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BrBRCEEx0100-40421998000600008

BrBRCEEx0100-40421998000600008

variedadeBr
Country of publicationBR
colégioEx-Tech-Multi Sciences
Great areaExact-Earth Sciences
ISSN0100-4042
ano1998
Issue0006
Article number00008

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Aplicação do modelo geométrico no estudo dos efeitos glory e rainbow em colisões atômicas

INTRODUÇÃO A descrição do problema de colisão entre dois corpos pode ser feita pelo método da trajetória clássica através do formalismo de Hamilton em coordenadas esféricas do centro de massa, utilizando a distância relativa e a velocidade relativa para acompanhar a dinâmica. Um exemplo simples é a colisão elástica entre dois átomos que não possuem estrutura interna, e portanto, a energia cinética antes e após a colisão é constante, <formula/>, onde m é a massa reduzida do sistema. Neste caso a colisão entre os átomos produz uma mudança na direção da velocidade relativa <formula/>, mas não na norma <formula/>.

Em colisões atômicas o parâmetro de impacto b e o ângulo de espalhamento c são duas quantidades que caracterizam a dinâmica do processo. O parâmetro de impacto b, é definido como a distância entre o centro espalhador à uma linha paralela a velocidade inicial da partícula fictícia de massa µ. O ângulo de espalhamento c é definido como o ângulo que a mudança na direção da partícula espalhada e é um efeito das interações interatômicas presentes durante a dinâmica. As quantidade b e c estão definidas na figura_1.

A dependência do ângulo de espalhamento c com o parâmetro de impacto b apresenta algumas características importantes. Esta função possui valores positivos e negativos de c; valores de b que correspondem a um mesmo ângulo de deflexão; um valor mínimo de c , chamado ângulo de rainbow, cr; e uma trajetória com ângulo de deflexão igual a zero, mesmo quando as forças ainda estão presentes na interação, que ocorre para um parâmetro de impacto b igual ao parâmetro de glory bg.

Experimentalmente temos acesso a seção de choque diferencial, ds/dW, relacionada com a probabilidade P(c) do átomo ser espalhado em um determinado ângulo c por unidade de ângulo sólido W. Esta quantidade pode ser calculada teoricamente pela expressão1.

<formula/> (1) onde o somatório é sobre todas as trajetórias que contribuem para um mesmo ângulo de espalhamento c. Como podemos ver na equação acima, a função deflexãoc (b) é suficiente para o cálculo de ds/dW. A seção de choque é definida para valores de c de 0 à p, uma vez que ângulos negativos e positivos são indistinguíveis no laboratório.

Determinadas características da função deflexão causam singularidades na seção de choque diferencial. O efeito glory causa uma singularidade porque senc = 0 quando c = 0. A outra singularidade é devida ao efeito rainbow, e acontece porque a inclinação da função deflexão dc/db é zero, em b=br.

Como a seção de choque esta relacionada com a probabilidade P (c), as singularidades representam uma coalisão de átomos espalhados em determinado ângulo c . No caso do rainbow várias trajetórias em torno da condição inicial br são espalhadas em um determinado ângulo cr, portanto, a seção de choque diferencial apresenta uma singularidade em cr. A singularidade em c= 0 da seção de choque diferencial é devida a trajetória de glory e a todas as trajetórias com parâmetro de impacto b > bmax que contribuem para o ângulo de espalhamento c = 0, onde bmax é o valor de bpara o qual o ângulo de espalhamento seja aproximadamente zero.

O estudo sistemático da estrutura da seção de choque diferencial e total é um dos objetivos importantes para os cientistas que trabalham em dinâmica atômica e molecular. Informações essenciais destas estruturas podem ser obtidas se estudarmos a influência dos efeitos glory e rainbow nas seções de choque diferencial e total. Por exemplo, como discutimos, a singularidade na seção de choque ocorre no ângulo de rainbow2. Apesar do efeito glory ocorrer para ângulos pequenos, que é uma região de pouco interesse, tanto teórico como experimental, a importância do efeito glory aparece quando tentamos explicar as oscilações na seção de choque total. A freqüência destas oscilações está relacionada com a derivada dc/db em b = bg. O número de estados ligados que esta molécula (resultante da combinação dos átomos em colisão) teria, está também relacionada com a derivada acima. Um outro ponto importante sobre o efeito glory é que a derivada acima serve de base também para a aproximação da fase estacionária. Para referências genéricas sobre este assunto o leitor deve consultar a referência 2. A análise do efeito rainbow em estruturas complexas, aparece, por exemplo, na referência 3. A análise do efeito glory, no contexto da fase estacionária aparece na referência 4.

No estudo teórico do espalhamento atômico pode-se utilizar diversos modelos na descrição dos fenômenos envolvidos e no cálculo da seção de choque. Um deles é o modelo geométrico5,6, que é uma imagem adequada e um caminho simples para o entendimento das principais características do espalhamento atômico como o efeito rainbow e glory. Este modelo requer somente o conhecimento de geometria elementar, substituindo a necessidade de se conhecer métodos numéricos para solução de sistemas de equações diferenciais acopladas, de integrais impróprias e técnicas para o cálculo de raízes.

Neste trabalho iremos aplicar o modelo geométrico ao espalhamento atômico para a análise do efeito glory e rainbow e determinar analiticamente a trajetória de rainbow, cr(E) e br(E), e a trajetória de glory, bg(E).

MODELO GEOMÉTRICO O modelo geométrico, para o caso atômico, basea-se em dividir o espaço de colisão em diversos sub-espaços ei que são esferas concêntricas de raio Rmax- ih, onde Rmax é o valor máximo para a coordenada de espalhamento, h o tamanho de cada setor e i um indexador. Assim uma partícula em um determinado setor i possui momento constante dado por size="2" align="bottom">, onde a energia de colisão. Portanto a partícula ao passar de um sub-espaço elpara ek muda sua quantidade de movimento e ela o faz sofrendo uma refração de forma a conservar o momento. Então a partir da conservação do momento e considerações geométricas para substituir o cálculo do ponto de retorno clássico, Rc, podemos encontrar o ângulo de espalhamento c, equação (11) da referência 6.

<formula/> (2) onde aiebi são respectivamente o ângulo de incidência e refração no setor i, e n é o número total de setores. Com esta equação acumulamos a mudança da direção ao longo da trajetória, assim a trajetória contínua de uma partícula de massa reduzida composta de n segmentos de trajetórias descontínuas na fronteira de cada setor i.

Este modelo foi comparado na referência 6 ao resultado obtido pela quadratura de Gauss-Mehler7 da integral imprópria do ângulo de espalhamento1.

<formula/> (3) com o cálculo do ponto de retorno clássico feito pelo procedimento de Newton- Raphson8. O modelo foi considerado quantitativamente apropriado para um mínimo de 10.000 seções, com um erro de ~0,5%. Maiores detalhes desta comparação são apresentados na referência citada.

APLICAÇÃO NA ANÁLISE DO EFEITO GLORY No espalhamento atômico existe uma situação em que o efeito das forças atrativas é igual ao efeito das forças repulsivas, neste caso o ângulo de espalhamento é zero, e esta trajetória, em particular, é conhecida como trajetória do glory. Portanto o parâmetro de impacto do glory, bg, é importante porque delimita as regiões das trajetórias repulsivas c> 0, da região das trajetórias atrativas c< 0.

Na dedução das condições analíticas do rainbow e glory pelo modelo geométrico utilizaremos o potencial degrau abaixo como exemplo <formula/> (4) com isto estamos dividindo o espaço de colisão em dois setores i=1 e i=2, conforme ilustrado na figura_1.

O ângulo de espalhamento c é dado pela equação 2 e portanto, a condição do glory, c = 0, é dada no modelo geométrico por, <formula/> (5) No caso simples de dois setores, sendo um de diâmetro R0, e outro de diâmetro R1,teremos a1 + a2 = b1 + b2. Conforme discutido na referência 6 bn = p/2, que é a condição que define o ponto de retorno clássico no modelo geométrico, e portanto <formula/> (6) O parâmetro de impacto que satisfaz a condição acima é o parâmetro de impacto do glory, bg. Devemos portanto determinar a1, a2 eb1.

Conforme podemos observar na figura_1 o ângulo de incidência no primeiro setor, a1,é dado por <formula/> (7) e neste caso Rmax = R1. No primeiro setor a energia cinética do átomo é [/img/ fbpe/qn/v21n6/2902si7.gif], e no segundo setor [/img/fbpe/qn/v21n6/ 2902si8.gif], portanto, usando a conservação do momento podemos obter o ângulo de refração no primeiro setor, b1dado por <formula/> (8) O ângulo de incidência no segundo setor, a2, é dado por <formula/> (9) onde Rc = R0.Esta equação é obtida através de considerações geométricas discutidas na referência 6. Finalmente depois de um rearranjo, substituindo a equação 7 na equação 8 e o resultado na equação 9, obtemos <formula/> (10) Como os ângulos a1 e b1 dependem inversamente da coordenada de espalhamento podemos fazê-los tão pequenos quanto desejado e consequentemente podem ser desprezados numa primeira aproximação. Para altas energias, além deles serem pequenos, estes ângulos serão também aproximadamente iguais, o que pode ser visto pela equação (8). Portanto a equação (6) pode ser escrita aproximadamente como <formula/> (11) Rearranjando esta equação obtemos a trajetória de glory bg = Rc (1+De / E)1/2, (12) uma aproximação que deve ser melhor para altas energias.

A expressão analítica encontrada para a trajetória de glory mostra que o parâmetro do glory é dependente do potencial de interação interatômico, neste caso é função da energia de dissociação De e do parâmetro R0 do potencial degrau utilizado. No limite de altas energias o parâmetro de impacto de glory é aproximadamente o ponto de retorno clássico, ou seja, a trajetória é praticamente retilínea.

O resultado da equação 12 é comparado na figura_2 ao valor obtido pelo método da trajetória clássica utilizando-se o método de Runge-Kutta de 4ªordem com passo fixo8 para integração das equações acopladas. A correção do ângulo de espalhamento é dada pela solução analítica da integral 3 de Rmax à ¥. Os cálculos foram feitos para o sistema H2, descrito pelo potencial de Morse

V(R) = De(1-e-am(R-Re) )2 -De (13) , com parâmetros De= 4,747eV, am= 1,945 Å-1 e Re= 0,7414Å9.O método de Newton- Raphson8foi usado para encontrar o ponto de retorno clássico.

Podemos observar na figura_2 que o modelo geométrico descreve corretamente o resultado obtido por trajetória clássica e que o resultado de ambos os métodos se aproximam quantitativamente para altas energias.

APLICAÇÃO NA ANÁLISE DO EFEITO RAINBOW O efeito rainbow corresponde a uma coalisão de trajetórias no ângulo de deflexão máximo. O ângulo de rainbow divide a região em que a mecânica clássica poderá ser usada com maior segurança. Na dependência de c x b a situação física fica mais clara, podemos observar que para valores de c < crexistem três trajetórias (b0, b1e b2)que contribuem para o mesmo ângulo de espalhamento c, acima deste valor a correspondência entre c e unívoca. Se usarmos uma expressão mais elaborada (semi-clássica) para a intensidade do feixe de partícula espalhada, veremos que devido a correspondência entre vários parâmetros de impacto com o mesmo ângulo de espalhamento teremos um fenômeno conhecido como interferência, fenômeno este não clássico2.

A condição de rainbow é dada formalmente por <formula/> (14) e através da equação (2) podemos encontrar uma condição equivalente no modelo geométrico <formula/> (15) Conforme fizemos na dedução do efeito glory, também, para a dedução do efeito rainbow, dividiremos o espaço de colisão em dois setores (ver figura_3).

Geometricamente podemos observar que o efeito rainbow ocorre quando o ângulo de incidência em cada setor i é p/2 e como discutimos bn também é igual a p/2.

Assim, considerando apenas dois setores, o ângulo de rainbow é dado por <formula/> (16)

Usando as equações (7) e (8), com a1= p/2, obtemos <formula/> (17) Substituindo a equação acima na equação (16) obtemos <formula/> (18) e através de um rearranjo simples obtemos a expressão para a trajetória do rainbow sec2(cr / 2) = 1 + De / E. (19) No modelo geométrico, o parâmetro de impacto para a trajetória de rainbow é R1, tal que, a1=p/2, portanto, br(E) = R1. Esta expressão mostra que a trajetória de rainbow depende do parâmetro De e R1 do potencial degrau utilizado. No limite de altas energias o ângulo de rainbow é aproximadamente zero, i.e., as trajetórias são todas praticamente retilíneas.

A figura_4 apresenta o resultado da sec2(cr/2) em função da energia, comparado ao resultado obtido pela trajetória clássica para o sistema H2. Podemos observar uma excelente concordância dos resultados para altas energias.

UNIVERSALIDADE DO MODELO GEOMÉTRICO O conceito de universalidade é bastante comum em termodinâmica. O segundo coeficiente do virial pode, por exemplo, ser escrito na forma universal para potenciais conformais10, i.e., potenciais da forma V(R) = Deƒ(R /s). (20) como é o caso do potencial (4) utilizado na discussão do efeito glory e rainbow. Neste item iremos mostrar que o ângulo de espalhamento c também é uma quantidade universal para esta classe de potenciais. Esta universalidade é facilmente mostrada substituindo o potencial acima na equação (3), para obter11.

<formula/> (21) onde b* = b/s, = Rc/s, R*=R/seE* = E/De.Como podemos observar c*depende somente das quantidades reduzidas b* e E* e é, portanto, universal nestas variáveis.

Este resultado mostra que também as quantidades bg* e br* são universais. Em particular, no caso do potencial degrau utilizado, equação (4), s = R0= Rc.

O estudo da trajetória de rainbow e glory, pelo modelo geométrico, mostra de maneira muito simples a universalidade de c* e para classe de potencias degraus. Analisando o resultado analítico obtido para a trajetória de glory pelo modelo geométrico, equação (12), podemos observar que as quantidades reduzidas bg/Rc e E/De aparecem nesta expressão e que portanto podemos escrevê- la de maneira universal como <formula/> (22) Isto significa que para esta classe de potenciais, o parâmetro de glory, bg(E), para um dado sistema de energia de dissociação De é dado por Rcb*(E* ) tal que E*=E/De. Este resultado aproximado da equação (22), para duas seções, sugere uma série perturbativa para a trajetória de glory apresentada abaixo em sua forma universal <formula/> (23) A quantidade reduzida E/De também pode ser identificada na expressão analítica para a trajetória de rainbow, portanto, também podemos escrevê-la de maneira universal como <formula/> (24) De fato, como provamos na equação (21), o ângulo de rainbow é universal para a classe de potenciais conformais, e isto é visto de maneira muito simples pelo modelo geométrico. Este resultado também sugere, de maneira similar ao caso do efeito glory, uma série perturbativa em 1/E*, dada por <formula/> (25) O modelo geométrico mostra que esta série é adequada para descrever a trajetória de rainbow e tem significado físico.

Para ilustrar a universalidade sugerida pelo modelo geométrico, isto é, pelas equações (23) e (25) acima, é conveniente não trabalharmos com o potencial de Morse. Uma análise deste potencial nos mostra que <formula/> (26) onde vemos que <formula/> e [/img/fbpe/qn/v21n6/ 2902si10.gif] serão universais somente quando aRe for constante. Como esta restrição não possui significado físico e os sistemas a serem analisados teriam de ser artificiais, foi adequado trabalharmos com o potencial de Lennard-Jones <formula/> (27) que pertence à classe de potenciais conformais. Os sistemas He2, Ne2, Ar2 e Xe2, com parâmetros s e De retirados da referência [12], serão usados para ilustrar a universalidade.

A universalidade para <formula/>, sugerida pelo modelo geométrico, esta ilustrada na figura_5 para a série de moléculas diatômicas acima. Os coeficientes, cn, da série apresentada na equação (25) são universais, e para a classe de potencial de Lennard-Jones, com um ajuste de grau 6 obtém-se uma boa correlação na faixa de 0.1 £ E* £ 0,8. Os coeficientes neste caso são: c0 = 1,156, c1= -3,598, c2= 32,235, c3= -132,787, c4= 302,370, c5= -349,863 e c6= 168,424. Esta curva não pode ser extrapolada além do limite de 1/E*=1,25, limite este de ocorrência do efeito rainbow nos potenciais de Lennard-Jones11. Uma análise semelhante foi feita para o efeito glory utilizando a equação (23). Um ajuste de grau 2 fornece uma excelente correlação para a faixa de 0,1 £E*£ 1,5. Neste caso os coeficientes são c0= 1,009, c1= 0,731, c2= -0,134.

CONCLUSÃO O modelo geométrico, desenvolvido anteriormente5,6, foi aplicado no presente trabalho para elucidar a estrutura do glory e do rainbow no espalhamento atômico. Este modelo é simples e esclarecedor da natureza física destes efeitos. A correta dependência das trajetórias do rainbow e glory são influenciadas pelo potencial de interação e esta dependência fica clara quando o modelo geométrico é usado. As expressões são universais para a classe de potenciais conformais e dependentes da quantidade reduzida De/E.

O modelo geométrico sugere uma série perturbativa em De/E para as trajetórias de rainbow e glory, os coeficientes desta série são universais para a classe de potencial que foram determinados. Portanto, para qualquer sistema descrito por um potencial desta classe, <formula/>, tal que, E* = De / E e b* = b / Rc.

A universalidade da função f* (equação (25)), para a classe de potenciais conformais, pode ser utilizada para estimar o valor de De a partir de dados experimentais. Se o valor de cré determinado experimentalmente, para uma determinada energia E, teremos sec2(cr/2) = f*(1/E*), e portanto, (1/E*) = De/ E ou De= E(1/E*). Este modelo nos possibilita então, a inversão de dados experimentais.


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