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Um panorama da lógica deôntica

Noções introdutórias Lógica é a disciplina que investiga os princípios da argumentação válida. Em particular, a lógica deôntica estuda a validade de argumentos nos quais frases regidas por expressões como É obrigatório que..., É permitido que...

desempenham papel relevante. A primeira dessas expressões pode ser representada pela letra maiúscula O (operador de obrigação), sendo que a segunda é simbolizada por P (operador de permissão). Por exemplo, se p for a frase Impostos são pagos, Op e Pp devem ser lidas, respectivamente, das seguintes maneiras: É obrigatório que impostos sejam pagos, É permitido que impostos sejam pagos. A lógica deôntica recebe o seu nome da palavra grega déon (necessidade, o que é preciso). Em resumo, essa lógica pode ser entendida como a lógica das normas, no sentido do que seja obrigatório ou permitido.

Existe um conjunto de sistemas chamados de lógicas intensionais (com "s"), cujas linguagens, em geral, envolvem semânticas que fazem uso da noção de mundo possível. O mundo real é um mundo possível. Variações do repertório presente na realidade também são mundos possíveis, de modo que uma situação na qual Hamburgo seja a capital da Alemanha, por exemplo, embora não seja real, é parte de um mundo possível. Igualmente possível é um mundo no qual ainda existam dinossauros. A lógica deôntica pode ser vista como um sistema intensional que exige formas específicas de semânticas dos mundos possíveis.

O mais importante dentre os sistemas intensionais é a lógica modal, que se interessa por argumentos nos quais frases regidas por expressões como É necessário que..., É possível que... tenham função crucial. Seja L o operador modal que representa É necessário que... e seja a expressão É possível que...

simbolizada por M. Se q significa que 2 + 2 = 4, então Lq e Mq devem ser lidas como É necessário que 2 + 2 = 4 e É possível que 2 + 2 = 4, respectivamente. Se a frase Lq for verdadeira, então q deve ser verdadeira em todos os mundos possíveis. Portanto, como a fórmula 2 + 2 = 4 jamais é falsa, L(2 + 2 = 4) é uma frase verdadeira. Por sua vez, Mq será uma frase verdadeira se q for verdadeira em ao menos um mundo possível. Nesses termos, visto que a frase A malária está erradicada talvez venha a ser verdade, algum dia, a asserção M(A malária está erradicada) é uma frase verdadeira.

A lógica modal é uma extensão da lógica elementar, de modo que nela são empregados os conhecidos operadores lógicos: ~ (não), & (e),∨(ou),⊃(se..., então...),≡(...se, e somente se,...),∀(para todo),∃(existe ao menos um). Nesse contexto, o assim chamado operador de necessidade (L) pode ser tomado como primitivo, definindo-se a partir dele o operador de possibilidade (M). Se p for uma frase, Mp, por definição, será o mesmo que ~L~p. Por exemplo, a frase É possível que chova diz o mesmo que Não é necessário que não chova. Por outro lado, o operador M pode ser aceito como primitivo, definindo-se, então, o operador L: Lp, por definição, diz o mesmo que ~M~p. Por exemplo, a frase É necessário que 2 + 2 = 4 equivale à asserção Não é possível que 2 + 2≠4.

Os operadores modais L e M são chamados aléticos, enquanto que O e P são os operadores deônticos. A semelhança entre eles é notável, na medida em que as relações entre L e M são paralelas às conexões existentes entre O e P. Com efeito, se O for tomado como primitivo, P é introduzido da seguinte maneira: Pp, por definição, é o mesmo que ~O~p. Se P for primitivo, O é definido correspondentemente: Op, por definição, é o mesmo que ~P~p. Portanto, afirmar que é permitido o consumo de bebidas alcoólicas, num certo ambiente, equivale a dizer que ali não é obrigatório que não se tomem tais bebidas. Por outro lado, afirmar que o pagamento de impostos é obrigatório é o mesmo que dizer que não é permitido não pagar impostos.

Aparentemente, a semelhança entre operadores L e M, de um lado, e O e P, de outro, sugere que a lógica deôntica seja uma variação irrelevante da lógica modal. Não obstante, essa conclusão seria enganosa. Num sistema modal elementar chamado T, a fórmula Lp⊃p é válida. Ora, tal fórmula diz tão-somente que, se a frase p for necessária, então p será verdadeira (se é necessário que 2 + 2 = 4, então é verdade que 2 + 2 = 4). Nesse mesmo sistema T, demonstra-se que, se p for verdadeira, então p é possível, ou seja, p⊃Mp (se é verdade que esteja chovendo, então é possível que esteja chovendo). Na lógica deôntica, existem princípios correspondentes a essas frases modais? A resposta a essa pergunta é negativa, pois a lógica deôntica deve capturar as idéias básicas relativas a obrigações e permissões. Sabidamente, nem sempre as obrigações são cumpridas, de modo que os sistemas normativos, de alguma forma, têm de admitir um Princípio de Precariedade (De Greef, 2003). Logo, na lógica deôntica, não pode valer a frase Op⊃p, pois esta afirma que o que é obrigatório é verdadeiro, ou seja, que a norma é sempre cumprida. Nesse tipo de lógica, tampouco pode valer a frase p⊃Pp, porquanto, segundo esta, o que é verdadeiro é permitido. Ora, se p é a frase Caim matou Abel, então p é verdadeira, mas daí não se infere que matar Abel tenha sido permitido a Caim.

As primeiras reflexões sobre lógica deôntica remontam ao século XIV (Knuuttila, 1981). Em 1926, já sob o impacto da lógica matemática, o austríaco Ernst Mally escreveu um minucioso livro pioneiro sobre a lógica do dever (Mally, 1926).

Entre 1937 e 1939, Jørgen Jørgensen, Karl Menger, Albert Hofstadter e J. C. C.

McKinsey também escreveram textos nessa área. Porém, por várias razões, todos esses estudos das décadas de 20 e 30 tinham insuficiências importantes (Føllesdal; Hilpinen, 1971). Em 1951, o finlandês Georg Henrik von Wright publicou o artigo "Deontic Logic", também pioneiro e ainda insatisfatório, mas que veio a desempenhar um papel seminal, pelo avanço que representou relativamente aos seus antecessores (von Wright, 1951). Esse artigo de von Wright foi debatido e aperfeiçoado por vários lógicos, daí resultando o assim chamado sistema-padrão, que pode ser considerado como maduro e logicamente plausível (Føllesdal; Hilpinen, 1971).

O sistema-padrão Seja o operador de obrigação (O) tomado como primitivo. Com o seu auxílio, os três axiomas do sistema-padrão podem ser formulados, da seguinte maneira: A1. Op⊃~O~p A2. O(p & q)≡(Op & Oq) A3. O(p∨~p) Como P, por definição, equivale a ~O~, o axioma A1 diz o mesmo que a fórmula Op⊃Pp. Ora, esta última é o Princípio de Permissão ou Princípio da Consistência Deôntica, segundo o qual tudo o que é obrigatório é também permitido (se é obrigatório pagar impostos, então é permitido pagá-los). Consoante o axioma A2, se a conjunção das frases p e q expressa obrigações, então tanto p quanto q, tomadas singularmente, também expressam obrigações (se é obrigatório declarar lucros e pagar impostos, então é obrigatório declarar lucros e é obrigatório pagar impostos). Por sua vez, o axioma A3 estabelece a obrigatoriedade do Princípio de Terceiro Excluído (é obrigatório que impostos sejam pagos ou que não sejam pagos).

As regras de inferência do sistema-padrão são as seguintes: Regra da substituição de variáveis proposicionais: O resultado da substituição uniforme de uma variável proposicional por uma fórmula, num teorema, também é um teorema.

Regra do modus ponens: Se p e p⊃q forem teoremas, então q também o será.

Regra da extensionalidade deôntica: Se p e q forem frases equivalentes, então Pp e Pq também o serão.

Se a letra F representa a expressão É proibido que..., então a frase Fp (é proibido que p) pode ser introduzida, por definição, como sendo equivalente a ~Pp ou a O~p. Nesses termos, se for proibido que Caim mate Abel, então não é permitido que Caim mate Abel, assim como é obrigatório que Caim não mate Abel.

A partir dos axiomas e regras do sistema-padrão, os seguintes teoremas podem ser derivados, dentre outros: * ~(Op & O~p) Segundo essa frase, não é o caso que tanto p quanto ~p sejam obrigatórios, vale dizer, não há obrigações mutuamente contraditórias.

* [(Op⊃Oq) & Op]⊃Oq Se a eventual obrigatoriedade de uma frase implica a obrigatoriedade de uma outra e se a primeira é obrigatória, então a segunda também o é. (Se a frase É obrigatório que lucros sejam declarados implica É obrigatório que impostos sejam pagos e se, realmente, aquela primeira for verdadeira, então esta última também o será.) Este é o modus ponens deôntico.

* [(Op⊃Oq) & Pp]⊃Pq Se a eventual obrigatoriedade de uma frase implica a obrigatoriedade de uma outra e se a primeira for permissível, então a segunda também o será. (Se a frase É obrigatório que lucros sejam declarados implicar É obrigatório que impostos sejam pagos, e se a frase Lucros são declarados expressar algo permissível, então Impostos são pagos também expressará algo permissível.) * ~[O(p∨q) & (Fp & Fq)] Conforme esse teorema, não pode ocorrer que uma disjunção seja obrigatória e os seus membros sejam ambos proibidos. Tomás de Aquino concorda com essa tese e diz que um homem está perplexus simpliciter se, aparentemente, ele estiver obrigado a fazer coisas proibidas. Numa situação assim, ou não há verdadeira obrigação, ou não há ao menos uma dentre as proibições.

* {O[p⊃(q Ú r)] & (Fq & Fr)}⊃Fp Esse teorema pode ser entendido da seguinte maneira: se for obrigatória uma implicação, cujo conseqüente seja constituído por frases proibidas, então, o respectivo antecedente também será proibido. Em outras palavras: se alguém chegar a uma situação na qual tenha de fazer algo errado, então ele terá cometido um erro, ao início de tudo. Sob tais circunstâncias, segundo Tomás de Aquino, o agente está perplexus secundum quid. O motorista que entrar numa rua proibida pode ser obrigado a retornar em marcha à ré, o que não é permitido.

Porém, antes de cometer esse segundo erro, ele cometeu um primeiro, ao entrar numa rua que lhe estava fechada (von Wright, 1951, p. 14; Tomás de Aquino, 1980, Suma Teológica, IaIIae, q. 19. art. 6).

* Op⊃O(p∨q) A propósito deste teorema, Alf Ross obtemperou o seguinte: se p representar o estado de coisas no qual se põe uma carta no correio e q a situação de se queimar essa carta, então, caso seja obrigatório pôr uma carta no correio, será também obrigatório que se a ponha no correio ou que se a queime? Em outras palavras, quem receber a ordem de pôr uma carta no correio poderá escolher entre remetê-la ou queimá-la (Ross, 1941)? Esse é o assim chamado paradoxo de Ross que, entretanto, não faz jus a tal denominação. Na verdade, a obrigação de realizar p ou q vem antecedida pela obrigação de realizar p, de modo que não existe a possibilidade de escolha entre pôr a carta no correio ou queimá-la (Ziemba, 1981, p. 99).

* Fp⊃O(p⊃q) Esse é o teorema da obrigação derivada (derived obligation), segundo o qual se um agente faz algo proibido p, então, obrigatoriamente, o que ele fez gera uma obrigação q. (Se alguém causa um acidente, está sujeito às conseqüências.) * ~p⊃(p⊃Oq) Esse é o teorema do compromisso (commitment). Essa frase não é intuitiva, pois afirma que se p não for verdadeira, então p implica qualquer obrigação q. (Se é falso que João tenha causado um acidente, então, se João causou esse acidente, ele está sujeito a qualquer obrigação q.) * Fp⊃F(p & q) Esse é o teorema do bom samaritano. Se o estado de coisas descrito na frase p é proibido, então é também proibido o estado de coisas descrito em p & q. (Se for proibido roubar o dinheiro de alguém, então é proibido roubá-lo e gastá- lo.) Há quem entenda que o teorema do bom samaritano seja paradoxal. Considere-se, a propósito, a seguinte situação: um viajante é atacado e roubado por um ladrão, que o deixa sangrando, à beira do caminho. Em alguns instantes, porém, o ladrão lembra-se do samaritano citado no Evangelho, arrepende-se, retorna e socorre a sua vítima. Mas, segundo o teorema ora em pauta, se é proibido ao ladrão atacar a vítima (p), é-lhe também proibido atacá-la (p) e socorrê-la (q). Nesses termos, o teorema do bom samaritano daria origem a um paradoxo do bom samaritano, pois a boa ação descrita na frase q seria proibida, quando viesse a ocorrer num contexto mais amplo de proibição.

Na verdade, esta versão do paradoxo do bom samaritano é apenas aparente. Por definição, o teorema Fp⊃F(p & q) equivale a O~p⊃O~(p & q). Consoante uma das leis de De Morgan, esta última frase equivale a O~p⊃O(~p∨~q). Ora, com isso o paradoxo desaparece, pois o teorema em pauta diz apenas que, se é obrigatório evitar-se a situação descrita em p, então, obrigatoriamente, o que está descrito em p e/ou em q deve ser evitado. (Forrester (1996, p. 144) apresenta uma versão mais forte do paradoxo do bom samaritano.)

A semântica dos mundos deonticamente perfeitos A linguagem do sistema-padrão carece de um tipo especial de semântica dos mundos possíveis, conhecida como semântica dos mundos deonticamente perfeitos, que se desenvolveu, sobretudo, a partir de trabalhos de Stig Kanger 1971[1957], Saul Kripke (1963a, 1963b) e Jaakko Hintikka (1957, 1970).

A tarefa fundamental da semântica dos mundos possíveis é estabelecer as condições sob as quais frases dos tipos Op e Pp são verdadeiras ou falsas, assim como definir as noções de consistência e de conseqüência, no contexto de uma linguagem deôntica. Isso é feito em etapas. Em primeiro lugar, caracteriza- se uma condição mínima C, que define o que seja um conjunto consistente de frases deônticas. Seja A um conjunto que contenha n obrigações e uma permissão: A = {Op1, Op2,..., Opn, Pq}. A condição C estabelece que se {Op1, Op2,..., Opn, Pq} for consistente, então {p1, p2,..., pn, q} também deve ser consistente. Em outras palavras, um conjunto de frases que contenha n obrigações e uma permissão será consistente se, e somente se, a realização do que é permitido (isto é, q) for compatível com a realização daquilo que é obrigatório (isto é, p1, p2,..., pn). Se for permitido fumar, então isso poderá ser feito sem que o respectivo agente venha a ferir qualquer lei.

Em seguida, é introduzido o conceito de mundos deonticamente alternativos, com respeito ao mundo real. Suponhamos que m0 seja o mundo real, no qual estão consistentemente estabelecidas as obrigações Op1, Op2,..., Opn e a permissão Pq. O mundo possível m1 será uma alternativa deôntica a m0 se, e somente se, em m1, as obrigações descritas nas frases p1, p2,..., pn e a permissão expressa pela frase q são realizadas, também consistentemente. Em outras palavras, no mundo m1, as obrigações vigentes em m0 são cumpridas e ao menos uma permissão de m0 é realizada. Nesse caso, m1 será um mundo deonticamente perfeito, com respeito a m0.

Com o auxílio desses conceitos, nós podemos estabelecer as condições de verdade de frases como Op e Pp. Op é uma frase verdadeira, em m0, se, e somente se, p for verdadeira em todos os mundos deonticamente perfeitos, relativamente a m0.

Pp é uma frase verdadeira, em m0, se, e somente se, p for verdadeira em ao menos um mundo deonticamente perfeito, relativamente a m0.

Quando um legislador apresenta um projeto de lei, ele lança mão dos conceitos ora definidos, na medida em que tenta provar que haveria progresso se as obrigações ali propostas fossem, de fato, realizadas. Se ele propõe uma permissão, deve mostrar que esta nada envolve de ilegal. Esses modos de falar recorrem a idealizações que são mundos deonticamente perfeitos.

Quantos mundos deonticamente perfeitos existem? Com certeza, não será apenas um. Se p significar Alguém fuma, então Pp afirmará que é permitido fumar e P~p que é permitido não fumar. Ora, como essas frases são ambas verdadeiras, no mundo real, devem existir pelo menos dois mundos deonticamente perfeitos, sendo que no primeiro se fuma e no segundo não.

O Princípio de Precariedade atesta que, no mundo real m0, há normas não- cumpridas. Logo, m0 não é um mundo deonticamente perfeito, com respeito a si mesmo. Isso torna claro por que frases como Op⊃p e p⊃Pp podem ser falsas, no contexto da presente semântica. Com efeito, em m0, a frase Op pode ser verdadeira, embora p seja falsa, ou seja, nesse mundo, uma obrigação pode existir, mesmo sem ser observada. Por outro lado, em m0, p pode ser verdadeira e Pp falsa, de modo que p⊃Pp será falsa.

Na semântica dos mundos deonticamente perfeitos, conceitos usuais como verdade lógica, conseqüência, etc. são definidos sem maiores dificuldades. No contexto dessa semântica, prova-se que o sistema-padrão é correto (sound), consistente e completo. Sendo ele correto, todos os seus teoremas são frases verdadeiras, sob quaisquer circunstâncias. Sendo ele consistente, o conjunto dos seus teoremas é isento de contradições. Sendo ele completo, todas as frases que forem verdadeiras sob quaisquer circunstâncias são também teoremas.

Sob um ponto de vista histórico, mundos deonticamente perfeitos são aparentados com o império das finalidades, um conceito introduzido por Kant, em 1785: Pois entes racionais estão sujeitos à lei segundo a qual cada um deve tratar a si mesmo e a todos os outros jamais como simples meio, mas sempre também como finalidade em si mesma. A partir daí, porém, emerge uma relação sistemática entre entes racionais, através de leis comunitárias objetivas, isto é, um império que pode ser chamado de império das finalidades (obviamente, ideal), pois essas leis têm como intenção as relações entre tais entes, como finalidades e meios.

É próprio de um ente racional, como membro do império das finalidades, se ele é ali legislador geral, que esteja também submetido à mesma lei. (Kant, 1968[1785], parte II, p. 433) Esta idéia de um império das finalidades foi o instrumento teórico através do qual Kant conseguiu caracterizar as relações morais entre seres dotados de razão, partindo do princípio de que tais seres jamais serão tratados tão- somente como meios, mas sempre como fins. É interessante observar que Kant enfatizou a impossibilidade de qualquer imperfeição, no quadro de relações assim caracterizadas, pois ali nunca se agirá contra a finalidade moral autônoma (ibidem, p. 437).

Em resumo, a semântica dos mundos perfeitos toma o conjunto dos mundos possíveis e subdivide-o em duas classes, sendo que um mundo m0 é o ponto de referência de tal subdivisão. De um lado, ficam os mundos perfeitos relativamente a m0; de outro, ficam os mundos não-perfeitos, entre os quais está m0. Essa subdivisão é plausível, na medida em que os mundos possíveis podem incluir ações humanas, aceitáveis ou não. Os mundos que abrigarem apenas ações aceitáveis relativamente às normas vigentes em m0 serão perfeitos, sendo não-perfeitos todos os restantes. As obrigações ideais (ou prima facie) de um indivíduo podem ser satisfatoriamente caracterizadas, com o auxílio da idéia de mundos deonticamente perfeitos (Hilpinen, 2001, p. 163 e 172).

Vale a pena enfatizar que, se a frase modal-alética Lp for verdadeira, então p será verdadeira em todos os mundos possíveis, sem exceção. Por outro lado, se a frase deôntica Op for verdadeira, p será verdadeira tão-somente em todos os mundos deonticamente perfeitos. É fácil confundir as condições de verdade desses dois tipos de frases, mesmo porque a própria expressão déon significa o que é necessário e o que é preciso.

Paradoxos deônticos A tese segundo a qual existiria um conjunto x, tal que xЄx & x∉x é o célebre paradoxo de Russell, que evidenciou a inadequação do sistema construído por Frege para fundamentar a aritmética. Esse paradoxo é uma contradição, cuja demonstrabilidade no referido sistema mostra que há ali algo de errado, no que diz respeito à noção de pertença (Є).

Visto que o sistema-padrão é correto e consistente, nele nenhuma contradição é teorema. Portanto, no sistema-padrão, não há paradoxos como o de Russell.

Entretanto, nesse sistema surgem dificuldades importantes que, numa acepção bem mais fraca, são chamadas de paradoxos deônticos.

No seu ensaio de 1951, p. 4, von Wright define o conceito de compromisso da seguinte maneira: O(p⊃q). Nesses termos, se p significar João assinou o contrato e q for a frase Ele cumpre as respectivas cláusulas, então, segundo von Wright, O(p⊃q) declara que, em assinando o contrato, João está comprometido com o cumprimento das respectivas cláusulas.

O assim chamado paradoxo da obrigação derivada (paradox of derived obligation) diz respeito a essa definição. Se a expressão O(p⊃q) define compromisso, o teorema da obrigação derivada, Fp⊃O(p⊃q), afirma que quem executa uma ação proibida, descrita na frase p, está obrigado a qualquer coisa descrita em q.

Ora, isso é inaceitável, em termos deonticamente intuitivos, pois quem pára o seu carro num lugar proibido nem por isso está sujeito a qualquer tipo de punição.

Em 1962, Prior apresenta uma outra definição de compromisso, nos seguintes termos: p⊃Oq (Prior, 1962, p. 224-225, apud Føllesdal; Hilpinen, 1971, p. 24).

Nos termos do exemplo anterior, ao assinar o contrato, João compromete-se com o cumprimento das respectivas cláusulas.

O teorema do compromisso, ~p⊃(p⊃Oq), mostra que a definição de Prior também é problemática. Se p⊃Oq for a definição de compromisso, o teorema diz que aquilo que não acontece (~p) obriga-nos a qualquer coisa (q). Esse resultado inaceitável é o paradoxo do compromisso (paradox of commitment).

Em 1963, R. M. Chisholm formulou um novo paradoxo, que envolve aquilo que se chama de obrigações reparadoras (contrary-to-duty imperatives), obrigações essas que são caracterizadas quando o agente deixa de cumprir o seu dever, cabendo-lhe, então, reparar o que foi feito (Chisholm, 1963). Considere-se, por exemplo, o seguinte conjunto de frases: 1. É obrigatório que João ajude seus parentes pobres.

2. Obrigatoriamente, se João ajudar seus parentes pobres, ele dirá que os ajuda.

3. Se João não ajudar seus parentes pobres, então, obrigatoriamente, ele não dirá que os ajuda.

4. João não ajuda os seus parentes pobres.

Esta última frase é contingente e indica que João falha no cumprimento do seu dever. Mas, ao que tudo indica, esse conjunto de quatro frases da linguagem natural é consistente, embora nenhuma delas seja verdadeira sob quaisquer circunstâncias. As normas 1, 2 e 3 são plausíveis, e a frase 4 nada contém que leve a contradições. Não obstante, ao formular essas frases na linguagem do sistema-padrão, obtém-se um conjunto de fórmulas que é inconsistente. Seja p a frase João ajuda os seus parentes pobres e q a frase João diz que ajuda os seus parentes pobres. As frases 1, 2, 3 e 4 têm, respectivamente, a seguinte formalização: 5. Op 6. O(p⊃q) 7. ~p⊃O~q 8. ~p À primeira vista, parece que 5, 6, 7 e 8 traduzem 1, 2, 3 e 4. Porém, a prova de que isso não é o caso, está na contradição que se deriva de tais fórmulas, de sorte que elas formam um conjunto inconsistente. A derivação de contradições é aqui a seguinte: 9. O~q 7,8 Modus ponens 10. O(p⊃q)⊃(Op�Teorema do sistema-padrão 11. Op⊃Oq 6,10 Modus ponens 12. Oq 5,11 Modus ponens 13. Oq⊃~O~q Axioma A1, subst. p por q 14. ~O~q 12,13 Modus ponens As fórmulas 9 e 14 são mutuamente contraditórias. Além disso, outras possibilidades de formalização das frases 1, 2, 3 e 4 também conduzem a resultados insatisfatórios (Føllesdal; Hilpinen, 1971, p. 23-25).

Como observa Hansson (1971[1970], p. 132-133), as obrigações expressas nas frases 1 e 2 são diferentes da obrigação veiculada por meio de 3. Esta última é a obrigação reparadora que se caracteriza quando 1 é violada. Como o sistema- padrão é consistente, o fracasso das formalizações apenas mostra que 3 não pode ser expressa, no sistema-padrão. Em outras palavras, nesse sistema não há como expressar a obrigação reparadora, o que é uma significativa insuficiência.

Na verdade, as obrigações prima facie expressas nas frases 1 e 2 cumprem-se em todos os mundos deonticamente perfeitos. A obrigação expressa em 3, porém, diz respeito ao que o agente deva fazer, depois de não ter cumprido o seu dever, isto é, se ~p for verdadeira. Ora, o mundo no qual isto venha a ser o caso não será deonticamente perfeito. Logo, o sistema-padrão e a semântica dos mundos perfeitos expressam obrigações prima facie, mas falham em capturar a obrigação reparadora.

É interessante observar que as frases 6 e 7 expressam compromissos, respectivamente, segundo as definições de von Wright e de Prior. Nesse sentido, o paradoxo da obrigação reparadora articula os paradoxos da obrigação derivada e do compromisso.

Como os teoremas da obrigação derivada e do compromisso são demonstrados com o auxílio da frase ~p⊃(p⊃q), que é teorema da lógica proposicional comum, alguns autores sugerem o emprego de um cálculo básico que não contenha tal frase (Weingartner, 2001, p. 60 et seq.). Entretanto, essa não é a estratégia privilegiada por von Wright. Reconhecendo que o sistema-padrão é insuficiente, por não dispor de recursos para expressar o conceito de obrigação reparadora, ele lança mão da idéia de obrigação condicional. Isso o leva a formular uma lógica deôntica diádica.

A lógica deôntica diádica Numa lógica diádica, os operadores deônticos não se aplicam sobre uma única frase p, mas sim sobre expressões do tipo p/q, compostas de duas frases. A expressão O(p/q) significa que p descreve algo obrigatório, sob a condição q.

Por exemplo, se p afirma que João paga impostos e q diz que João ganha acima do limite de isenção previsto em lei, então O(p/q) estabelece que, obrigatoriamente, João paga impostos, sob a condição de ganhar acima do limite de isenção. Sendo s a frase João faz o bem e sendo t uma tautologia, como q∨~q, a expressão O(s/t) significa que João está obrigado a fazer o bem sob quaisquer circunstâncias, de vez que uma tautologia é sempre verdadeira. Nesses termos, a frase O(p/q) indica que a obrigação p se caracteriza apenas sob a condição q, enquanto que O(s/t) afirma que s é uma obrigação incondicional, pois vale sempre.

Em 1956, von Wright delineou um primeiro sistema de lógica deôntica diádica (von Wright, 1956). Em 1964, ele apresentou o seu Novo Sistema (New System), que foi corrigido, em 1965 (von Wright, 1964, 1965). O Novo Sistema, com a correção de 1965, toma a expressão O(.../...) como primitiva, sendo que os espaços em branco devem ser preenchidos por fórmulas da lógica proposicional comum. Definitoriamente, P(p/q) equivale a ~O(~p/q), sendo que a segunda ocorrência da negação, por razões sintácticas, deve dar-se imediatamente antes da variável p. F(p/q) tem a definição usual, como equivalente a ~P(p/q). Na versão modificada de Føllesdal e Hilpinen (1971, p. 27), os axiomas do Novo Sistema (corrigido) são os seguintes: B1. O(p∨~p/r) B2. ~[O(p/t) & O(~p/t)] B3. O(p & q/r)≡[O(p/r) & O(q/r)] B4. O(p/r Ú s)≡[O(p/r) & O(p/s)] O primeiro destes axiomas não consta no Novo Sistema, de 1964, sendo sugerido por Føllesdal e Hilpinen. Ele cinge-se a ditar uma obrigação tautológica p∨~p, que vale sob r ou sob qualquer outra condição. O axioma B2 nega que tanto p quanto ~p possam ser obrigações absolutas. Segundo B3, se existe uma obrigação conjuntiva, sob a condição r, então cada membro da conjunção é obrigatório, sob r. O axioma B4 é típico deste sistema. Tentando dar-lhe caráter intuitivo, von Wright interpreta-o assim: a obrigatoriedade de que se feche uma janela, em caso de chuva ou trovão, equivale à obrigatoriedade de fechá-la, em caso de chuva e em caso de trovão (von Wright, 1971[1964], p. 110).

As regras de inferência do Novo Sistema (corrigido), na versão presente, são as seguintes: Regra da substituição de uma variável por uma fórmula: Num axioma ou teorema, uma variável proposicional pode ser substituída por uma fórmula, desde que todas as ocorrências da variável sejam substituídas pela mesma fórmula.

Regra liberalizada do modus ponens: De p e p⊃q derive-se q. (p e q representam fórmulas quaisquer, que não precisam ser teoremas.) Regra da substituição por equivalência: Num axioma ou teorema, é possível substituir-se uma variável proposicional ou uma subfórmula molecular por fórmulas moleculares que lhe sejam equivalentes.

Regra da substituição de variáveis por fórmulas atômicas deônticas: Se, numa tautologia da lógica comum, todas as ocorrências de uma variável proposicional são substituídas por uma fórmula atômica do tipo O(p/q), obtém-se um teorema.

Em 1970, Hansson desenvolveu uma forma adaptada de semântica dos mundos deonticamente perfeitos para a lógica diádica (Hansson, 1971[1970]). De um modo geral, no Novo Sistema (corrigido), os paradoxos da obrigação derivada, do compromisso e da obrigação reparadora não ocorrem. As relações entre frases deônticas expressas no sistema-padrão continuam a valer, mas como obrigações incondicionais. A frase do sistema-padrão O(p⊃q)⊃(Op⊃Oq), por exemplo, corresponde ao teorema O(p⊃q/t)⊃[O(p/t)⊃O(q/t)].

Um aspecto controverso do Novo Sistema (corrigido) diz respeito à noção de obrigações mutuamente contraditórias. O primeiro axioma do Novo Sistema de 1964 proibia obrigações contraditórias (p e ~p), sob uma mesma condição r. Por exemplo, sob a condição de se ganhar certo ordenado (r), não se pode ser obrigado a pagar e a não pagar impostos (p e ~p). Na versão corrigida, a proibição de obrigações contraditórias restringe-se aos casos de obrigações incondicionais, válidas sob circunstâncias quaisquer t. Isto significa que, teoricamente, alguém poderia ter obrigações contraditórias, numa condição contingente r. Von Wright cita como exemplo o caso bíblico de Jefté, que prometeu sacrificar a Deus a primeira pessoa que passasse pelo pórtico da sua casa, desde que ele conseguisse derrotar os amonitas, inimigos do seu povo.

Jefté venceu, mas quem primeiro passou pelo pórtico da casa, para saudá-lo festivamente, foi a sua única filha. Apesar de tudo, Jefté cumpriu sua promessa e sacrificou a filha (Juízes, 11, 29-40). Uma tal situação é chamada por von Wright de provação (predicament). Ela se verificaria quando o agente tivesse obrigações contraditórias (cumprir o prometido, não cumprir o prometido), sob a condição específica de ter feito o que não deveria (prometer um sacrifício humano). Von Wright admite isso como aceitável (von Wright, 1971[1964], p. 115- 119).

A solução proposta por von Wright tem o inconveniente de ferir drasticamente nossas intuições deônticas, pois, como observam Føllesdal e Hilpinen, um código que imponha obrigações contraditórias, nas mesmas circunstâncias, é objetável.

Parece correto admitir que prometer o proibido é fazer uma pseudopromessa que, como tal, não deve ser cumprida. Nessa linha de raciocínio, Føllesdal e Hilpinen propõem que o axioma B4 seja substituído por uma versão mais fraca, ou seja: B4'. [O(p/r) & O(p/s)]⊃O(p/r∨s) B4' é aceitável, pois estabelece que se uma obrigação p vige sob condições diversas r e s, então ela vige sob a disjunção de tais obrigações.

A lógica deôntica com dois tipos de frases O sistema-padrão e a lógica diádica aplicam os operadores O e P a expressões como p ou q, por exemplo, que representam frases declarativas, verdadeiras ou falsas. Isso pode provocar uma dificuldade, pois os códigos de obrigações, como o Decálogo bíblico ou a Constituição da República, são conjuntos de imperativos, isto é, de comandos ou de ordens a serem cumpridas: Ama ao Senhor teu Deus (Decálogo), Paga teus impostos (Constituição da República, numa leitura livre). Por que os sistemas padrão e diádico ignoram os imperativos, apesar de estarem estes no próprio núcleo dos códigos de obrigações? A resposta a tal questão reside numa característica importante das frases imperativas: elas não são verdadeiras nem falsas. Quando se diz a alguém: Fecha a porta, emiti-se um imperativo que pode ser obedecido ou não, mas que jamais será verdadeiro ou falso, pois ele não é uma descrição de qualquer estado de coisas, mas sim um simples comando comportamental.

Diante dessa característica dos imperativos, Jørgensen afirmou que uma lógica de tais frases seria impossível. Entretanto, ele reconheceu que imperativos mantêm entre si certas relações lógicas, pois eles podem ser mutuamente contraditórios, por exemplo (Jørgensen, 1937/1938). Essa dificuldade em entender o papel dos imperativos na argumentação deôntica é o assim chamado paradoxo de Jørgensen.

Os sistemas padrão e diádico contornaram o problema, interpretando p, q, etc.

como expressões de estados de coisas, cuja realização é declarada obrigatória.

Diante do mandamento Amarás ao Senhor teu Deus, o sistema-padrão entende p como Os seres humanos amam a Deus, de modo que Op seja uma frase verdadeira ou falsa, capaz de descrever o mencionado comando. Por isso mesmo, sistemas padrão e diádico pertencem à lógica deôntica descritiva.

No sistema a ser exposto a seguir, essa estratégia é abandonada, em favor de uma lógica que lança mão de dois tipos de frases: declarativas, que são verdadeiras ou falsas, e imperativas, que não são uma coisa nem outra. Tal proposta foi elaborada por Hector-Neri Castañeda, um filósofo norte-americano, de origem guatemalteca. Ao longo dos anos 1950 e 1960, em inúmeros artigos, Castañeda desenvolveu e amadureceu suas idéias a respeito do assunto, até que as consolidou no livro Thinking and Doing – The Philosophical Foundations of Institutions, publicado em 1975 (Castañeda, 1975). Esse livro não se restringe à lógica deôntica. Como diz seu subtítulo, ele pretende ser uma investigação filosófica sobre instituições, em geral. A lógica deôntica é nele caracterizada num contexto mais amplo, visto que obrigações, permissões e proibições são institucionais. Castañeda, porém, parte de uma perspectiva mais ampla ainda.