Aleatorização e composição de medidas de preferência
1. Introdução
As escolhas dos apostadores nas modalidades de apostas páreo a páreo nas
corridas de cavalos constituem uma tomada de decisão coletiva a respeito de
qual a correta distribuição de probabilidades das opções oferecidas. Soando o
sinal que anuncia a aproximação do encerramento das apostas e a abertura dos
portões de partida aos animais, centenas de pessoas dirigem-se aos guichês para
realizar as apostas que, no entender de cada um, lhes oferecem a melhor relação
custo/benefício, elevando deste modo a razão entre apostas efetivadas e chance
nos pontos em que esta lhes pareça pequena em relação às alternativas. Na
modalidade de aposta no animal vencedor do páreo, a mais simples e de maior
volume de apostas, podemos concluir que o encerramento das apostas colhe uma
distribuição de probabilidades que reflete muito fielmente o ponto de vista do
grupo de apostadores no exato momento em que se inicia a corrida.
É claro que a distribuição de probabilidades assim gerada não precisa
representar corretamente a distribuição de probabilidades de cada um dos
animais ser o vencedor, de tal modo que apenas fatores aleatórios, intervindo
durante a carreira conforme essa distribuição, determinem o vencedor. É
possível que a formação de preferências do apostador deixe de levar em conta
fatores que sistematicamente afetam os resultados das provas e que não são do
conhecimento dos apostadores, assim como é possível que estes formem suas
preferências com base em informações falsas e teorias errôneas, que, uma vez
corrigidas, pudessem ter sido usadas para gerar, no início da corrida, mais
correta distribuição de probabilidades de vitória de cada animal.
Independente disto, está estabelecido, começando com Kahneman & Tversky
(1979), que, em muitas situações, a distribuição de preferências efetivamente
observada se desvia da aplicação racional das informações e modelos teóricos de
que o tomador de decisão dispõe. A quantificação desses desvios, catalogados de
forma sistemática em McFadden (1999), vem sendo desenvolvida nas últimas
décadas. Seguimos aqui a idéia de Gomes & Lima (1992) de derivar a forma
funcional que melhor espelhe as distorções objetivamente encontradas.
No caso das corridas, no frêmito do fechamento das apostas é possível que
fatores emocionais desviem na mesma direção o comportamento dos apostadores do
objetivo de beneficiar-se das possíveis distorções na relação de custo/
benefício de cada aposta. Dentre estes fatores, destacam-se, de um lado, a
conveniência de fundamentar a escolha em uma comparação simples e, de outro, a
insegurança inerente ao resultado de qualquer procedimento racional de escolha,
dados os fatores que é sempre preciso deixar fora do modelo racional de
análise, por melhor que seja. A conjugação destes dois princípios levaria a
concentrar as apostas nas opções de maior probabilidade e a calcular a chance
das outras opções comparativamente em relação a essas. Além disso, motivações
puramente emocionais, discutidas por Ali (1977) e Thaler & Ziemba (1997),
atuariam no sentido de elevar a proporção das apostas nas opções muito pouco
prováveis.
Substituindo ordenações iniciais de preferência pelas probabilidades de cada
opção ser a preferida, obedecemos aos dois princípios acima explicitados, de
simplificação e de incerteza, e produzimos, também, aproximação entre as
preferências pelas opções menos viáveis. Esta substituição é aqui aplicada a
dois fatores: a preferência derivada do desempenho passado dos competidores,
fornecida pelo handicappeur oficial do hipódromo ao elaborar o programa dos
grandes prêmios, antes da assinatura dos compromissos de montaria pelos
jóqueis, e a preferência exercida pelos jóqueis.
Tem sido observada, também, em diferentes situações, uma maior distância entre
as opções com maior probabilidade de sucesso, conduzindo a uma distribuição de
probabilidades aproximadamente exponencial. Um levantamento de situações dessa
natureza é apresentado por Lootsma (1993). Como a distribuição de preferências
baseada nas probabilidades de cada opção ser a preferida tem uma forma próxima
da exponencial, se conseguirmos, através dela, explicar a formação de
preferências, estaremos trazendo mais um elemento de convicção favorável à
aproximação exponencial.
Começamos a construção dessa distribuição ordenando as opções segundo um
critério dado. A seguir, interpretamos o posto de cada opção como valor
observado e estimativa do valor esperado de uma medida de preferência
aleatória. Da distribuição conjunta destes postos aleatórios, construída
utilizando hipóteses simplificadoras quanto à forma da distribuição do posto
observado e de independência e idêntica dispersão, derivamos a probabilidade de
cada opção ser a preferida. Pode-se aplicar este algoritmo à atribuição de
probabilidades segundo cada um dos fatores isoladamente ou a preferências
agregadas geradas combinando os fatores iniciais.
A questão de como combinar os fatores, o princípio da simplificação permite
responder através da reformulação da avaliação das opções, comparando-as com
aquela em maior evidência, que, no caso, é a vitória do animal favorito do
handicappeur oficial do hipódromo. Assim, a redução de dimensionalidade é
aplicada projetando todos os vetores de preferências de ordem 2, preferência do
handicappeur e preferência dos jóqueis, na mesma direção, determinada pelo
vetor correspondente ao animal preferido pelo handicappeur.
Estas transformações dos dados são aplicadas a seguir para explicar as
preferências dos apostadores em provas para as quais se dispõe da classificação
prévia oficial dos competidores. Algumas conclusões podem ser extraídas do
ajustamento de modelos explicando a preferência dos apostadores refletida na
distribuição final das apostas a partir das classificações segundo os dois
critérios básicos.
Em primeiro lugar, verifica-se que o ajustamento do modelo de regressão linear
melhora substancialmente quando se substituem os postos pelas chances relativas
derivadas da probabilidade de a opção ocupar a posição de maior preferência. E
melhora mais quando se agregam os fatores projetando sobre a direção da opção
preferida pelo handicappeur oficial.
Na Seção 2, se discute a aleatorização dos postos para geração da probabilidade
de escolha. Na Seção 3, se trata da composição das preferências derivadas de
diferentes critérios. Na Seção 4, são estudados os exemplos de aplicação às
corridas do Jóquei Clube Brasileiro. Na Seção 5, são apresentados comentários
finais.
2. Adição de Componente Aleatório
Nesta Seção é desenvolvida uma sistemática para introduzir uma parcela
probabilística na determinação da posição relativa de cada opção. Com a
introdução deste componente aleatório, a posição inicialmente apresentada de
forma determinística passa a ser tratada como uma estimativa para o ponto médio
de uma distribuição de probabilidades.
A forma mais simples de fornecer esta posição inicial é através da ordenação
das opções, da de menor preferência para a de maior preferência. Esta ordenação
não precisa ser rigorosa, podem ser admitidos empates, ou postos vagos para
representar afastamento maior que a regra geral. O importante é que, uma vez
transformadas as indicações de preferência em valores numéricos, tratando-os
como variáveis aleatórias, sempre se pode derivar do conjunto de valores
observados uma distribuição de probabilidades de cada opção ocupar a posição de
maior preferência.
Quanto à determinação das distribuições de probabilidades dessas variáveis
aleatórias, a ausência de informação, característica, pelo menos, das primeiras
aplicações, acentua a exigência de parcimônia na parametrização. Para ser
coerente com a idéia de aumentar as distâncias próximo à fronteira de
excelência, devemos procurar trabalhar com distribuições de caudas leves. Por
outro lado, para que a aleatorização seja mais efetiva é preciso que a
variabilidade admitida favoreça ao máximo a possibilidade de troca de postos
entre opções próximas. Estas diretrizes conduzem à escolha da distribuição
uniforme.
Na família uniforme, a distribuição da posição aleatória em torno do seu valor
esperado, estimado, no caso, pela posição em que a opção é deterministicamente
colocada na classificação inicial, fica perfeitamente identificada se
informamos o valor de um parâmetro de dispersão. Fazemos isto fixando a
amplitude no menor valor que permita inversão entre duas opções quaisquer, isto
é, no valor da diferença entre as medidas iniciais de preferência pelas opções
de maior e menor preferência. Sendo as preferências dadas em termos de postos,
esta diferença é igual ao número de opções disponíveis menos 1.
Formalmente, a transformação aplicada consiste em colocar no lugar da medida
Rij da opção j-ésima pelo critério i-ésimo a probabilidade de que este critério
atribua a essa opção a máxima preferência, sob a hipótese de que, para todo i e
todo j, a medida correspondente à j-ésima opção pelo i-ésimo critério seja
uniformemente distribuída em torno do respectivo registro Rij. E estas
distribuições uniformes são supostas independentes, todas aquelas relativas a
postos segundo um mesmo critério tendo a mesma amplitude, igual, para o
critério i-ésimo, ao máximo das diferenças Rik ' Ril, para k e l variando ao
longo de todas as opções avaliadas.
Dada a razão (n'1)/(n+1) entre o valor esperado da amplitude da amostra
aleatória simples de tamanho n e a amplitude da população uniformemente
distribuída em um intervalo qualquer, a estimativa para a amplitude derivada da
amplitude amostral deveria envolver a divisão por (n'1)/(n+1), elevando para o
número de opções disponíveis mais 1 a amplitude atribuída à distribuição de
cada posto no caso de preferências ordinais. Esta correção pode, entretanto,
tornar-se excessiva, visto que a atribuição de preferências às opções não se
realiza de forma totalmente aleatória, mas, ao contrário, as perturbações
aleatórias apenas destorcem ordenações de preferências subjacentes.
Poderíamos, também, seguir a prática usual de derivar estimativa para o desvio
padrão da perturbação de cada medida do desvio padrão amostral, sendo a
amostra, no caso, constituída pelas medidas de preferência atribuídas às
opções. O fato de que os valores esperados das variáveis na amostra são
diferentes também deve fazer este procedimento superestimar a dispersão. De
fato, no caso de postos, o desvio padrão amostral é o da distribuição uniforme
discreta nos inteiros de 1 a n. Esta distribuição tem variância dada por n(n+1)
(n'1)/12, muito maior que a da distribuição uniforme em intervalo de amplitude
n'1. E tem amplitude relativa de ordem n-1/2, decrescente com o tamanho da
amostra, contra a amplitude relativa constante das distribuições uniformes em
intervalo.
Estimar o desvio padrão de cada medida pelo desvio padrão amostral não parece,
portanto, apropriado no caso uniforme. Já para a distribuição normal, para a
qual o desvio padrão é um parâmetro natural, o gradual decréscimo da densidade
com o afastamento do centro exige, para facilitar adequadamente a inversão de
postos, que a relação entre a dispersão atribuída a cada medida e a dispersão
observada entre as medidas iniciais seja maior. Neste caso, de fato, atribuindo
ao desvio padrão de cada posição o desvio padrão amostral, as probabilidades de
inversão obtidas são compatíveis com as esperadas. No caso de postos de 10
opções, o valor esperado para a amplitude relativa, de aproximadamente 3,
implica a probabilidade de inversão entre a primeira e a décima medida da ordem
de 0,1%. A superestimação pelo desvio padrão amostral pode, então, acabar por
conduzir a probabilidades de inversão que representem mais fielmente a
incerteza que atua nessa fase do processo.
Se o número de opções é grande, a hipótese de que todas as inversões sejam
possíveis pode ser pouco realista. De qualquer modo, para o objetivo de
calcular a probabilidade de ser a preferida, a partir de tamanhos de amostra de
10, pouca diferença resulta de assumir amplitude igual a 10 ou mais próxima do
número total de opções.
No caso contrário, em que o número de opções seja pequeno, pode ser conveniente
modelar a dispersão com uma amplitude maior que o tamanho da amostra para
representar mais corretamente a possibilidade de inversão entre as opções. Isto
pode ser efetuado, concretamente, acrescentando-se uma ou duas opções fictícias
no extremo de menor preferência.
Pode-se, ainda, abandonar a hipótese de idêntica dispersão e ampliar ou reduzir
o desvio padrão de um ou outro posto para refletir uma convicção maior ou menor
sobre a posição de opções melhor ou pior conhecidas. A modelagem da dispersão
é, não obstante, em geral, uma possibilidade difícil de explorar.
A independência dos fatores de aleatorização dos postos também é uma hipótese
simplificadora artificial. Como a ordenação resulta de comparação entre as
opções, poderíamos aperfeiçoar o modelo incluindo a correlação negativa que se
deve esperar em decorrência da soma constante dos postos. Esta correlação,
entretanto, decresce rapidamente, em valor absoluto, com o aumento do número de
opções, também deixando de ter efeitos numéricos consideráveis a partir de 10
opções.
As decisões consideradas no presente estudo envolvem de 10 a 20 opções. Fica-
se, neste caso, à vontade, para assumir independência e idêntica distribuição
uniforme com amplitude igual à observada, conforme indicado inicialmente. Os
resultados apresentados a seguir são todos baseados nesta hipótese. Pôde-se,
entretanto, verificar que, modelando com a hipótese de normalidade e desvio
padrão igual ao amostral, chega-se a resultados muito parecidos.
3. Combinação de Múltiplos Critérios
3.1 Classes de Alternativas
A determinação da preferência em termos de probabilidade de a opção ser a
preferida a partir de uma classificação inicial pode ser aplicada,
separadamente, a critérios simples que serão combinados a seguir, ou a um
critério único que, possivelmente, resulte de anterior combinação de outros
fatores. Nesta seção, apresentamos as alternativas de agregação dos critérios
que serão experimentadas adiante. Estas alternativas são classificadas em dois
grupos: com igual importância para todos os critérios e com ponderação dos
critérios.
Há alternativas para atribuir igual importância de naturezas muito distintas.
Aqui são desenvolvidas duas em que, entrando inicialmente com igual
probabilidade de escolha, os diferentes critérios acabam tendo influência muito
diferente no resultado final. A primeira é baseada na composição das
preferências em termos de probabilidade de ser a opção preferida. A segunda,
baseada, na Análise Envoltória de Dados (DEA), mede a preferência pela
proximidade de uma envoltória convexa.
Depois disto, são, também, listadas formas de agregação através de ponderação
dos critérios. Destas, para manter a referência à opção de maior preferência,
recebe maior atenção uma forma nova, baseada em pesos derivados da projeção
sobre a opção preferida segundo o critério considerado mais importante.
3.2 Composições com Igual Importância
O princípio de igual importância para todos os critérios pode ser aplicado de
várias formas. As mais simples consistem no cálculo da média aritmética das
preferências ou da norma do vetor de preferências. Uma forma mais
probabilística de compor com igual importância para todos os critérios consiste
em usar como medida global a probabilidade de a opção ser a preferida por pelo
menos um dos critérios considerados. Formalmente, representando por Pij a
probabilidade de a opção j-ésima ser a preferida pelo critério i-ésimo, a
medida final da preferência por essa opção será 1' P(1'Pij) e a chance relativa
respectiva será [1' P(1'Pij)]/P(1'Pij), i variando, no produtório, ao longo de
todos os critérios considerados.
Outra alternativa que se orienta pelo mesmo princípio de privilegiar as opções
mais próximas da posição de preferida segundo algum critério consiste em medir
a preferência pela proximidade à envoltória convexa do conjunto dos vetores de
preferência. Este é o critério de eficiência de Farrel (1957), cujo cálculo
pode ser implementado através do algoritmo de Análise Envoltória de Dados com
Retornos Constantes de Escala (DEA-CRS) orientado pelo input, bastando para
isto que avaliemos as opções em lugar de unidades de produção, considerando as
preferências segundo cada critério no lugar dos produtos resultantes da
utilização de um volume fixo de um input qualquer.
Neste caso, garantimos que todos os critérios recebem a mesma importância tanto
no caso em que as medidas de preferência sejam dadas como postos quanto no caso
em que já são fornecidas através das probabilidades de cada opção vir a atingir
o posto de opção preferida. Além disto, o resultado da composição por este
algoritmo é invariante com mudanças de escala, isto é, com mudanças que
preservem a proporcionalidade entre as medidas de preferência por diferentes
opções.
O problema de otimização resolvido ao aplicar este algoritmo, assumindo que as
opções sob avaliação são classificadas, de acordo com cada critério, da menos
preferível para a mais preferível, tem a seguinte formulação. Rij denotando o
posto da j-ésima opção de acordo com o critério i-ésimo, a preferência global
pela o-ésima opção é dada por eo = máx S wiRio, onde os pesos não-negativos wi
obedecem à restrição de S wiRij £ 1 qualquer que seja a opção j. Nas parcelas
destes somatórios estarão representados todos os critérios admitidos na
análise.
Ao admitir que os multiplicadores wi possam ser nulos, permitimos que a
preferência global por uma opção qualquer possa ser elevada pela exclusão de
critérios em que essa opção tenha uma posição baixa. Isto pode resultar, por
exemplo, na atribuição de uma preferência final máxima para uma opção que
apresente a mesma classificação de outra em todos os critérios menos alguns
para os quais escolha o peso zero, mesmo que, nestes critérios, a outra receba
uma classificação melhor. Na abordagem baseada em postos, para que isto não
possa acontecer, basta proibir empates.
A formulação dual da regra de otimização acima corresponde à formulação da
envoltória no modelo de DEA de Charnes, Cooper & Rhodes (1978) orientado
para o input. Nesta formulação, o nível de eficiência de uma unidade de
produção é dado pelo mínimo dos possíveis quocientes com denominador dado pelo
input agregado da unidade de produção avaliada e numerador dado pelo input
agregado que uma soma de unidades de produção fictícias, obtidas reduzindo ou
ampliando unidades de produção reais proporcionalmente em todos os seus inputs
e outputs, precisa consumir para produzir um volume de cada output maior ou
igual ao da unidade sob avaliação. Quando as preferências segundo os critérios
particulares ocupam o lugar de outputs decorrentes da aplicação de um input
fixo a cada uma das unidades sob avaliação, a preferência agregada é dada pela
mínima fração desse volume padrão de input que, aplicado a uma fictícia
combinação de opções, lhe permite atingir um posto maior ou igual ao da opção
sob avaliação.
Formalmente, a preferência pela o-ésima opção será dada pelo mínimo valor de q
tal que qSl jRij ³ Rio, para qualquer critério i, com os lj todos não negativos
e somando 1 e o somatório realizado ao longo de todas as opções consideradas.
Com todas as variáveis crescendo no mesmo sentido, é fácil visualizar a
contribuição de cada uma das opções de referência que compõem a soma fictícia
da qual apenas uma fração q é suficiente para ultrapassar a posição da opção
sob avaliação. Este escore q corresponde à soma das contribuições qlj das
opções de referência.
A norma quadrática é uma forma mais simples de tratar igualmente todos os
critérios do ponto de vista global e, na avaliação de cada opção, dar maior
importância aos critérios em que a opção receba maior preferência. De fato, a
norma mede a preferência agregada pela média ponderada das preferências segundo
os diferentes critérios com o peso de cada critério dado pela própria medida de
preferência pela opção segundo o critério. A classificação pela norma pode ser,
então, pensada como uma simplificação do algoritmo da DEA, eliminando a busca
dos preços que maximizam a eficiência relativa, substituindo-os por preços
proporcionais aos volumes dos outputs.
3.3 Ponderação dos Critérios
Tanto a conveniência de fornecer uma explicação simples quanto a natural
necessidade de desenvolver o processo de decisão a partir do conjunto de opções
efetivamente disponível conduzem a pesos para os critérios que variam de um
caso para outro. Alguns critérios podem não ser nunca aplicados a certos tipos
de situações. Para outras decisões pode-se chegar a estabelecer uma hierarquia
entre os critérios, com pesos maiores tanto para os critérios considerados mais
importantes quanto para os que, por estarem menos correlacionados com os
demais, oferecem uma contribuição mais destacada.
No grupo das sistemáticas de agregação que dão importância diferente aos
diferentes critérios destaca-se a ordenação dos vetores de preferência segundo
sua projeção sobre uma direção única. Neste caso, o princípio da simplificação
leva a escolher tal direção entre as efetivamente observadas. Isto é, esta
direção é determinada pelo vetor de preferências de uma opção de referência.
Finalmente, chegando a este ponto, é natural escolher como opção de referência
a de maior preferência segundo o critério que consideremos mais importante.
Esta alternativa pode ser flexibilizada para admitir projeções sobre, não
apenas uma, mas, sim, o espaço gerado por um pequeno número de direções de
referência.
Em situações como a das preferências dos apostadores, em que se dispõe, além
das preferências segundo cada critério isoladamente, de uma medida de
preferência global, podemos obter um conjunto de pesos básicos ajustando um
modelo de regressão. Mas, os pesos derivados do modelo de regressão não
precisam ser aplicados uniformemente a todas as opções. Eles podem ser, por
exemplo, combinados com pesos a priori associados a diferentes tipos de vetores
de preferências.
Podemos fazer variar a importância dos critérios em outras sistemáticas. Se
agregarmos através da probabilidade de ocupar o posto de maior preferência
segundo algum critério, podemos aplicar um expoente diferente a cada
probabilidade de não ser a opção preferida. Com o mesmo fim, no caso de
aplicarmos o critério de proximidade à fronteira de excelência, podemos
atribuir limites às relações entre os preços-sombra, isto é, às participações
de cada critério na medida final.
4. Aplicação ao Caso das Corridas
Esta seção apresenta os resultados de uma investigação empírica da influência
da matriz de preferências efetivamente observada sobre a estrutura de pesos dos
critérios eventualmente adotada. Os dados são das preferências dos apostadores,
em 2001, nos páreos de grandes prêmios da semana em que se realiza, no Rio de
Janeiro, o Grande Prêmio Brasil.
Destes páreos foi analisada, em conjunto e isoladamente, a relação entre a
distribuição final de apostas e as preferências fornecidas pelo handicappeur
oficial, ao listar os animais inscritos, e pelos jóqueis. A preferência segundo
os jóqueis foi determinada ordenando-os pelo número de vitórias na última
temporada hípica e ordenando os animais em concordância com o número de
vitórias do jóquei respectivo.
Estes são dois critérios importantes para os apostadores, mas, em vez de dois,
múltiplos critérios poderiam ser combinados, para tornar mais realista o
modelo. Como todas as alternativas de dados consideradas se estendem
trivialmente a mais de dois critérios, preferimos usar neste exemplo o modelo
mais simples.
Inicialmente é ajustado um modelo de regressão tendo como variáveis dependentes
os vetores de chances relativas dos competidores aos páreos escolhidos e tendo
como variáveis explicativas os vetores de preferências segundo os dois
critérios: preferência do handicappeur e preferência do jóquei. Estas
preferências são dadas, no primeiro ajuste, na forma de postos. A seguir são
dadas na forma de chances relativas de a opção ser a preferida, calculadas como
indicado na Seção 2. A hipótese a investigar é se é possível identificar pesos
mais uniformes ao explicar as chances relativas determinadas pelas apostas
efetivamente realizadas medindo as preferências através das referidas
transformações dos vetores de postos que medindo-as através desses vetores
originais de postos. A confirmação desta hipótese torna possível desenvolver
uma estratégia de cálculo dos pesos atribuídos aos critérios levando em conta
as distribuições de preferência efetivamente observadas.
Depois são investigadas formas de agregação interna anteriores à atribuição de
pesos aos critérios. É considerada inicialmente a agregação atribuindo igual
importância aos dois critérios e estabelecendo as preferências em termos de
proximidade da fronteira da excelência. Duas transformações de variáveis,
baseadas nas duas formas de agregação desenvolvidas na Seção 3.2, são
consideradas para medir a preferência nesse sentido: chance relativa de a opção
ser a preferida por algum dos dois critérios e proximidade do vetor de
preferências pela opção segundo os dois critérios da envoltória determinada
pelas opções de maior preferência.
Finalmente, outro modelo é ajustado, considerando a agregação conforme
desenvolvido na Seção 3.3, através da projeção dos vetores de postos segundo os
dois critérios sobre a direção determinada pelos postos da opção preferida pelo
critério mais importante, no caso, o do handicappeur oficial. Uma vez
determinada a norma ou o módulo desta projeção, aplica-se o mesmo procedimento
aplicado na construção do segundo modelo, de derivar da medida de preferência,
suposta sujeita a perturbações independentes com distribuição uniforme de
amplitude determinada pela distância entre as medições mais afastadas, a chance
relativa de cada opção ser a de maior preferência.
Os resultados do ajustamento dos modelos de regressão são apresentados na
Tabela_1 abaixo.
Em todas as regressões os coeficientes das variáveis explicativas são
significativos ao nível de 1%, exceto o posto segundo os jóqueis na primeira e
a chance relativa derivada do módulo da projeção na última. O coeficiente desta
última variável é negativo, assim como o do escore de proximidade da envoltória
de excelência na regressão sobre as variáveis de agregação com igual
importância para os critérios. O valor p correspondente a esta última
estimativa embora bem pequeno é, também, consideravelmente superior ao da outra
variável explicativa. Isto sugere que, entre as duas variáveis explicativas
correlacionadas empregadas, se prefira, na primeira regressão, a indicação do
handicappeur, na seguinte a chance relativa de ser preferida segundo algum
critério e, na última, a chance relativa derivada da preferência medida pela
norma da projeção.
A análise dos resíduos das quatro equações é esclarecedora. Examinando ponto a
ponto, é fácil perceber que o ajustamento melhora da primeira para a última
regressão, à medida que o modelo abre mão de ajustar precisamente o grande
número de pontos com a variável dependente próxima da origem, isto é com
pequeno volume de apostas. As predições para estes pontos nas últimas
regressões sistematicamente superestimam os valores observados. Em
contrapartida, a aproximação linear melhor para os pontos representativos de
opções de maior preferência eleva as correlações.
A regressão simples da chance relativa derivada das apostas sobre a chance
relativa derivada da norma da projeção do vetor de postos sobre o da opção
preferida pelo critério principal apresenta um R2 de 69% e estatística F igual
a 207,6. Quando a variável explicativa da regressão simples é a própria norma
da projeção, não se aplicando o cálculo da chance relativa de a opção ser a
melhor, o R2 cai para 14% e a estatística F para 14,5. O coeficiente de
correlação amostral cai de 83% para 37%.
Em resumo, encontramos forte indicação de que a transformação das ordenações de
preferência em chances relativas de a opção ser a preferida eleva a precisão
das estimativas dos coeficientes dos modelos lineares explicando as chances
relativas encontradas na distribuição das apostas. A aplicação desta
transformação a variáveis explicativas que combinam os postos, como aquelas
construídas projetando os postos sobre direções consideradas mais importantes,
também eleva a precisão do ajustamento linear. Fazendo uso desta transformação,
se consegue estabelecer sustentação para a conjectura de que o mecanismo de
agregação envolve a norma da projeção.
O uso do módulo do vetor de preferências projetadas não resulta em correlações
tão altas quanto as obtidas com a norma. Outros critérios de agregação
considerados, pela proximidade da posição de excelência segundo algum critério,
também se mostram menos aptos a explicar a preferência observada nas apostas.
A Tabela_2 abaixo apresenta as correlações páreo a páreo, entre as
probabilidades finais oferecidas pelos apostadores e cada uma das variáveis
explicativas consideradas. À medida que se avance da esquerda para a direita
nesta tabela, cada par de colunas de correlações corresponde a transformações
mais complexas. Nas duas primeiras, as preferências segundo cada critério são
dadas apenas pelos postos. Nas duas seguintes, já são dadas pelas
probabilidades de a opção ser a preferida. As variáveis das colunas seguintes
já são resultado da composição dos dois critérios usando os dois algoritmos
desenvolvidos na Seção 3.2. Finalmente, as das duas últimas são o resultado da
composição por projeção sobre a opção preferida, desenvolvida na Seção 3.3.
O total referido na primeira linha da tabela é dos sete páreos em distâncias
habituais para os quais houve ordenação pelo handicappeur. Verifica-se, nesse
total, uma correlação de 83% entre o vetor de chances relativas derivadas das
apostas e chances relativas derivadas da distribuição de probabilidades da
norma da projeção sobre a direção da opção preferida pelo critério dominante
vir a ser a maior norma. Este coeficiente de correlação não é atingido por
nenhuma outra medida de preferência que se tenha podido derivar das
classificações pelos dois critérios básicos considerados.
Os dois grandes prêmios centrais da semana, o próprio Grande Prêmio Brasil e o
Prêmio Taça Cidade Maravilhosa, realizado logo em seguida, foram analisados
separadamente porque o trabalho do handicappeur na ordenação dos concorrentes a
estes páreos é realizado conjuntamente, resultando, nesta oportunidade, na
designação de dois animais para o número 1 do Prêmio Cidade Maravilhosa e na
dúvida sobre a efetiva composição do campo de cada um desses páreos até poucas
horas antes da realização dos mesmos. Além disso, um comportamento diferente é
esperado do apostador nesses páreos em resposta às indicações do handicappeur e
à classificação dos jóqueis porque eles se realizam em distância longa, pouco
praticada, onde fatores como a experiência do jóquei e a estrutura genética do
animal podem ser, excepcionalmente, considerados de maior relevância pelo
apostador. Incluem-se no final da tabela as correlações observadas nestas duas
provas.
No Grande Prêmio Brasil, a grande favorita dos apostadores, a égua Canzone,
empinou no momento da largada, ferindo-se, e foi retirada. As apostas foram
reabertas por alguns minutos, mas, dada a superlotação do hipódromo e as
circunstâncias da retirada, muito poucas das apostas a ela dirigidas foram
redirecionadas pelos apostadores. As correlações relativas a este páreo foram,
então, calculadas mantendo Canzone entre os concorrentes e atribuindo-lhe 30%
das apostas. A norma da projeção continua produzindo uma variável explicativa
com coeficiente de correlação entre os mais altos observados.
Usando os logaritmos naturais das chances relativas, os resultados obtidos são
semelhantes, a vantagem da projeção não sendo, entretanto, tão acentuada. Esta
perda de correlação pode ser explicada por resultar da aplicação do logaritmo
um afastamento das opções de baixa probabilidade que a aleatorização dos postos
e o cálculo da chance relativa tinham aproximado. A Tabela_3 apresenta as
correlações, no conjunto dos sete páreos considerados nos totais apresentados
na primeira linha da Tabela_2, dos logaritmos das chances relativas derivadas
das apostas com as mesmas variáveis explicativas dessa Tabela, substituídas,
também, as que representam chances relativas pelos seus logaritmos naturais.
5. Conclusão
A estratégia de ordenar as opções e, em seguida, derivar as probabilidades de
cada opção ser classificada em primeiro lugar conduziu a distribuições de
probabilidades de cada opção ser finalmente escolhida mais correlacionadas com
as distribuições de apostas observadas que os vetores de postos. Esta
transformação da medida de preferência revela-se efetiva mesmo quando não se
parte dos postos, mas de uma medida de preferência resultante da projeção de
vetores de postos sobre uma direção escolhida.
Quanto à agregação de critérios, obteve-se evidência a favor do uso da norma da
projeção sobre a direção determinada pelo vetor da opção preferida segundo o
critério dominante. É interessante observar que para que esta evidência surja
faz-se necessário aplicar a transformação das variáveis explicativas em chances
relativas.
Os resultados obtidos parecem bastante claros no contexto da formação de
preferência de apostadores em corridas. Em particular, a evidência de que a
classificação prévia e a classificação dos jóqueis explicam substancialmente a
preferência final dos apostadores está fortemente estabelecida. Mecanismos de
simplificação e a influência da incerteza também foram tornados explícitos. A
extensão das idéias aqui apresentadas a outros contextos exige a suposição de
que as motivações para a escolha da melhor opção sejam semelhantes e deve ser,
por sua vez, objeto de investigação empírica.
