da eficiência de bootstrap é obtida por intermédio da contabilização da distância do input original em relação à estimativa do bootstrap da fronteira.

O algoritmo do bootstrap sistematiza-se em cinco passos, que são de seguida apresentados (Simar e Wilson, 1998 e Löthgren, 1998).

Em primeiro lugar, constroem-se os vectores de inputs e de outputs da fronteira usando as estimativas iniciais da eficiência [(xFk, yk) = (xk × θ̂ kw , yk)].

Em segundo lugar, utiliza-se um alisamento de Kernel da distribuição empírica das estimativas originais da eficiência para gerar uma reamostra com substituição de pseudo- eficiências γ k . O procedimento de alisamento baseia-se no método da reflexão que consiste em duas etapas, respectivamente, na adição de uma pequena perturbação a δ k e na correcção sequente da reamostragem, onde δ k representa a reamostra não alisada obtida independentemente com substituição a partir da distribuição empírica das estimativas originais da eficiência (Silverman, 1986). Na primeira etapa acrescenta-se a δ*k a perturbação hε*k , na qual h representa a largura da banda ou da janela (bandwith ou window) e o ε k é obtido i.i.d. a partir de uma distribuição normal para gerar a pseudo-eficiência δ% k . Como os valores das medidas de eficiência são limitados ao intervalo unitário, usa-se o procedimento de reflexão para gerar δ% k a partir de:

⎧

*

*

⎪δ + hε δ% *k = ⎨ k * k

* ⎪⎩2 − (δk + hε k )

δ*k + hε*k ≤ 1 δ*k + hε*k > 1

(6)

Nesta acção torna-se fulcral a escolha da largura da banda, a qual se pode obter, de modo expedito, pela fórmula h = 1.06×σ( θ̂ kw )×w-0.2 (Silverman, 1986). As eficiências finais das reamostras alisadas representadas por γ k são obtidas por correcção da δ% k através de:

γ*k

(δ% *k − δk* ) * % = δk + h2 1+ 2 σˆ θˆ

(7) onde δk é a média da reamostra das eficiências originais. Esta correcção garante que a eficiência assimptótica da reamostra tenha os mesmos dois primeiros momentos em relação às estimativas de eficiência originais.

Em terceiro lugar, as pseudo-eficiências alisadas são usadas para gerar os pseudodados do bootstrap.

Em quarto lugar, calcula-se novamente as eficiências utilizando o modelo de DEA para estimar as eficiências das amostras obtidas pelo bootstrap, usando o conjunto de pseudo-dados obtido.

Por fim, repetem-se B vezes os passos 2 a 4 para estimar um conjunto de B valores de estimativas de eficiência para DMU. Segundo alguns autores, o valor mínimo de B deve ser igual a 1000 (Hall, 1986).

A estimativa de bootstrap do enviesamento do estimador DEA é obtida pela fórmula:

Ênv k =

1 B ˆ* ˆ ∑ θkb − θk B b =1

(8)

na qual o primeiro termo (do lado direito) corresponde à média do resultado da eficiência do bootstrap ( θk ) e o segundo termo ao resultado inicial da estimativa de DEA.

O estimador de θk corrigido do enviesamento é calculado por:

θ% k = θˆ k − Ênv k

(9)

*b

O erro padrão de θ̂ kw é determinado pela expressão:

⎧ 1 B ˆ* ⎫ ÊP = ⎨ (θkb − θk* ) 2 ⎬ ∑ ⎩ B − 1 b =1 ⎭

(10)

Conhecendo a função de distribuição empírica das eficiências de bootstrap θ̂ kb com b = 1, …, B e depois de uma nova correcção do enviesamento, que resulta na expressão 11 (Simar e Wilson, 1998), os intervalos de confiança podem ser obtidos, por exemplo, por intermédio do método percentil (Hall, 1998).

ˆ θ% *kb = θˆ *kb − 2 × Env k

(11)

O método percentil é baseado na função de distribuição empírica das eficiências de *b

bootstrap θ̂ kw , b = 1, …, B, definido como

F̂k (s) =

1 B I ( θ̂*b ∑ kw ≤s) para algum valor real s, B b =1

onde I(.) representa uma função indicatriz normal (Efron e Tibshirani, 1993). Um intervalo de confiança (1-2α) para o valor real da eficiência θ para a DMU k é:

ˆ *(α ) , θˆ *(1−α ) ) (θ kb kb

(12)

ˆ *(α ) é o α quartil de F̂ , isto é, θˆ *( α ) = F̂−1 (α) . Se a função de distribuição onde θ k k kb kw * % , empírica de θ̂ kw for enviesada, é preferível centrar a mediana da distribuição sobre θ k levando à obtenção de intervalos de confiança distintos, baseados na correcção do enviesamento das medianas (Simar e Wilson, 1998).

Simar e Wilson, em publicações posteriores, sugerem a realização de um artifício, baseado na técnica de “trimming”, para melhorarem os intervalos de confiança obtidos com o bootstrap (Simar e Wilson, 1998 e 2000b). Estes autores avançam uma outra justificação para alguma distorção dos resultados, assente na ideia de que o uso da estimativa do enviesamento acrescenta, necessariamente, erro aos intervalos de confiança estimados (i. e. o erro médio quadrado é maior no bootstrap corrigido do que na DEA).

Argumentam também que só na circunstância onde a variância das eficiências de bootstrap seja menor que 1/3 do enviesamento ao quadrado a correcção do enviesamento deverá ser implementada (Rk= ˆ ˆ × (Env B (θ(x k , y k ))) ). Mais ainda, os mesmos autores 3σ 2

alegam que, por essa relação se basear apenas nos valores estimados do enviesamento e das variâncias, e não nos valores reais, a opção pela correcção do enviesamento só deverá ser efectuada quando o Rk obtido estiver bem acima da unidade (Simar e Wilson, 1998 e 2000b).

4.2 Estimação dos Resultados do Caso de Estudo através de Bootstrap Na análise da robustez da especificação do modelo ST aplicou-se o método de bootstrap atrás descrito. A diferença entre as medidas de eficiência estimadas pela DEA e as obtidas pelo bootstrap, ou melhor, o enviesamento, tal como o erro padrão, constituem medidas relevantes de análise de fiabilidade dos modelos. Efron sugere que uma relação entre a estimativa do enviesamento e do erro padrão superior a 0.25 é significativa, pelo que não devem ser rejeitados os resultados da eficiência obtidos por bootstrap (Efron, 1982). Simar e Wilson defendem que os resultados do bootstrap para cada DMU só devem ser aceites e preferíveis em relação às estimativas da DEA quando a variância dos valores obtidos pelo bootstrap for inferior a um terço do enviesamento ao quadrado (Simar e Wilson, 1998 e 2000b).

Nesta secção procurou-se não só examinar a sensibilidade dos resultados como testar a própria metodologia bootstrap, cuja aplicação empírica na DEA é recente e, embora defendida, por alguns autores, pode não ser muito benéfica, pelo menos em certas situações. Ademais, os casos práticos, referidos em (Simar e Wilson, 1998, 2000a e 2000b), ilustram distribuições de eficiência bem “comportadas” para este fim, isto é, com uma amplitude diminuta entre a eficiência máxima e a mínima, razão pela qual os intervalos de confiança, assim como os enviesamentos, são reduzidos. Como tal, podem constituir, ficticiamente, bons resultados. Todavia, se a relação entre o enviesamento e a amplitude referida se utilizar como indicador, verifica-se que a aplicação do bootstrap, de acordo com as metodologias seguidas, conduz a resultados pouco satisfatórios em relação a algumas DMU, em particular para as consideradas eficientes pela DEA. Pensa-se que esse fenómeno poderá ter origem na grande amplitude das eficiências determinadas pela DEA, as quais, recorde-se, definem a distribuição para a reamostragem no bootstrap, nos dados atípicos de algumas DMU, posicionando-as em regiões mais dispersas em termos de pontos que possam constituir referência para a determinação das eficiências em cada iteração do método, ou na conjugação desses dois efeitos. Na situação actual dos serviços de água portugueses, onde ocorrem DMU com eficiências inferiores a 0.4, muito embora os resultados do bootstrap possam, e devam, ser encarados como indicações de uma menor robustez das eficiências obtidas pela DEA, não é expectável que os valores alcançados pelo bootstrap sejam aceitáveis em aplicações práticas.

Para a aplicação do bootstrap empregou-se o software in2DEA, seguindo o procedimento exposto no trabalho de referência de Simar e Wilson. Numa primeira fase adoptou-se a linha sugerida por estes autores em 1998 (Simar e Wilson, 1998) e, posteriormente, numa segunda fase, introduziram-se as alterações subsequentes que os mesmos propuseram em 2000 referentes à obtenção dos intervalos de confiança (Simar e Wilson, 2000a e b].