Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software
Brady T. West, Kathleen B. Welch, Andrezj T. Galecki
Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software
Chapman & Hall, 353 págs., Preço: 75,58 em 2007
O presente livro faz uma abordagem à temática dos modelos lineares mistos
(MLM), sendo objectivo dos seus autores a modelação estatística de bases de
dados, representativas de casos tipo, fundamentada num adequado substrato de
natureza teórica e aplicada. O livro pressupõe algum conhecimento prévio das
temáticas relacionadas com álgebra matricial, análise numérica ou modelos
lineares de efeitos fixos e aleatórios, abordadas em obras como "Matrix
Algebra Useful for Statistics", and "Linear Models", de S.R.
Searle; "Variance Components" de G. Casella, e C.E. McCulloch; ou
"Linear Mixed Models for Longitudinal Data" de G. Verbeke e G.
Molenberghs.
A diferenciação deste texto, relativamente a essas obras de natureza mais
fundamental, baseia-se assim no ajustamento de MLM a cinco bases de dados de
complexidade crescente, utilizando cinco pacotes informáticos - SAS, R, SPSS,
Stata e HLM. Os programas informáticos utilizados são apresentados e discutidos
com um nível de pedagogia e profundidade suficientes para habilitar o leitor
com uma sensibilidade fundamental à análise dos seus próprios problemas.
O livro compreende sete capítulos. No Capítulo1 é feita uma definição de MLM e
uma resenha histórica dos desenvolvimentos teóricos e de programação
informática no século passado.
No Capítulo 2 é apresentado um resumo alargado relativo aos modelos mistos
lineares em que são considerados os tipos de modelos e dados fundamentais:
agrupados a dois níveis, agrupados a três níveis, medidas repetidas,
longitudinais e agrupados longitudinais. Esta tipologia é claramente
apresentada de modo a que possa ser relacionada com outras formas alternativas
de delineamento experimental baseadas p.ex. em blocos aleatórios. As análises
são realizadas em conjuntos de dados balanceados ou não balanceados. Na Secção
2.1 deste capítulo são definidos e clarificados os conceitos fundamentais de
efeitos fixos, aleatórios e encaixados. As Secções 2.2 a 2.4 abordam a
especificação matricial dos MLM, relativa a um único sujeito compreendendo as
componentes fixa e aleatória do modelo, integrando as matrizes de observação e
de covariáveis, bem como os vectores das respostas contínuas, dos efeitos
fixos, dos efeitos aleatórios e dos resíduos. Na Secção 2.2 são também
indicadas estruturas possíveis para as matrizes Ri, p. ex. não estruturada, de
componentes de variância, estrutura assumida por defeito, de simetria composta
ou auto-regressiva, de modo a ser possível a acomodação de várias formas de
correlação entre os resíduos ou as variáveis aleatórias. Na Secção 2.2 são
ainda apresentadas formulações alternativas relativas ou à totalidade dos
sujeitos em observação, baseadas na sobreposição dos modelos matriciais dos
sujeitos individuais em matrizes diagonais por blocos, ou hierárquica, baseada
na construção de variáveis específicas a níveis de dados.
Na Secção 2.3 são abordados os conceitos de modelos marginais, ou não
condicionais, sem componente aleatória, relativos às médias de populações de
níveis de efeitos fixos, não esquecendo os chamados modelos marginais
implicados por um MLM, úteis ao estudo de correlação de sujeitos num
determinado agrupamento (cluster).
Nas sub-secções 2.4.1 e 2.4.2 são desenvolvidos conceitos fundamentais
relativos aos métodos de estimação mais relevantes em MLM a saber, os métodos
de máxima verosimilhança (ML) e de máxima verosimilhança restrita (REML).
Na Secção 2.5 são sintetizadas as principais técnicas numéricas para
optimização das funções de verosimilhança, de que são exemplos os algoritmos EM
(Expectation-Maximization) e de Newton-Raphson.
Nas Secções 2.6 e 2.7 são especificados detalhes relativos aos testes de
hipóteses e estatísticas para selecção e construção de modelos, por exclusão ou
acréscimo de variáveis associadas a efeitos fixos ou aleatórios a vários níveis
de análise. São abordadas as diversas técnicas de construção de modelos segundo
as estratégias de top-down ou step-up, correspondentes a situações em que,
respectivamente, a construção se inicie com um número máximo ou mínimo de
efeitos fixos.
A Secção 2.8 é dedicada ás técnicas de diagnóstico dos modelos para verificar
se os pressupostos de distribuição dos resíduos condicionais, escalados p. ex.
por studentização, se verificam ou se o ajustamento do modelo é sensível a
observações fora do usual.
Na Secção 2.9 são abordados tópicos relacionados com temas como o do cálculo
dos coeficientes de correlação intraclasse, destinados a avaliar a
homogeneidade das respostas da variável dependente integrada num dado
agrupamento, o da problemática da modelação quando existam dados em falta ou o
cálculo dos BLUPS.
Os Capítulos 3 a 7 são destinados à aplicação dos cinco programas informáticos
a situações, respectivamente, de dados agrupados a dois níveis, dados agrupados
a três níveis, dados de medidas repetidas, dados longitudinais e dados
longitudinais agrupados. Os dados são relativos à medicina e ciências sociais.
Estes capítulos são elaborados numa tentativa de abordagem integrada de: i)
estratégias de top-down ou step-up para a construção dos modelos ii) de análise
de diversas estruturas das matrizes D de variância-covariância dos efeitos
aleatórios e Ri dos resíduos, homogéneas ou heterogéneas, segundo um grau de
complexidade crescente, iii) de interpretação das estimativas dos parâmetros,
iv) de estabelecimento de modelos de resposta condicionais, específicos dos
agrupamentos de dados e não condicionais, relativos aos conjuntos das
populações e v) de diagnósticos para os modelos finais.
Em cada capítulo é feito um estudo preliminar dos dados de modo a captar fontes
de variabilidade que serão consideradas nos diversos modelos. São também
apresentadas, para cada problema, tabelas com os conjuntos dos modelos e
respectivos parâmetros fixos ou aleatórios a estudar em cada caso, com os
testes de hipóteses realizados e com os resultados da estimação para os
diversos programas informáticos.
O Capítulo 3 aborda um problema de análise de peso de crias de ratos em
ninhadas, sujeitas a três doses de um composto experimental (alta, baixa e de
controle). As variáveis do problema situam-se a dois níveis hierárquicos
relativas ao indivíduo e à ninhada, sendo que cada ninhada foi aleatoriamente
atribuída a um dado nível de tratamento e as crias de rato foram encaixadas nas
diversas ninhadas.
O Capítulo 4 trata um problema sociológico relativo ao aproveitamento em
Matemática de um conjunto de alunos em função da escola, origem social dos
estudantes, sexo ou a formação dos professores. As variáveis são especificadas
a quatro níveis hierárquicos a saber: escola, turma e estudante, sendo que o
modelo é elaborado segundo uma estratégia step-up, contrariamente a todos os
outros exemplos, que seguem o modelo top-bottom.
O Capítulo 5 aborda a análise de medidas repetidas, no qual múltiplas medidas
são realizadas no mesmo sujeito, sob condições distintas ou ao longo do tempo.
Os dados analisados situam-se a dois níveis, o primeiro representando as
medidas efectuadas nos sujeitos e o segundo representando os sujeitos. As
covariáveis medidas ao nível 2 dos dados representam a variação entre sujeitos
e as variáveis medidas ao nível 1 descrevem a variação nos sujeitos.
O Capítulo 6 aborda um problema relativo a modelos longitudinais utilizando um
conjunto de dados relativos a um estudo de capacidades de sociabilidade em
crianças com problemas de desenvolvimento e autismo.
Finalmente, o Capítulo 7 propõe o estudo da classe de modelos para dados
longitudinais agrupados, segundo os quais as unidades de análise são encaixadas
em agrupamentos e as várias medidas da variável dependente são realizadas ao
longo do tempo nas várias unidades de análise. Cada agrupamento pode integrar
um número distinto de unidades de análise e os instantes temporais em que as
medidas se realizam podem ser igualmente distintos. O exemplo apresentado
inclui três níveis de análise, sendo que o nível 1 representa o conjunto de
medidas longitudinais repetidas efectuadas ao longo do tempo, o nível 2 as
unidades de análise e o nível 3 os agrupamentos de unidades.
Como comentário final, considerando a dificuldade de num livro não muito longo
expor todas as matérias associadas à complexa problemática dos modelos mistos
lineares, julgamos que a obra se pode considerar um bom manual sobre aplicações
de modelos mistos lineares, contributivo para futuro desenvolvimento de
trabalho nesta ou noutras áreas relacionadas.
Abel Martins Rodrigues
Investigador Auxiliar
INIA/INRB, IP
Av. da República, Quinta do Marquês,
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