A PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA POSITIVA
COMO INSTRUMENTO DE CALIBRAÇÃO E
PRESCRIÇÃO DOS MODELOS DE OFERTA
AGRÍCOLA
1 Introdução
As primeiras aplicações da programação linear (PL) à economia agrícola realizaram-se no
contexto da empresa agrícola (Throsby, 1974; Martin, 1977). Esses modelos, fáceis de
construir, revelaram-se muito úteis para compreender a realidade. A sua ampla utilização
no estudo de problemas económicos aplicados à agricultura deve-se principalmente à
facilidade com que incorporam na sua estrutura os princípios da teoria económica do
produtor e ao facto das necessidades de informação serem substancialmente inferiores às
dos métodos econométricos (Howitt, 1995).
O problema económico do produtor agrícola é geralmente formulado sob a forma
primal da PL, em que o objectivo é determinar a combinação das actividades agrícolas que
maximizam o lucro e que são admissíveis relativamente à disponibilidade dos recursos
fixos. Frequentemente, a solução deste problema afasta-se da realidade observada e é
sobre-especializada nas actividades que mais contribuem para a formação do lucro do
produtor.
Segundo Howitt (1995) a origem do problema de sobre-especialização da solução do
modelo de PL, principalmente nos modelos agregados, está no reduzido número de
restrições empíricas comparado com o número observado de actividades agrícolas na
situação de referência, na falta de especificação da não linearidade das tecnologias
agregadas e no facto de ser difícil considerar os preços endógenos dos produtos e o risco
no comportamento dos agentes económicos.
No modelo de PL, as variáveis não zero, que representam as actividades agrícolas
realizadas, estão limitadas pelo número das variáveis básicas do problema. Cada variável
básica está associada a uma restrição do problema que, por sua vez, representa a
disponibilidade dos recursos e o seu valor dual. Para cada restrição, o valor dual
corresponde ao valor da produtividade marginal do recurso. Deste modo, se o número de
restrições empíricas for inferior ao número de variáveis básicas, a solução do modelo será
necessariamente sobre-especializada, verificando-se que várias actividades agrícolas
observadas na situação de referência não constam da solução do modelo.
Para aproximar os resultados dos modelos de PL à situação de referência, podem
sempre acrescentar-se restrições que permitem aumentar o número das variáveis básicas
e condicionar os valores das variáveis de decisão. Apesar da complexidade dos factores
que estão na origem da discrepância dos resultados, os esforços dos investigadores neste
sentido têm sido significativos.
Day (1961) defende que o realismo da solução dos modelos de PL pode ser
aumentado, através da introdução de limites superiores e de limites inferiores ao valor
das variáveis que traduzem o nível das actividades agrícolas no modelo. Para McCarl
(1980), a solução está em aproximar o custo de produção do verificado na situação de
referência através da decomposição das tecnologias (variáveis) e dos recursos (restrições)
de acordo com a sua heterogeneidade. No entanto, é necessário dispor de dados
detalhados e os resultados são válidos apenas para a situação de referência, sendo, na
maior parte dos casos, inapropriados para estudar os efeitos decorrentes de alterações
técnicas, económicas e institucionais.
As decisões de afectação dos recursos fixos resultam geralmente da maximização dos
rendimentos e dos trade-offs entre rendimentos, custos de produção e externalidades
entre culturas, sendo raramente tomadas com base em critérios agronómicos. O
estabelecimento de rotações de culturas é, geralmente, o reflexo da escassez dos recursos
agrícolas e dos preços relativos dos produtos e dos factores de produção.
De acordo com Heckelei e Britz (2005) uma abordagem alternativa para a calibração
dos modelos de PL é a utilização de funções objectivo não lineares para explicitar no
modelo o comportamento de risco dos agentes económicos ou os preços endógenos dos
produtos. A função objectivo não linear permite a existência de soluções interiores
independentemente das restrições definidas, atenuando, deste modo, a sobreespecialização da solução. No entanto, mesmo nestas condições não é possível calibrar
completamente a solução do modelo (Meister et al., 1978).
A necessidade de informação substancial para descrever adequadamente as
tecnologias de produção, os problemas de enviesamento decorrentes do processo de
agregação e a fraca aderência dos resultados aos comportamentos observados são as
principais limitações dos modelos de PL no apoio à decisão e na avaliação de medidas de
política agrícola e de desenvolvimento rural. A Programação Matemática Positiva (PMP)
constitui uma alternativa viável, na medida em que permite calibrar automaticamente os
modelos sem necessidade de recorrer a restrições adicionais de flexibilização e as
respostas às alterações dos parâmetros reflectem comportamentos mais regulares dos
agentes económicos (Howitt, 1995). São várias as aplicações recentes da PMP ao estudo
de problemas sistémicos e multidisciplinares de sustentabilidade económica, social e
ambiental, como é o caso das últimas reformas da Política Agrícola Comum (Heckelei e
Britz, 2005).
O objectivo deste artigo é avaliar a capacidade de calibração e de prescrição de
resultados de um modelo de PMP de oferta agrícola da Região Alentejo.
O artigo compreende mais quatro secções que dizem respeito a uma apresentação do
modelo geral de PMP e de diferentes formas de especificação da função dos custos
variáveis totais, ao desenvolvimento de um modelo de oferta agrícola para o Alentejo, aos
resultados e por último à conclusão.
2 Programação Matemática Positiva
A PMP permite obter de forma automática a calibração exacta do modelo em termos dos
níveis das actividades, da produção e dos preços. Mesmo antes de ser formalmente
apresentada por Howitt (1995), a PMP já tinha sido utilizada na modelação de problemas
económicos aplicados ao sector agrícola (House, 1987; Kasnakoglu e Bauer, 1988; Bauer
e Kanakoglu, 1990; Horner et al, 1992). Depois do artigo de Howitt sucederam-se várias
utilizações do método, tendo inclusivamente surgido novos desenvolvimentos que vieram
reforçar o seu interesse (Arfini e Paris, 1995; Cypris, 2000; Gohn e Chantreuil, 1999;
Barkaqui e Butault, 1999; Baskaqui et al., 2001; Graindorge et al., 2001; Helming et al.,
2001).
No modelo de PMP, a informação contida nas variáveis duais das restrições, que
limitam as actividades de um problema de programação linear de maximização do lucro
aos níveis observados, é utilizada para especificar uma função objectivo não linear, de tal
modo que a solução óptima reproduzirá os níveis observados dessas actividades.
A PMP pode ser entendida como um compromisso entre os modelos econométricos e
os modelos de programação matemática, na medida em que a estimação dos parâmetros é
feita, tal como nos primeiros, com base nos comportamentos observados e a solução
primal exibe uma especificação explícita da tecnologia, como em qualquer modelo de
programação matemática.
Os procedimentos empíricos do problema de PMP têm lugar em duas fases, que
compreendem a estimação dos parâmetros de calibração (fase I) e a especificação de uma
função objectivo não linear com base nesses parâmetros (fase II).
Na fase I deste processo usam-se restrições de calibração que forçam a solução do
modelo de PL aos níveis observados das actividades:
max Z = p' x − c ' x
x
sujeito a
Ax ≤ b [λ ]
(
)
(1)
x ≤ x + ε [ρ]
o
x≥0
em que:
Z = valor da função objectivo
p = vector (nx1) de preços dos produtos
c = vector (nx1) de custos variáveis por unidade de actividade
x = variáveis de decisão
A = matriz (mxn) de coeficientes técnicos
b = vector (mx1) de disponibilidades dos recursos
λ = vector (mx1) de variáveis duais associadas às restrições nos recursos
x0 = vector (nx1) de níveis observados das actividades
ε = vector (nx1) de números positivos muito pequenos
ρ = variáveis duais associadas às restrições de calibração
Para garantir a independência linear das restrições do problema, e deste modo evitar
a degenerescência da solução dual, é necessário adicionar um pequena perturbação
positiva ε aos termos independentes das restrições de calibração x0. Este procedimento
leva a que o valor dual da restrição de calibração da última actividade a fazer parte da
base da solução do modelo de PL seja nulo. Por conseguinte, o parâmetro de especificação
desta variável na função objectivo não linear também será nulo.
Nessas condições, o nível de pelo menos uma das actividades no modelo de PL não é
limitado pela respectiva restrição de calibração, mas por uma das restrições dos recursos
fixos, o que levará a que essa variável exiba rendimentos constantes à escala. Deste
modo, o vector x pode ser dividido num vector ((n-m)x1) de actividades ditas preferenciais
(xp), que são limitadas pelas restrições de calibração, e num vector (mx1) de actividades
marginais, xm, limitadas pelas restrições dos recursos fixos.
As condições de Kuhn-Tucker demonstram que o valor dual das restrições de
calibração das actividades preferenciais (ρp) é dado pela diferença entre a receita marginal
e os custos marginais, que o valor dual das restrições de calibração das actividades
marginais (ρm) é nulo e que o valor dual das restrições dos custos fixos depende dos
coeficientes das variáveis marginais na função objectivo:
Na fase II, os valores duais das restrições de calibração, ρp, que acomodam erros de
agregação, má qualidade da informação disponível e comportamentos de aversão ao risco,
são utilizados para especificar uma função objectivo não linear, tal que o custo marginal
das actividades preferenciais seja igual ao respectivo preço para os níveis das actividades
observadas na situação de referência, x0. Nestas condições, o modelo deverá reproduzir
exactamente o vector x0.
Para traduzir correctamente o lucro do produtor na função objectivo, é necessário
introduzir termos não lineares do lado da oferta, consistentes com as tecnologias
agrícolas, com a teoria micro-económica e com os dados disponíveis.
A não linearidade do problema primal do produtor é explicada pela heterogeneidade
da qualidade da terra e pelos rendimentos decrescentes à escala em função do aumento
da área das culturas (Peach, 1993).
Qualquer tipo de função não linear pode ser utilizado para representar o lucro do
produtor, desde que a função dos custos variáveis das actividades seja convexa. Pelo facto
de se adaptar bem à hipótese dos rendimentos decrescentes da produção agrícola e
também por falta de argumentos mais fortes para outro tipo de funções, a função
quadrática é frequentemente utilizada. O lado da oferta representado pela função dos
custos variáveis de produção pode ser especificado como:
c ' = d' x +
1
x ' Qx
2
(5)
em que:
d = vector (nx1) de parâmetros associados ao termo linear, e
Q = matriz (nxn) simétrica, definida ou semi-definida positiva, dos parâmetros
associados ao termo quadrático.
A função dos custos marginais das actividades resulta da soma dos custos lineares c
e dos custos marginais ρ. Os custos lineares são explicitados pelo vector d com base na
informação contabilística disponível e os custos marginais das actividades são dados pela
matriz Q, que corresponde aos termos quadráticos da função custo:
Uma vez especificados d e Q, o problema de programação não linear que reproduz os
níveis observados das actividades é:
A condição Cm = c + ρ, definida em (6), constitui um sistema indeterminado de
n+n(n+1)/2 parâmetros e n equações, que está associado à existência de uma infinidade
de padrões de resposta. Na tentativa de evitar simulações arbitrárias do comportamento
dos agentes económicos, têm sido desenvolvidas diferentes formas de especificação dos
parâmetros d e Q da função do custo variável (Heckelei e Britz, 2005).
Nas primeiras utilizações da PMP, o problema da especificação quadrática da função
custo foi resolvido fazendo d=c, e os n elementos da diagonal de Q, qjj, eram então
calculados como:
Esta especificação da função custo, designada de standard, é linear nas actividades
marginais em que ρm=0. Por conseguinte, o valor dual do recurso fixo permanece
constante, o que implica que uma alteração no preço de uma actividade preferencial
conduz a uma substituição da actividade marginal, sem afectar os níveis das outras
actividades preferenciais.
Este método é de simples especificação, especialmente quando a informação
disponível é reduzida. No entanto, Cypris (2000) verificou que os resultados obtidos
evidenciavam padrões de comportamento pouco coerentes com as alterações introduzidas
nos coeficientes do modelo, nomeadamente, respostas a incentivos que traduzem
elasticidades implícitas demasiado elevadas.
Paris (1988) usou uma especificação alternativa à anterior, em que o parâmetro d da
função custo é igual a zero e os elementos da matriz Q são calculados em função dos
custos explícitos observados na situação de referência, c, e dos valores duais das
restrições de calibração, ρ:
Apesar deste método representar uma melhoria relativamente ao anterior, o padrão
de resposta continua a ser arbitrário e está condicionado pela informação contida numa
única observação.
Outra forma de especificação da função custo consiste em partir do pressuposto que
o vector observado dos custos unitários por actividade, c, é igual ao custo médio da função
quadrática de custos variáveis:
q jj =
2ρ j
x 0j
e
dj = c j − ρj
j = 1,2,..., n
(10)
j = 1,2,..., n
Neste método, os valores obtidos para a diagonal de Q são superiores aos obtidos com
a regra standard em (8), o que implica a existência de elasticidades implícitas menores.
Persiste o problema da linearidade da função custo nas actividades marginais para as
quais não são definidos custos médios.
A utilização de elasticidades exógenas na especificação da função dos custos
variáveis possibilita a introdução de informação relativa a várias observações e reduz a
PMP ao seu papel de calibração no contexto de uma única observação dos níveis das
actividades. A elasticidade preço da actividade j é calculada por:
Nesta especificação os elementos da diagonal principal da matriz Q são nulos e o
efeito marginal do valor dual dos recursos fixos (λ) é ignorado, dependendo as alterações
do nível das actividades, x, dos seus preços relativos e de qjj-1, i.e., da derivada parcial de
x em ordem ao preço p (∂x/∂p).
3 O modelo da oferta agrícola da região alentejo
Para avaliar a capacidade de calibração e de prescrição da PMP, nomeadamente das
regras de especificação da função custo de produção, foi desenvolvido um modelo de PMP
adaptado às características regionais da produção agrícola da Região Alentejo. A sua
formulação simplificada é a seguinte:
em que Xj e Yi são variáveis de decisão que traduzem, respectivamente, a área das
actividades vegetais j em hectares (ha) e a dimensão dos efectivos pecuários reprodutores
i em Cabeças Normais (CN); T e E são variáveis de contratação adicional de trabalho e
capital no curto prazo; p, a, c e h são, respectivamente, o valor da produção, as ajudas
directas, os custos variáveis e as necessidades unitárias de trabalho das actividades j e i;
ph e pi são preços unitários da contratação de unidades adicionais de trabalho e de
capital; ejf são os encabeçamentos das actividades pecuárias i; e bs, bt e bc são os termos
independentes das restrições dos recursos fixos terra, trabalho e capital.
A função objectivo (12) traduz a maximização do VAB no sector agrícola do Alentejo.
Este indicador económico corresponde ao lucro do produtor no curto prazo. O seu valor,
em euros, é obtido retirando, ao total dos proveitos, os custos variáveis totais. Os
proveitos incluem a venda dos produtos nos mercados agrícolas e as ajudas directas em
função das áreas cultivadas e do número de animais elegíveis. Nos custos variáveis
consideram-se os custos dos factores de produção proporcionais às quantidades
produzidas (cj e ci), os custos de contratação de recursos fixos adicionais no curto prazo,
como o trabalho (ph) e o capital (pi) e os coeficientes dos custos marginais das actividades
(qjj e qii). De acordo com a regra de especificação utilizada, a função dos custos variáveis
totais pode assumir as formulações que constam no Anexo 1.
As variáveis de decisão incluem dezoito actividades de produção agrícola na Região
Alentejo. Essas actividades estão divididas em actividades de produção vegetal e
actividades de produção pecuária. As actividades vegetais abrangem a produção de
culturas arvenses (trigo, milho, arroz e girassol), horto-frutícolas, frutícolas, vinha, olival,
pastagens permanentes, culturas forrageiras, pousio obrigatório e pousio de rotação e
ainda uma actividade destinada às ocupações de matas e florestas. A produção pecuária
inclui: a produção de bovinos de carne, com uma tecnologia de engorda de novilhos e com
uma outra de venda de vitelos ao desmame; a produção de ovinos de carne e a produção
de suínos alentejanos em regime extensivo.
No Anexo 2 são apresentados os coeficientes que descrevem as actividades no
modelo, para os preços e as ajudas agrícolas em vigor em 2000 e em 2004.
A produção de pastagens permanentes e de culturas forrageiras constituem
actividades intermédias, reutilizadas nas actividades pecuárias. Por isso, estas
actividades não apresentam proveitos, mas apenas custos, uma vez que os seus proveitos
são os que se obtêm indirectamente das actividades pecuárias. Essa transferência de
rendimento entre actividades é realizada através da equação (13) que estabelece o balanço
entre as áreas forrageiras que são disponibilizadas pela produção vegetal e o número total
de animais.
A equação (14) modela a retirada de terras de cultivo imposta pela PAC após a
reforma de 1992. Trata-se de um instrumento de controle da oferta agrícola, que obriga a
que uma percentagem da área de culturas arvenses seja retirada da produção agrícola e
posta em pousio. De acordo com a regulamentação em vigor, essa percentagem foi fixada
em 10% da área de culturas arvenses e do próprio pousio obrigatório.
As equações (15), (16) e (17) modelam, respectivamente, a utilização dos recursos
terra, trabalho e capital. Estas equações garantem que a procura destes recursos é
inferior à sua disponibilidade. Para a terra considerou-se uma disponibilidade de
aproximadamente 2 milhões de ha, que correspondem à superfície agro-florestal no
Alentejo, incluindo a superfície agrícola utilizada e a superfície de matas e florestas. A
disponibilidade anual de trabalho foi estimada em cerca de 24 milhões de horas, o que
equivale a perto de 12,5 mil Unidades de Trabalho Anual (UTA). No caso do capital
operacional, considerou-se uma disponibilidade inicial de 350,8 milhões de €.
Apesar da função objectivo representar a retribuição dos recursos primários da
produção agrícola (terra, trabalho e capital), a solução do modelo está limitada apenas
pela disponibilidade do recurso terra na equação (15). A procura de trabalho na equação
(16) e de capital na equação (17) pode exceder as suas disponibilidades através da
contracção, no mercado local, de unidades adicionais de trabalho por 3,5 euros por hora
no primeiro caso e de capital à taxa de juro anual de 7% no segundo caso.
4 Resultados
A capacidade de calibração do modelo de PMP é avaliada através da comparação dos
resultados com os dados observados e com os resultados do modelo tradicional de PL de
oferta agrícola para a Região Alentejo para o cenário de preços e ajudas de 2000. Nas
Figuras 1 e 2 apresenta-se a comparação dos resultados com os dados observados em
2000, em termos da percentagem das actividades na superfície agro-florestal total e dos
efectivos pecuários reprodutores expressos em milhares de cabeças normais (CN),
respectivamente.
Os resultados obtidos para o modelo de PL indicam que a totalidade da superfície da
agro-florestal deverá ser utilizada na produção de vinha para vinho e que a produção
pecuária deverá ser abandonada. Estes resultados são inaceitáveis na medida em os
dados estatísticos de 2000 mostram que apenas 0,7% da superfície agro-florestal da
Região Alentejo é ocupada com vinha e que o efectivo pecuário reprodutor é composto por
27,1 mil CN de suínos alentejanos, 176,3 mil CN de ovinos de carne e por 183,5 mil CN
de bovinos de carne, dos quais 64,2 mil CN no sistema de engorda de novilhos e 119,3 mil
CN no sistema de venda de vitelos ao desmame.
Contrariamente, os resultados, obtidos com os modelos de PMP para as várias
especificações consideradas para a função dos custos variáveis, reproduzem com precisão
o nível das actividades observadas nos dados estatísticos de 2000.
O facto de nesta fase se obterem os mesmos resultados para as diferentes formas de
especificação da função custo de produção, deve-se à condição Cm = c + ρ definida em (6),
que constitui um sistema indeterminado de n+n(n+1)/2 parâmetros e n equações. Como
para este sistema existe uma infinidade de valores para os parâmetros qjj e qii que
satisfazem as condições do problema de PMP, são de esperar padrões de resposta
distintos para o modelo, consoante a forma de especificação utilizada para a função dos
custos variáveis.
Figura 1: Níveis observados e estimados das actividades agro-florestais para 2000
Fonte: INE, 2000 e Resultados do modelo de PL e dos modelos de PMP
Figura 2: Níveis observados e estimados dos efectivos pecuários para 2000
O padrão de resposta do modelo relativamente a alterações dos seus coeficientes do ponto
de vista da análise económica das políticas agrícolas e das condições de mercado traduz a
sua maior ou menor capacidade de prescrição.
Para avaliar a capacidade de prescrição do modelo de PMP e das diferentes formas de
especificação das funções dos custos variáveis alteraram-se os coeficientes do modelo
introduzindo os preços e as ajudas em vigor no ano de 2004.
Nas Figuras 3 e 4 apresenta-se a comparação dos resultados dos modelos de PMP
com os dados observados em 2004 em termos da percentagem das actividades na
superfície agro-florestal total e dos efectivos pecuários reprodutores expressos em
milhares de cabeças normais (CN).
Figura 3: Níveis observados e estimados das actividades agro-florestais para 2004
Estes resultados mostram que a especificação da função dos custos variáveis pela
regra das elasticidades exógenas é superior às restantes, na medida em que a sua solução
é a que se afasta menos dos valores observados nos dados estatísticos de 2004. Neste
caso, o desvio absoluto ponderado na afectação das actividades à superfície agro-florestal
é de 7,3% e o desvio absoluto ponderado na composição dos efectivos pecuários
reprodutores é de 7,8% (Quadro 1). Segue-se a regra de Paris com desvios absolutos
ponderados de 8,3% e de 14,4%, respectivamente.
Os resultados obtidos para as regras especificação da função dos custos variáveis
standard e do custo médio são claramente inferiores, apresentando, respectivamente,
desvios absolutos ponderados de 39,2% e 26,2% na afectação das actividades à superfície
agro-florestal e de 88% e 63,4% na composição dos efectivos pecuários reprodutores.
Figura 4: Níveis observados e estimados dos efectivos pecuários para 2004
Tabela 1: Desvios absolutos ponderados dos níveis das actividades para 2004 (%)
Na especificação pelo método das elasticidades exógenas apenas três actividades
agrícolas apresentam um desvio absoluto superior aos 15% indicados por Hazell (1986)
como limiar mínimo de calibração desejável. Essas actividades são o arroz (-23,5%), o
girassol (76,4%) e a vinha (-48,6%).
No caso da regra de Paris, existem seis actividades que apresentam desvios absolutos
acima dos 15%, quatro actividades vegetais e duas actividades pecuárias. Particularmente
elevados são os desvios absolutos registados nas superfícies de trigo mole (109,9%) e de
girassol (63,7%). No que diz respeito às actividades pecuárias, os desvios absolutos são da
ordem dos 20% nas actividades de produção de bovinos de carne.
Para as regras de especificação standard e do custo médio, das dezoito actividades
agro-florestais previstas no modelo, dez apresentam desvios absolutos acima dos 15%,
sendo particularmente elevados para a composição dos efectivos pecuários reprodutores.
5 Conclusão
Este artigo avalia a capacidade de calibração e de prescrição futura dos resultados de um
modelo de Programação Matemática Positiva, desenvolvido para as condições de oferta
agrícola da Região Alentejo. Foram consideradas em alternativa as regras de especificação
da função dos custos variáveis totais standard, Paris, custo médio e elasticidades
exógenas.
Os resultados obtidos demonstram que o modelo de Programação Matemática
Positiva reproduz com precisão o nível das actividades observadas na situação de
referência, independentemente da regra utilizada para especificar a função dos custos
variáveis de produção.
Relativamente à prescrição de resultados futuros, a Programação Matemática Positiva
revelou ser também uma boa opção metodológica, especialmente se forem utilizadas na
especificação da função dos custos variáveis de produção a regra das elasticidades
exógenas ou a regra de Paris.
As regras de especificação da função dos custos variáveis baseadas no método
standard e no método do custo médio revelaram uma menor capacidade de prescrição dos
resultados futuros.
Pode concluir-se que as propriedades da Programação Matemática Positiva não se
esgotam apenas na calibração exacta dos modelos de oferta agrícola, mas também se
estendem à sua capacidade de prescrição de resultados futuros.
