Busca sequencial de alvos intermediários em
modelos DEA com soma de outputs constante
Introdução
O objectivo da abordagem por Análise de Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis –
DEA) é avaliar a eficiência de unidades produtivas, chamadas de unidades de tomada de decisão
(Decision Making Units – DMUs), ao comparar unidades que realizam tarefas similares e que
distinguem-se umas das outras pelas quantidades de recursos (inputs) que consomem e de bens
(outputs) que produzem (Cooper et al., 2000, Lins e Angulo-Meza, 2000). Além de identificar
as DMUs eficientes, os modelos DEA permitem medir e localizar a ineficiência, e estimar uma
função de produção linear por partes, que fornece o benchmark para as DMUs ineficientes. Esse
benchmark é determinado pela projecção das DMUs ineficientes na fronteira de eficiência. A
forma como é feita esta projecção determina a orientação do modelo. Orientação a inputs
(quando deseja-se minimizar os recursos, mantendo-se os valores dos resultados constantes) e
orientação a outputs (quando deseja-se maximizar os outputs sem diminuir os inputs) são as
principais.
Os modelos DEA clássicos, tanto o modelo CCR (Charnes et al., 1978) quanto o modelo
BCC (Banker et al., 1984), supõem total liberdade de produção, ou seja, a produção de uma
DMU não interfere na produção das demais. Entretanto, em alguns casos esta liberdade não
existe. No caso de competições, por exemplo, se for considerado como output um ı́ndice que
agrega seus resultados (Soares de Mello et al., 2001; Gomes et al., 2001) [17, 10], a melhora de
posição de qualquer competidor implica na perda de posição de um ou mais de seus adversários.
Exemplificando com o caso dos Jogos Olı́mpicos, um paı́s (DMU) que ganhasse medalhas extras
ou melhorasse o nı́vel das medalhas, automaticamente faria com que outros paı́ses deixassem
de ganhar estas medalhas, ou seja, perderiam unidades de output (Lins et al., 2001).
Um outro exemplo é o caso da avaliação de eficiência de unidades produtivas que produzem
um determinado produto cuja demanda é constante. Neste caso, uma certa DMU considerada
ineficiente deverá produzir mais unidades do produto para atingir a fronteira de eficiência, com
a consequente diminuição da produção das demais unidades.
É aqui proposta uma alteração no modelo DEA BCC clássico (Banker et al., 1984) que
considera estas limitações. Este novo modelo será chamado de Modelo DEA com Ganhos de
Soma Zero (DEA-GSZ), já que apresenta situação semelhante à de um jogo com soma zero
(Osborne e Rubinstein, 1999), no qual tudo o que é ganho por um jogador é perdido por algum
outro(s). Ou seja, a soma lı́quida dos ganhos deve ser zero.
Neste novo modelo, ao contrário do que acontece nos modelos tradicionais, o modo como
uma DMU atinge seu alvo na fronteira, pode implicar na alteração da forma da fronteira
eficiente. A busca por eficiência pode ser feita por uma única DMU ou por várias em regime
de cooperação, o que conduz a um problema de Programação Não Linear Multiobjectivo.
Os gestores podem argumentar que é um salto extremamente grande tentar atingir a
eficiência de uma só vez, sendo mais factı́vel uma busca gradativa de alvos. Uma forma
de determinar estes alvos intermediários, apresentada neste artigo, é buscá-los nas camadas
de iso-eficiência, que representam diferentes nı́veis de utilização da tecnologia.
2
Formulação do modelo DEA com soma de outputs constante
A formulação clássica do modelo do envelope DEA BCC com orientação a outputs, usa para
cada DMU o Problema de Programação Linear (PPL) apresentado em (I). Neste PPL, para a
DMU o em análise, a eficiência é dada por 1/ho ; xj representam os inputs; yj são os outputs;
λj representam a contribuição da DMU j para a projecção da DMU o na fronteira. Esta
projecção na fronteira de eficiência é o alvo a determinar.
A formulação geral do Modelo DEA com Ganhos de Soma Zero (DEA-GSZ) que, como
descrito na primeira secção, considera a soma dos outputs constante, é a apresentada em (II)
(Gomes et al., 2001) [9].
Nesta formulação, a unidade em análise é igualmente a DMU o. h Ro é o inverso da eficiência
de DMU o no modelo DEA-GSZ; xj e yj são valores originais dos inputs e dos outputs, respectivamente; yj 0 são novos outputs das DMUs restantes, considerando-se a perda de outputs devido ao ganho pela DMU o;! λj são as contribuições das DMUs na projecção eficiente;
em que a retirada da quantidade de outputs seja a mesma para todas as DMUs aparenta
ser uma escolha equitativa, sem nenhuma necessidade de formular hipóteses que indiquem
uma linha de acção mais especifica. No entanto, esta estratégia traz sérios problemas quando
existem DMUs com baixos valores para os outputs. Nestes casos, corre-se o risco de criar,
artificialmente, situações em que surgem outputs negativos. A estratégia de igual redução
z
≤ min(yj ).
(Gomes et al., 2001) [9] só pode ser usada sem problemas nos casos em que n−1
Para evitar estas situações será usada estratégia de redução proporcional ao nı́vel de output
de cada DMU. O uso desta estratégia é justificado porque, além de também evitar hipóteses
mais discricionárias, permite contornar a não linearidade do modelo DEA-GSZ, com a proposição e prova de dois teoremas, que permitem o uso de uma única equação para sua resolução.
Além disso, em situações semelhantes na Programação Linear Multiobjectivo (Korhonen e
Syrjänen, 2001), é defendida a preferência pela mudança proporcional. Evidentemente esta
estratégia também possui seus inconvenientes, como o de não respeitar situações de sólida
implantação de uma DMU em um determinado mercado. Ainda assim, para uma primeira
abordagem, esta é a estratégia mais conveniente.
2.1
Estratégia de redução proporcional ao nı́vel de output das DMUs j, j 6= o
Nesta estratégia a DMU o busca ganhar z unidades de output. A redução do nı́vel de output
das outras DMUs é proporcional, ou seja, aquelas com menor nı́vel de output perdem menos,
e as com maior nı́vel de output perdem mais, mantendo-se a condição de a soma das perdas
ser igual ao que será ganho pela DMU o.
A Figura 1 representa, para o caso bidimensional, a nova fronteira gerada a partir desta
estratégia. A fronteira superior representa a fronteira do modelo clássico; a inferior representa a nova fronteira considerando-se redução proporcional de outputs de todas as DMUs,
exceptuando-se a DMU o, que ganha a soma das perdas para tornar-se eficiente.
y z
A perda de output para uma DMU j, j 6= o, é representada por Pj y . Como z =
j
j6=o
yo (hRo − 1), tem-se que a perda de output da DMU j é
yj yoP
(hRo −1)
.
yj
Aplicando-se estes resul-
tados ao modelo geral (II), obtém-se o modelo (III).
λj ≥ 0
O termo 1 −
yo (h
PRo −1)
yj
será denominado “Coeficiente de Redução” (CR).
j6=o
Este é um problema
de Programação
Não Linear, devido à restrição
A não linearidade não é uma caracterı́stica grave, já que ao
usar-se o facto de que a fronteira eficiente é composta pelas mesmas DMUs nos casos clássico e
de GSZ, sabe-se a priori que todas as DMUs que não pertençam ao conjunto de referência da
DMU o apresentarão λj = 0. Assim, o número de variáveis do problema fica consideravelmente
reduzido e, em certos casos, pode ser resolvido analiticamente com o emprego de técnicas de
Cálculo Diferencial. Em casos mais complexos, no entanto (por exemplo, DMU ineficiente
com número de DMUs de referência superior a dois), estas técnicas tornam-se extremamente
árduas. É então necessária outra técnica de resolução do modelo DEA-GSZ, que é obtida
através dos Teoremas demonstrados a seguir.
2.2
Teorema da igualdade das contribuições das DMUs de referência
No modelo DEA-GSZ em que seja adoptada uma estratégia que não altere a composição da
fronteira eficiente (excepto pela DMU que busca o alvo), o valor da contribuição das DMUs j
( λj ), j 6= o, é igual ao seu valor no modelo DEA clássico.
Prova:
A Figura 2 mostra um trecho da fronteira para o caso bidimensional. A demonstração é
análoga para casos multidimensionais, substituindo-se rectas por planos ou hiperplanos e suas
respectivas equações.
A DMU o tem como referências as DMUs A e B no modelo DEA clássico, com alvo igual
ao nı́vel de output da DMU virtual C. No modelo DEA-GSZ, a DMU o terá alvo igual ao nı́vel
de output da DMU virtual C 0 . As equações das rectas suporte destes trechos das fronteiras
original e deslocada são apresentadas em (IV) e em (V), respectivamente.
Figura 2: Manutenção das contribuições.
Da definição de contribuição das DMUs de referência na formação do alvo da DMU em
análise, têm-se as equações (VI) e (VII).
yC = y B λ B + y A λ A
yC0 = yB0 λB0 + yA0 λA0
(VI)
(VII)
C −xA
Ao compararem-se (IV) e (V) com (VI) e (VII), tem-se que λB = xxB
−xA (λA = 1 − λB )
xC0 −xA0
e λ0B = xB0 −xA0 (λA0 = 1 − λB0 ). Como xA = xA0 , xB = xB0 e xC = xC0 , então λB = λB0 e
λA = λA0 , q.e.d..
Este teorema aplica-se em particular ao caso de uma estratégia de redução proporcional,
já que não são retiradas DMUs da fronteira eficiente.
2.3
Teorema da determinação do alvo
O alvo da DMU em análise no modelo DEA-GSZ de estratégia proporcional é igual ao alvo no
caso clássico multiplicado pelo coeficiente de redução.
Prova:
O alvo da DMU o no modelo DEA-GSZ é representado pela equação (VII) que, pelo
teorema da igualdade das contribuições, pode ser rescrita como a equação (VIII).
yC0 = yB0 λB + yA0 λA
Com estratégia proporcional, yA0 = yA CR e yB0 = yB CR, e ao considerar-se o valor de CR,
tem-se a equação (IX), na qual j ∗ é conjunto referência da DMU o, λ∗j e h∗o são soluções óptimas
do modelo DEA BCC clássico orientado a outputs, que mostra que o alvo no modelo DEA-GSZ
o
proporcional (expresso pelo 1 termo da equação) é igual ao alvo clássico multiplicado pelo
CR, q.e.d..
Este teorema permite calcular a eficiência e os alvos das DMUs sob o modelo DEA-GSZ
proporcional em duas etapas:
1. Correr o modelo DEA BCC clássico, orientado a outputs. Obter os valores dos outputs
das DMUs de referência e os valores das contribuições ou da eficiência.
2. Com os valores anteriores, resolver a equação (IX).
3
Cooperação entre DMUs
Nas secções anteriores foi modelada a situação em que uma única DMU busca a fronteira eficiente. Entretanto, em casos reais há a possibilidade de mais de uma DMU procurar maximizar
a eficiência, o que pode ser feito em competição ou cooperação. Este artigo trata apenas do
caso de um número de DMUs que formam um grupo de cooperação.
No paradigma do DEA-GSZ, a busca em cooperação significa que as DMUs deste grupo
tentam retirar determinada quantidade de output apenas das DMUs não pertencentes ao grupo.
A Figura 3 ilustra as ideias expostas, com as DMUs A e B em cooperação.
Para este caso, o modelo DEA-GSZ é expresso pelo Problema Bi-objectivo Não Linear
apresentado em (X), no qual j ∗ é o conjunto de referência da DMU A; j ∗∗ é o conjunto de
referência da DMU B; yj 0 são os novos valores de output.
Para o caso de uma estratégia qualquer de redução, o modelo (X) deve ser resolvido com o
uso de técnicas de Programação Não Linear Multiobjectivo. Problemas deste tipo conduzem
frequentemente ao uso de metaheurı́sticas, como em Gomes et al. (2002) e Pires et al. (2002).
No entanto, para a estratégia de redução proporcional, prova-se que o modelo é reduzido a
um modelo de Programação Não Linear Mono-objectivo. Para tal, é necessário o seguinte
teorema.
3.1
Teorema da proporcionalidade das eficiências em estratégia proporcional
Considere-se o problema de várias DMUs em cooperação na busca de alvos com estratégia
proporcional. As eficiências das DMUs no modelo DEA-GSZ são directamente proporcionais
às suas eficiências no modelo DEA clássico.
Prova:
Não há perda de generalidade em considerar-se apenas duas DMUs em cooperação, como
as DMUs A e B da Figura 3. Para a estratégia proporcional, cada DMU j, j 6= A, B, perde
quantidade de output
, proporcional ao valor de seu output. A perda de output de
todas as DMUs fora do grupo de cooperação é igual a
soma dos ganhos. Se
P
j6=A,j6=B
yj z
P
yj
yj z
P
yj
, onde z corresponde à
j6=A,j6=B
= S, as parcelas ganhas por A e por B correspondem,
j6=A,j6=B
respectivamente, aos valores qS e (1 − q) S. Pelo Teorema da Determinação do Alvo, tem-se
para a DMU A, hRA yA = CR (hA yA ) e para a DMU B, hRB yB = CR (hB yB ). Fazendo-se o
RA
quociente entre estes termos, hhRB
= hhBA = q, q.e.d..
O número não negativo q pode ser definido como a proporção de aumento de output entre
as DMUs A e B.
Corolário
Considere-se o problema de várias DMUs em cooperação na busca de alvos com estratégia
proporcional. O Problema de Programação Não Linear Multiobjectivo é reduzido a um Problema de Programação Não Linear Mono-objectivo.
Como hRB = qhRA , o modelo (X) é convertido no modelo (XI) que possui uma única
função objectivo.
Sendo zA o acréscimo de output da DMU A e zB o da DMU B, z é igual à soma dos ganhos,
ou seja, z = zA + zB . Como zA = yA (hRA − 1), zB = yB (hRB − 1) e hRB = qhRA , z tem o
valor de z = hRA (yA + qyB ) − (yA + yB ). A perda de output de cada DMU j, j 6= A, B, é,
assim representada pela expressão (XII).
yj [hRA (yA +qy
P B )−(yA +yB )] , ∀j
yj
6= A, B,
∀j 6= A, B
(XII)
j6=A,j6=B
Ao substituir-se (XII) em (XI), resulta (XIII), onde as variáveis de decisão são h RA e λj .
Este modelo pode ser facilmente generalizado para o caso de o conjunto de DMUs em
cooperação ter cardinalidade superior a 2.
Para o caso geral, a equação que representa o Teorema da Determinação do Alvo é apresentada em (XIV), na qual W é conjunto das DMUs em cooperação e q ij = hi/hj .
Busca sequencial de alvos intermediários
Alvos intermediários em modelos DEA clássicos
Atingir os alvos determinados pelos modelos DEA é uma tarefa que pode encontrar barreiras
práticas. Uma determinada DMU que busca eficiência pode não ser capaz de alcançar aquele
alvo que lhe é atribuı́do. Na literatura existem algumas propostas para solucionar esta dificuldade, ao auxiliar na busca por alvos alternativos situados na fronteira eficiente, com o uso de
Programação por Metas (Athanassopoulos, 1995, Athanassopoulos et al., 1999), Programação
Linear Multiobjectivo (Angulo-Meza, 2001, Tavares, 1998, Joro, 1998) e outras abordagens
(Thanassoulis e Dyson, 1992). Todas estas proposições tomam como base os modelos DEA
clássicos e buscam os alvos na fronteira eficiente.
Uma nova abordagem para a busca de alvos é descrita neste artigo: a busca de forma
sequencial, nas camadas de iso-eficiência. Considera-se que uma DMU é capaz de promover
mudanças em suas práticas de gestão de forma gradual. As vantagens desta abordagem residem
em possibilitar à unidade aprender com o processo e incorporar as mudanças nas práticas de
gestão para melhoria do nı́vel de utilização da tecnologia disponı́vel. Ou seja, a unidade pode
obter metas em curto prazo mais realistas. Os alvos intermediários, atingidos em sequência,
estão localizados nas camadas de iso-eficiência, portanto, abaixo da fronteira eficiente.
As camadas de iso-eficiência são obtidas da seguinte forma: as DMUs com 100% de
eficiência formam a camada 1. Essas DMUs são, então, retiradas do conjunto de análise e
corre-se novamente o modelo DEA. As DMUs eficientes neste subconjunto formam a camada
2. O processo repete-se até que todas as DMUs tenham sido retiradas do conjunto inicial.
Na literatura, as camadas de iso-eficiência são utilizadas para obter uma forma alternativa de
ordenação e divisão em classes em DEA (Barr et al., 2000, Tavares, 1998).
4.2
Busca sequencial de alvos intermediários em modelos DEA-GSZ
A aplicação de busca sequencial descrita, quando aplicada aos modelos com soma de outputs
constante, gera propriedades matemáticas adicionais a seguir detalhadas.
Durante a busca sequencial todas as camadas de iso-eficiência apresentam deslocamentos
com redução do nı́vel de output, sempre que uma ou mais DMUs busquem um alvo na camada
seguinte. Este processo pode ser levado ao ponto em que todas as DMUs pertençam a uma
única camada, promovendo, assim, a uniformização da fronteira. A fronteira uniformizada
estará localizada em nı́veis inferiores aos da fronteira DEA do modelo clássico. Esta situação
pode ser vista como “ideal” por órgão reguladores, que desejem cooperação entre suas unidades.
A Figura 4 representa a busca sequencial de alvos intermediários para uma única DMU,
no caso bidimensional com o paradigma DEA-GSZ. A0 e A00 são, respectivamente, o alvo da
DMU A no modelo clássico e no modelo DEA-GSZ na camada L-1.
Os modelos DEA-GSZ, de busca de alvos na fronteira eficiente, continuam válidos para
busca de alvos nas camadas de iso-eficiência. Exceptua-se o valor das eficiências que, neste
caso, são calculadas em relação à camada alvo. Os teoremas demonstrados anteriormente
permanecem válidos e, assim, a equação de determinação dos alvos para uma única DMU
deslocando-se da camada Lpara a camada L-1 é apresentada em (XV).
Como anteriormente colocado, pode ocorrer de duas ou mais DMUs associarem-se em
cooperação para a busca de eficiência no DEA-GSZ sequencial. Os alvos estarão localizados
nas camadas de iso-eficiência. A Figura 5 mostra as DMUs A e B, localizadas na camada
L, actuando em cooperação, ao buscar alvos na camada L-1. Neste caso as DMUs A e B
pertencem à mesma camada de iso-eficiência, podendo também ocorrer a associação de DMUs
localizadas em diferentes camadas.
De forma análoga à busca de alvos na fronteira eficiente com soma de outputs constante,
tem-se um modelo multiobjectivo, que pode ser resolvido pela equação (XVI), desde que seja
adoptada estratégia proporcional. A adopção desta estratégia garante a validade
dos teoremas
anteriores. Em (XVI), W é conjunto das DMUs em cooperação e q ij =
Apesar de a equação (XVI) não impor restrição quanto às camadas de localização das
DMUs do conjunto W (conjunto de DMUs em cooperação), podem ocorrer problemas se uma
DMU for referência de outra na camada alvo.
4.3
Exemplo numérico
Para ilustrar os conceitos aqui desenvolvidos apresenta-se um exemplo hipotético para um
conjunto de 9 DMUs, com dois inputs e um output, que deve ter soma constante (21,5). A
Tabela 1 mostra os dados utilizados neste exemplo.
As DMUs do exemplo dividem-se em três camadas de iso-eficiência:
• Camada 1 (fronteira eficiente): DMUs A, B e C;
• Camada 2: DMUs D, E e F ;
• Camada 3: DMUs G, H e I.
Em uma primeira etapa, as DMUs G, H e I formam um conjunto de cooperação em busca de
alvos na Camada 2, com eficiência 66,7%, 80,0% e 84,7% em relação a esta camada. Se não
fosse considerada a restrição de a soma dos outputs ser constante, os alvos de G, H e I seriam,
respectivamente, 1,50, 2,50 e 2,95. Aplicando-se a equação (XV) são obtidos os resultados
apresentados na Tabela 2.
Procedendo-se a uma nova iteração, com o conjunto W constituı́do pelas DMUs D, E, F ,
G, H e I, obtêm-se os resultados mostrados na Tabela 3, com todas as DMUs eficientes. Esta
é a situação de fronteira uniformizada, que pode ser usada para emitir directrizes de polı́ticas
públicas, nos casos em que várias unidades atendam a uma demanda constante.
Ressalta-se que nas Tabelas 2 e 3 a restrição de a soma dos outputs ser constante é satisfeita
(soma igual a 21,5).
5
Conclusões
A constatação de que os modelos clássicos não consideram a existência de um número limitado
de unidades de output, tornou necessário o desenvolvimento de um modelo DEA no qual a
soma dos outputs seja constante, ou seja, a soma lı́quida dos ganhos deve ser zero. Este
modelo, denominado Modelo DEA com Ganhos de Soma Zero (DEA-GSZ ), foi desenvolvido
neste artigo para a estratégia de redução proporcional, no qual os valores das eficiências são
sempre maiores e os dos alvos menores daqueles encontrados no modelo DEA BCC clássico. A
estratégia proporcional, embora tenha limitações, é uma primeira abordagem para o modelo
DEA-GSZ e possibilita a obtenção de resultados matemáticos que poderão ser usados em
outras abordagens.
O caso geral de várias DMUs a buscar eficiência em cooperação conduz a um modelo
de optimização multiobjectivo não linear. Os teoremas demonstrados neste artigo permitem
uma grande simplificação deste modelo, que reduz-se à resolução de uma, ou mais, equações
algébricas lineares. Deve-se enfatizar que o uso do factor de proporcionalidade q não é uma
opção dos autores. É uma decorrência da adopção da estratégia de redução proporcional. A
exploração directa do modelo multiobjectivo não linear poderá conduzir a resultados interessantes, mas só pode ser efectuada com a adopção de outras estratégias de redução do nı́vel de
output.
O estabelecimento de uma busca sequencial por alvos apresenta a vantagem gerencial de
permitir que as unidades possam obter metas em curto prazo mais realistas. Do ponto de vista
matemático, a busca sequencial fornece os meios para, no modelo DEA-GSZ, determinar uma
situação ideal de fronteira uniformizada.
Um resultado importante é o facto de os dois problemas tradicionais em DEA (determinação
da fronteira e busca de alvos) ficarem estreitamente acoplados no modelo DEA-GSZ, ou seja,
a simples busca por eficiência altera a forma da fronteira.
Este novo modelo proposto apresenta um amplo potencial de aplicações práticas e novos
desenvolvimentos teóricos, como:
• Análise simultânea de mais de um output, com e sem restrições aos pesos;
• DMUs que buscam a fronteira em competição;
• Considerar a possibilidade de redução de inputs para as DMUs que tiveram redução no
nı́vel de output, o que provocaria o deslocamento destas DMUs ao longo das camadas de
iso-eficiência.
Entre as aplicações, além da já citada avaliação de eficiência em eventos desportivos com
premiação total constante, exemplificada pelas olimpı́adas, podem-se citar:
• Avaliação de eficiência em eleições, considerando-se o número constante de eleitores;
• Estudo de desempenho de companhias aéreas em mercado altamente competitivo para
uma rota de demanda considerada constante (por exemplo, ponte aérea Rio-São Paulo);
• Avaliar polı́ticas públicas municipais, que visem promover o acesso dos cidadãos ao ensino
superior, cujo total de vagas oferecidas é constante. Este estudo seria um refinamento
do modelo apresentado em Soares de Mello et al. (2001) [18].
Finalmente, os resultados obtidos podem ser facilmente estendidos para modelos com soma de
inputs constante, geometricamente equivalente a uma rotação de eixos, e pode ser aplicado à
redistribuição de recursos, como é o caso de funcionários estáveis em empresas públicas.