Ordenações parciais nos conjuntos das soluções dos problemas de alocação linear
e quadrático
1. Introdução
Em 1957, Koopmans e Beckmann, [KB57], idealizaram o Problema Quadrático de
Alocação como um problema de layout,quando pretenderam instalar pares de n
fábricas a pares de n locais, a custo mínimo, de modo que cada fábrica fosse
atribuída a um único local e reciprocamente. Hoje, sabemos que o PQA é um dos
mais difíceis problemas de Otimização Combinatória pertencente à classe NP-
hard. Exemplares de ordem n > 30 desse problema já são considerados de grande
porte e, portanto, intratáveis do ponto de vista computacional, se desejarmos
resolvê-los otimamente. Em resposta a isto, considerável atenção vem sendo
dispensada ao estudo do PQA por diversas abordagens, visando encontrar limites
inferiores para auxiliar no desenvolvimento de algoritmos eficientes.
Classificamos as diferentes abordagens em 3 grandes grupos:
(1) Formulações_por_Programação_Inteira são dadas por programação
binária, como a de [KB57], ou por Programação Mista, como as de
[KB78], [FY83] e [PR96]. Nesta linha, diversos limites inferiores do
tipo linear foram determinados, inclusive um dos mais antigos deles,
conhecido por limite de Gilmore e Lawler e suas variações, [Gi62] e
[La63];
(2) Formulações_envolvendo_Teoria_das_Matrizes, como é caso da
formulação traço, devido a Edwards [Ed77] que resultou em limites
espectrais, [Ed80]. Nesta categoria enquadramos também as mais
recentes relaxações dadas por Programação Positiva Semidefinida,
(SDP) que permitem cálculos de bons limites inferiores compatíveis
com os espectrais, [Zh96] e [ZKRW98] e [An01]. Tais limites, apesar
de melhores em qualidade que os lineares, demandam um tempo
computacional considerável;
(3) Formulações_por_Matemática_Discreta, de natureza puramente
combinatória, como as devido à [Ab84], [Ra00] e [ABQG02]. Tais
formulações definem o PQA associando permutações a soluções o que
facilita caracterizar vizinhanças para busca local. Tais vizinhanças
são muito utilizadas por meta-heurísticas. Nesta categoria destacam-
se [LPR94], [Ta91], [Co90], [RAB00] e [GG02].
Além das referências mencionadas acima e daquelas que vamos citar no decorrer
do trabalho, por vínculo direto ao estudo que desenvolvemos aqui, cabe
recomendar o mais recente livro, dedicado exclusivamente ao Problema Quadrático
de Alocação, devido a Eranda Çela, [Çe98], onde o leitor mais interessado
poderá não só aprender mais sobre este problema, como também ter acesso a uma
vasta bibliografia sobre ele. Na tentativa de completar a bibliografia até os
dias de hoje, indicamos ainda alguns trabalhos mais recentes que, em geral,
tratam de procedimentos e técnicas de resolução do PQA ou discutem as
dificuldades por ele apresentadas, apontando a tendência mais atual das
pesquisas, [GTD99], [AQB99], [RAB00], [AZ02], [ABLG02] e [Mi03].
Este trabalho aborda o Problema Quadrático de Alocação, PQA, por Matemática
Discreta, apresentando o Problema de Alocação Linear, PAL, como uma relaxação
do Problema Quadrático de Alocação. O conjunto de soluções do PAL, aqui
representadas por permutações, contém todas as soluções do quadrático. Na
segunda seção, introduzimos uma ordenação nos conjuntos das soluções do
problema linear que é então induzida ao conjunto das soluções quadráticas,
comparando seus respectivos custos, independentemente das matrizes que definem
seus exemplares. Tal conjunto ordenado constitui o que chamamos de Poset da
Ordenação Parcial Livre. Apresentamos, em seguida, um algoritmo polinomial para
determinar pares de permutações livremente comparáveis, conceito introduzido em
[Ab84]. Na Seção 4, apresentamos uma cadeia de grafos de comparabilidade para a
cadeia dos posets dados na seção anterior. Propriedades para estes grafos são
estabelecidas, visando um teorema que relaciona a ordenação parcial livre entre
pares de permutações com o número de inversões das referidas permutações. Este
teorema abre possibilidades para utilizarmos como parâmetro de avaliação da
qualidade das soluções do PQA, o número de inversões das permutações a elas
correspondentes. Finalizamos este trabalho utilizando alguns testes
estatísticos na tentativa de investigar esta possibilidade.
2. O Problema Quadrático de Alocação e sua Relaxação Linear
Sejam duas matrizes F e D, de dimensão n x n, simétricas, com diagonal nula e
cujas coordenadas reais são não-negativas. Resolver um exemplar do Problema
Quadrático de Alocação, PQA(F,D), é achar o valor de
onde Pn é o conjunto de todas as permutações dos elementos de Wn = {1,...n}. O
valor resultante de (1) é o menor custo para uma atribuição em que pares de
facilidades são alocadas a pares de localidades e reciprocamente. Trata-se de
um problema de layout que pode ser representado por sobreposição de cliques de
n vértices, KFe KD, onde a primeira possui suas arestas valoradas pelos fluxos
das facilidades e a segunda, pelas distâncias das localidades. A sobreposição é
definida por uma permutação dos vértices j Î Pn, cuja solução ótima é denotada
por j*.
Considere o exemplar Nug5, devido a Nugent [NVR68], dada pelas matrizes
simétricas:
Os elementos das matrizes F=[fij] e D=[dkl], que definem o PQA(F,D), são
armazenados em vetores-linhas (de mesmo nome) F=(fz) e D=(dz), ambos de
dimensão N=Cn,2, cujas coordenadas são dispostas segundo a bijeção
que associa o par (i,j) a um número zÎ {1,...N}.
Os vetores para o exemplo Nug5 são F=(5 2 4 1 3 0 2 0 0 5) e D=(1 1 2 3 2 1 2 1
2 1).
Considere a matriz Q=FtD, cujos coeficientes correspondem às parcelas da função
objetivo (1), de modo que para cada j, os coeficientes estejam na matriz Q.
OProblema de Alocação Linear, PAL(Q), definido por
onde PN é o conjunto de todas as permutações dos elementos de WN={1,...N}, é
uma relaxação linear do PQA(F,D), considerando-se que o conjunto das soluções
lineares contém o das soluções quadráticas.
A partir de cada atribuição dos vértices de KFsobre KD, representada por j em
Pn, determina-se, por intermédio de y em (2), a correspondente sobreposição das
arestas das referidas cliques, denotada por x. Em geral, dada uma solução x do
PAL(Q), nem sempre existe uma sobreposição de vértices das cliques compatível
com a de arestas. Neste caso, diz-se que x é uma solução não-viável para PQA
(F,D). Se tal sobreposição j existir, deve obedecer a seguinte equação:
para p=1,..N; j(i)=k e j(j)=l; onde i,j,k,l=1, ,n. Assim, diz-se que x é
umasolução viável para PQA(F,D).
O custo da solução do PAL(Q) associado a x Î PN resulta do produto escalar,
onde x (D)=(dx(1), dx(2),...., dx(N)). No exemplo Nug5, seja uma solução de PAL
(Q) dada por . Podemos representar esta
solução pela imagem de sua permutação correspondente, ou seja, x =(2 1 4 6 7 9
3 5 8 10). Seu custo é então
Z(x) = f1d2 + f2d1 + f3d4 + f4d6 + f5d7 + f6d9 + f7d3 + f8d5 + f9d8 + f10d10=
35.
Encontrar uma solução ótima para o PAL(Q) é muito fácil: basta associar a
aresta de maior fluxo à de menor distância, sucessivamente, até que a aresta de
menor fluxo seja associada à de maior distância. Desta forma, o custo mínimo é
Z* = <formula/>, quando F'eD+ são resultados da
ordenação não-crescente e não-decrescente de Fe D, respectivamente, [HLP52]. O
exemplar PAL(Q*), onde Q*=(F')t D+ possui o mesmo conjunto de soluções viáveis
de PAL(Q) e, por conseguinte, a mesma solução ótima cujo custo é o traço de Q*,
notado por tr(Q*). Tal valor define um limite inferior para o PQA(F,D) e para o
custo de qualquer outro exemplar obtido deste por troca de posições das
coordenadas dos vetores de F e D. Isto nos permite caracterizar uma classe de
exemplares que chamamos deaparentados ao exemplar PQA(F', D+), por possuírem a
mesma matriz Q*. Formalmente, escrevemos:
RelClass(Q*)= { PQA(F,D) / s(F)=F' e t(D)=D+, para s e t Î PN}.
Considere Nug5 proposto no exemplo anterior. Temos como vetores que definem o
exemplar, F=(5 2 4 1 3 0 2 0 0 5) e D=(1 1 2 3 2 1 2 1 2 1). Tais vetores geram
F'=(5 5 4 3 2 2 1 0 0 0) e D+=(1 1 1 1 1 2 2 2 2 3). No decorrer deste texto,
considere FF e FD, as respectivas permutações auxiliares que conduzem F e D aos
vetores ordenados F'e D+. Se r Î PNé uma solução do PAL(Q*), temos que a
composta
corresponde a uma solução do PAL(Q). Considerando-se os dados de Nug5, a
permutação identidade, id=(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10), que representa o tr(Q*),
possui sua correspondente no PQA(Q) dada pela permutação x=(1 10 6 5 8 7 3 9 4
2) e facilmente determinada pela equação (6),quando conhecidos FF=(1 5 3 7 4 8
6 9 10 2) e FD=(1 2 6 10 7 3 8 4 9 5). Veja a composição:
Como saber se uma solução qualquer r Î PN do PAL(Q*) é viável para PQA(F,D)?
Basta determinarmos j em Pn, permutação dos vértices de uma clique sobre a
outra, que seja compatível com a permutação das arestas r. De posse de FF e FD
e da equação (6), se a série de igualdades a seguir for satisfeita,
para r=1,..N; j(i) = k e j(j) =l; onde i,j,k,l=1, ,n, dizemos que r Î PN é
soluçãoviávelpara o PQA(F,D). Caso contrário esta solução é não viável. Pode-se
observar que os dois primeiros termos da equação (7) são a aplicação das
permutações FF e FD para encontrar os índices correspondentes às sobreposições
das arestas antes das ordenações nas colunas de Q. Em seguida, as igualdades
finais são completadas com a equação (4), que verifica a viabilidade de uma
permutação x Î PN, soluçãode PAL(Q),com relação ao problema quadrático.
3. Uma Nova Ordenação Parcial no Conjunto dos Produtos Escalares
Temos que o tr(Q*) associado a id em PN é o limite inferior para os custos de
todos os exemplares do PQA(F,D) da família RelClass(Q*). Do mesmo modo, a soma
dos elementos da diagonal secundária de Q*, que corresponde à permutação
reversa, rev= (N,N-1,N-2, ,1) em PN, constitui um limite superior para este
conjunto de custos. A comparação destes limites com qualquer outro custo do
conjunto é independente das coordenadas das matrizes F e D que definem o PQA.
Investigar a comparação dos custos de todos os pares possíveis de soluções dos
exemplares em RelClass(Q*) resulta em determinar uma ordenação parcial, ou
seja, um poset no conjunto dos custos desses problemas, cujo universo é
constituído pelas soluções do PAL(Q). Este posetnos leva a um outro, no
conjunto das permutações PN, dado que cada solução desses problemas pode ser
associada a uma permutação. A construção dos referidos posets decorre do
Teorema da Ordenação Parcial Livre, apresentado mais adiante e que notamos por
TOPL.
Considere um par de permutações, r1 e r2 em PN, associadas às soluções do PAL
(Q*), cujos custos são dados pelos respectivos produtos escalares Z(r1) e Z
(r2). Nosso objetivo é saber se Z(r1) < Z(r2) ou Z(r2) < Z(r1), sem o prévio
conhecimento dos vetores envolvidos.
Da diferença dos produtos escalares temos
Para tÎ WN={1,...N},seja fator-diferença o termo definido por 
. O conjunto de índices do somatório em (8) é então
dividido nos seguintes subconjuntos de WN=PNÈPPÈP0, onde,
PN= {t Î WN/r1(t) ' r2(t) < 0}, índices dos fatores-diferença não-positivos
de (8);
PP= {t' Î WN/r1(t') ' r2(t') > 0}, índices dos fatores-diferença não-
negativos de (8) e;
P0= {t'' Î WN/r1(t'') ' r2(t'') = 0}, índices dos fatores-diferença
livremente nulos de (8).
Chamamos tal partição de partição ordenadados índices em WN.
Como conseqüência, o conjunto das parcelas do somatório na equação (8) é
separado respectivamente, em parcelasnão-positivas,não-negativas ou
simplesmente nulas, que após a exclusão dessas últimas, chegamos a seguinte
expressão para a diferença dos produtos escalares:
A inserção de termos simétricos a cada fator-diferença nas parcelas da equação
(9) nos leva a
que chamamos de partição canônica da diferença dos produtos escalares Z(r1) e Z
(r2). Analisando a equação (10), a seguinte proposição pode ser enunciada:
Proposição 1: Na partição canônica de Z(r1) ' Z(r2) temos que
Além disso, o valor absoluto de cada fator-diferençado primeiro
membrocorresponde a um fator-diferença igual no segundo membro e
reciprocamente.
Prova:Considere r1 e r2 em PN. Temos que
Utilizando os subconjuntos de índices da união ordenada, PNÈ PPÈ P0, chegamos a
Introduzindo-se os termos simétricos, o valor da expressão acima não se altera
e chegamos a equação da Proposição 1.
Para demonstração da segunda parte desta proposição, é fácil ver que " tÎPN e
iÎ{0, ,r2(t) ' r1(t) ' 1} existe um t'ÎPP e jÎ{0, ,r2(t') ' r1(t') ' 1} tal que
r1(t) + 1 = r1(t') ' j ' 1 e r1(t) + i + 1 = r1(t') ' j , resultando em
Definimos <formula/>, com tÎPN, para as parcelas
da partição canônica cujos valores são não-positivos; [/img/revistas/pope/
v23n2/a02img11.gif], com t'ÎPP, para as parcelas cujos valores são não-
negativos, ondei=0, , r2(t)'r1(t) ' 1 e j=0, , r1(t') ' r2(t') ' 1. De acordo
com a proposição anterior, chamamos de fatores-diferença simétricosaqueles que
são iguais em valor absoluto e cujos índices obedecem à seguinte relação:
Proposição 2: Existe, pelo menos, uma bijeção b que associa cada parcela [/img/
revistas/pope/v23n2/a02img12.gif], onde i=0, , r2(t) ' r1(t) ' 1, a uma parcela
<formula/>, onde j=0, , r1(t') ' r2(t') ' 1, tal
que seus respectivos fatores-diferença sejam simétricos. Para cada t Î PN e t'
Î PP e para cada uma das bijeções que satisfaça b ([/img/revistas/pope/v23n2/
a02img12.gif])=<formula/>, tem-se que b induz os
pares ordenados (t,t'). Além disso, para f't e f't'sendo, respectivamente, as
t-ésima e t'-ésima coordenadas do vetor F' referentes ao par (t,t'), a partição
canônica de Z(r1) ' Z(r2) resulta em
Prova:Basta construir uma bijeção b tal que b([/img/revistas/pope/v23n2/
a02img12.gif])=<formula/>, " tÎPN, i=0, ,r2(t) '
r1(t) ' 1, " t'ÎPPe j=0,..., r1(t') ' r2(t') ' 1. A existência da parcela [/
img/revistas/pope/v23n2/a02img13.gif] é garantida pela Proposição 1. Dado que
os fatores-diferença são simétricos, colocando-os em evidência, obtemos
facilmente a expressão da Proposição 2. No momento da construção de b os pares
ordenados (t,t'), tÎPN e t'ÎPP, são identificados.
Exemplo 1:Sejam as permutações r1=(2 4 6 1 3 5) e r2=(4 5 6 2 1 3). Para WN=
{1, ,6}, temos PN={1,2,4}, PP={5,6} e P0={3}. Calculando-se a diferença Z(r1) '
Z(r2) dos produtos escalares, após descartarmos o termo livremente nulo,
relativo a P0, sendo que r1(3)=r2(3)=6 e [/img/revistas/pope/v23n2/
a02img15.gif], chegamos a
Inserindo os termos simétricos em cada fator-diferença e reorganizando-os de
modo que fatores-diferença simétricos sejam identificados tem-se:
Neste momento, já podemos escrever a partição canônica de Z(r1) ' Z(r2) de
acordo com a expressão da Proposição 2.
Então, o conjunto dos pares ordenados (t,t'), comtÎPN e t'ÎPP,induzidos pela
bijeção b é {(1,5),(1,6),(2,6),(4,5)}.
Considerando-se vetores F' eD+ de coordenadas reais e não-negativas, seja o
seguinte conjunto de produtos escalares:
Dizemos que Z(r1) e Z(r2)são livremente comparáveis, se e somente se, uma das
duas condições for satisfeita: Z(r1)<Z(r2) ou Z(r2)<Z(r1) independentemente das
coordenadas dos vetores F'eD+. Tais relações são denotadas por Z(r1)<l Z(r2) ou
Z(r2)<l Z(r1).Teorema da Ordenação Parcial Livre (TOPL):Temos Z(r1)<l Z(r2) (ou
Z(r2)<l Z(r1)) se e somente se, existir uma bijeção b , tal que b ([/img/
revistas/pope/v23n2/a02img12.gif])=<formula/> e
ainda se b induzir os pares ordenados (t,t'), tÎPN e t'ÎPP, de modo que se
tenha t < t'(ou t' < t), " tÎPN e " t'ÎPP.
Prova:(Þ) Segue diretamente dos vetores F'eD+ serem ordenados em ordem não-
crescente e não-decrescente, respectivamente, e após aplicação da Proposição 2.
(Ü) Considere Z(r1)<l Z(r2). Da Proposição 1, temos a existência de uma bijeção
b que induz os pares ordenados (t,t'), tais que t < t', " tÎPN e " t'ÎPP.
Suponhamos a possibilidade de termos, ao mesmo tempo, Z(r1)<l Z(r2) e um par
ordenado (t*,t'*) induzido por alguma b, com t'*< t* para t*ÎPN e t'*ÎPP. Da
Proposição 2, temos:
Considerando-se a ordenação de F'temos <formula/>
e da ordenação de D+, <formula/>. Agora, considere
um valor para L dado pela expressão
Tomemos um caso do PQA tal que L seja suficientemente grande para termos
para todo par (t,t'), induzido da bijeção b. Para esse caso, ocorre a
contradição, dado que Z(r1)'Z(r2) < 0.
A ordem parcial definida pelo TOPL introduz oposet (C(Z(r)),<l) no conjunto dos
custos do Problema de Alocação Linear cujos elementos, por ela relacionados,
chamamospares livremente comparáveis. A partir da relação
um novo poset é induzido no conjunto das permutações de PN, denotado por
(PN,<l). Dizemos então que permutações livremente comparáveis são aquelas que
satisfazem a relação (15). O grafo de comparabilidade do poset(PN,<l) é notado
por GLiv=(PN, M), onde M={(pi,pj)/ pi <l pj, i,j={1, ,N!}}. Dizemos que a
ordenação é livre pelo fato de envolver permutações cujos custos são
comparáveis considerando-se as coordenadas dos vetores F'e D+ como variáveis
livres.
Para verificar se pares de permutações são livremente comparáveis o algoritmo
AlgBijeção, constrói uma bijeção canônica, a partir da Proposição 2, que
denotamos de bc. Se esta bijeção determinar que as permutações são ou não
livremente comparáveis, não há necessidade de se buscar outra. Este algoritmo é
importante, pois evita a enumeração das possíveis bijeções, visto que os
fatores-diferença podem se repetir. As listas ListaN e ListaP armazenam os
índices das parcelas Nit e Pjt' respectivamente, utilizando os conjuntos PN e
PP. Define-se como par de elementos simétricosnas listas ListaN e ListaP
aqueles que obedece às relações r1(t)+i = r1(t')'j'1 e r1(t)+i+1 = r1(t')'j,
para tÎPN e t'ÎPp, onde i= 0, , r2(t) ' r1(t) ' 1 e j = 0, , r1(t') ' r2(t') '
1. A lista chamada ListaPares guarda os pares ordenados(t,t') de tais elementos
simétricos.
Teorema 3.1:A complexidade do algoritmo AlgBijeção é de ordem O(N4).
Prova: O pior caso acontece quando o procedimento percorre a ListaPem busca do
simétrico, para cada elemento da ListaN. Ambas possuem, no máximo, N2/
4 elementos, quando N é par, e (N2'1)/4 elementos quando, N é ímpar.
4. Grafos de Comparabilidade e o Teorema das Inversões
Seja a relação < definida em PN da seguinte maneira: "rs<rr se existe iÎ
WN, tal quers(i)<rr(i);rs(i)<rr(i+1);rs(i+1)<rr(i) e"k emWN, k={1,...i'1,
i+2,...N},rs(k) =rr(k)". A relação transitiva de < determina o poset
(PN,<) que junto com as operações de join e meet caracterizam o conhecido
Reticulado das Permutações, cujo Diagrama de Hasse é dado por um grafo chamado
Permutaedro [VRA95]. Uma inversão em r, dada pelo seu par de inversões (r(i),r
(j)) é tal que se i<j então r(j)<r(i), para todo i,j Î WN. A cardinalidade do
conjunto Á(r), formado por tais pares é o número de inversões de r, denotado
por IÁ(r)I. Seja W={(rr,rs)ÎPN x PN/rs é obtida de rr por troca de elementos
adjacentes com |Á(rs)|-|Á(rr)}. O grafo GInv = (PN,W) é o grafo de
comparabilidade de (PN,<), também chamado de grafo das inversões. Desta forma,
o Permutaedro realiza graficamente GInv e seus vértices são dispostos em níveis
pelo número de inversões de suas permutações. A construção desse grafo se
inicia no nível 0, pela id=(1,2,...,N). Efetuando-se as trocas dos elementos
adjacentes, nível a nível, chega-se à permutação rev=(N,N'1,...,1), última
permutação gerada no nível N(N'1)/2 +1.
Lema 4.1: Sejam ri e rj em PN. Se (ri,rj) Î W então Z(ri)<l Z(rj).
Prova:A prova deste lema segue diretamente das definições dos conjuntos PN e PP
e da aplicação da Proposição 2.
O grafo GInvé um grafo parcial de GLiv, grafo de comparabilidade doposet
(PN,<l), que representa as permutações livremente comparáveis. No grafo fecho
transitivo de GInv, <formula/>, a relação de ordem
de <l é preservada em seus vértices que são ligados por um caminho em W. O lema
a seguir, relaciona a variação dos custos com o número das inversões das
permutações a eles correspondentes.
Lema 4.2: Sejam rie rjvértices do grafo GInv ligados por um caminho de arcos em
W. Tem-se |Á(ri)| < |Á(rj)|, se e somente se, Z(ri)<l Z(rj).
Prova:Uma indução sobre o número de arcos do caminho entre os vértices é
considerada. Vamos supor, inicialmente, que o caminho entre rie rjtenha
comprimento 1, isto é, |Á(rj)|-|Á(ri). Logo, do Lema 4.1, como (ri,rj) Î W
então Z(ri)<l Z(rj). Suponhamos que o resultado seja válido para todos os
caminhos de comprimento (m'1) de rie rj. Para facilitar a notação, considere ri
= r1e rj = rm. Pela hipótese de indução segue-se que Z(r1)<l Z(rm). Tomemos o
m-ésimo arco do caminho entre rme rm+1tal que (rm,rm+1)ÎW. Analogamente, tem-se
que a relação Z(rm)<l Z(rm+1).Por transitividade chegamos a Z(r1)<l Z(rm+1).
Retomando a notação original segue-se que|Á(ri)| < |Á(rj)|, se e somente se, Z
(ri)<l Z(rj).
O nosso objetivo é estender este resultado para o grafo GLiv, atingindo assim
todas as permutações livremente comparáveis. Para isso, definamos o conjunto de
arcos W' = {(ri,rj)/ Z(ri)<l Z(rj) e |Á(ri)|'|Á(rj)| = 1}, que contém W, para
constituir G'Inv= (PN,W') que é um grafo parcial de GLiv. Portanto, temos a
cadeia de grafos GInvÍG'InvÍGLiv.
Lema 4.3:Sejam ri e rj em PN. Se (ri,rj) Î W' então Z(ri)<l Z(rj).
Prova:Os arcos (ri,rj) Î W' são compostos de permutações que diferem entre si
por dois elementos, assegurando que são livremente comparáveis [Ran00]. Isto
inclui os arcos pertencentes a W, resultantes de trocas de elementos adjacentes
da permutação.
Desejamos provar que a ordem livremente comparável entre os produtos escalares
Z(ri) eZ(rj) preserva a ordem natural dada pelo número de inversões de ri e rj.
Para tanto, precisamos ainda do próximo lema que constrói o fecho transitivo do
grafo G'Inv, denotado por <formula/> e que
funciona como suporte para o Teorema das Inversões.
Lema 4.4: Sejam rie rj vértices do grafo G'Inv, ligados por um caminho de arcos
em W'. Tem-se |Á(ri)| < |Á(rj)| se e somente se Z(ri)<l Z(rj).
A demonstração deste lema é análoga ao do Lema 4.2, considerando, neste caso,
os arcos pertencentes a W'.
A Figura_4.1 ilustra o G'Inv de ordem N=4. Em destaque estão os arcos de W' '
W. Este grafo não representa o conjunto das soluções de nenhum exemplar do PQA,
pois não existe um naturalntal que Cn,2=4. A menor ordem significativa para
algum caso desse problema tem dimensãon=4, o que apesar de muito pequeno, já
nos impossibilita uma representação gráfica completa, dado que N=6 e o grafo
G'Inv teria 720 nós.
O Teorema das Inversões, a seguir apresentado, mostra que todo arco de GLiv
está em <formula/>. Desta forma GLiv é também o
grafo de comparabilidade do posetde permutações livremente comparáveis.
Teorema das Inversões: Sejam <formula/> o fecho
transitivo de G'Inv= (PN,W') e GLiv =(PN,M) o grafo de comparabilidade do poset
(PN,<l). Tem-se que <formula/> = GLiv.
Prova: (Þ) <formula/> é um subgrafo de GLiv pois
possui o mesmo conjunto de nós e pelo Lema 4.4, tem-se que W' Í M,onde M={
(pi,pj)/pi <l pj, i,j ={1,...,N!}}.
(Ü) Queremos provar que para dois nós quaisquer ri e rjem PN, com Z(ri)<l Z(rj)
e |Á(rj)|-|Á(ri)| = m, deve existir um caminho entre eles em que os m arcos
estão em W'.Suponhamos que não exista tal caminho, ou seja, para todo caminho
entre ri e rj, existe pelo menos um arco (ri'', rj'')ÏW'. Sejam os caminhos
parciais entre rie rj, m1= (ri, ri', ri'') e m2 = (rj'', rj', rj), tais que
(ri,ri') Î W' e (ri',ri'') Î W';(rj'',rj') Î W' e (rj',rj) Î W'. Segue-se do
Lema 4.4 que
e
Somando-se ambos os membros das desigualdades provenientes de (16) e (17)
chegamos a
Como (ri'',rj'')ÏW',tomemos um exemplar do PQA tal que Z(ri'')>Z(rj''). Então é
possível encontrar um K>0 e K suficientemente grande, de modo que Z(ri'')'Z
(rj'') = K. Somando-se este valor a equação (18) obtém
A expressão (19) é simplesmente Z(ri)'Z(rj)>0, contrariando o fato de
(ri,rj)ÎM.
Como conseqüência do Teorema das Inversões, temos o seguinte: considere um par
de permutações livremente comparáveis, em que cada elemento do par está situado
em níveis distintos de GLiv. Aquela que pertencente a um nível mais baixo no
grafo tem custo não maior que a situada em nível superior.
5. Avaliação do Parâmetro dado pelo Número de Inversões
Três tipos de testes empíricos são apresentados na tentativa de validar o
número de inversões como parâmetro de avaliação da qualidade de soluções de
exemplares do PQA. O primeiro analisa em que altura do grafo GLiv se encontra a
permutação r correspondente à solução ótima j* ou a melhor viável conhecida de
cada caso testado. O segundo compara a curva da função custo com a descrita
pelo número de inversões das respectivas permutações a eles associados;
finalmente, o terceiro teste utiliza a técnica muito conhecida por análise de
regressão, considerando como amostra um conjunto de permutações geradas
aleatoriamente e tendo como variáveis seus respectivos números de inversões e
custos.
5.1 Melhores soluções conhecidas de exemplares PQA em GLiv
Seja GLiv= (P N,M) o grafo de comparabilidade do poset das permutações
livremente comparáveis, cuja altura é N(N'1)/2+1. Esta altura corresponde ao
número máximo de inversões de para qualquer r em PN. Chamamos de altura de uma
permutação rÎ PN o seguinte parâmetro:
onde |Á(r)| é o número de inversões de r e [/img/revistas/pope/v23n2/
a02img25.gif] = N(N ' 1)/2+1. Calculamos as alturas das permutações
correspondentes às soluções ótimas ou melhores conhecidas dos problemas teste
da QAPLIB [BKR97], listadas em 7 grupos na Tabela_1. Determinamos as médias das
alturas para cada grupo de exemplares. Na Tabela_2, listamos tais médias, em
colunas distintas, uma para as médias das soluções ótimas e outra para as de
melhores soluções viáveis registradas na QAPLIB.
A média total das alturas das médias dispostas na Tabela_2 para os grupos de
casos do problema com ótimo conhecido fica em torno de 31,68% no grafo GLiv,
enquanto a média correspondente às alturas dos exemplares em que apenas
conhecemos as melhores soluções é de 39,12%. Este fato poderá indicar que para
estes grupos de problemas podemos procurar soluções que possuam representantes
com menor número de inversões. Destacamos o caso Sko100 do grupo Sko, pois a
altura ficou em 41%, o que indica que a solução viável encontrada deve estar um
pouco mais longe da ótima. Este fato é bastante natural, dado que os exemplares
de dimensão 100 são muito difíceis e os algoritmos heurísticos encontram boas
soluções viáveis, porém com menos precisão.
5.2 Gráficos de Comparação: Custos x Número de Inversões
Para uma outra comparação entre os custos das soluções dos exemplares testados
com o número de inversões das respectivas permutações no grafo GLiv, traçamos
gráficos de pares de curvas, uma referente aos custos de 50 soluções j Î Pn do
PQA, geradas para cada caso da Tabela_1 e outra referente ao número de
inversões das respectivas permutações r Î PN. A primeira curva é descrita pelos
pares (i, Z(ji)), i= 1,2,...50 tal que Z(ji) é o custo da solução i e a
segunda, pelos pares (i, |Á(ri)|) com riÎPN. Como exemplo, escolhemos as curvas
referentes às soluções geradas para Rou20 e Nug20. Mesmo não sendo livremente
comparáveis todos os pares das 50 soluções geradas, os gráficos descrevem
curvas muito semelhantes. As Figuras_1a e 1b apresentam os gráficos
relacionados a Rou20 em que 92% dos pontos coincidem e as Figuras_2a e 2b
ilustram Nug20, em que 86% dos pontos descrevem o mesmo traçado para as curvas.
Para os outros casos, o comportamento foi semelhante, com exceção do grupo Chr
(Christofides), que talvez seja o grupo dos casos mais difíceis de serem
resolvidos, dentre aqueles registrados na literatura. Para exemplificar, Chr18a
obteve apenas 50% de coincidência no traçado.
5.3 Análise por Regressão Linear
Sabemos que um dos objetivos da análise por regressão linear é predizer o valor
da variável dependente em função de um valor conhecido da variável
independente. Para os testes que fizemos usando esta técnica, geramos uma
amostra de 150 soluções de exemplares do PQA, para os quais calculamos custos e
número de inversões das respectivas permutações. Os números de inversões foram
tomados como variáveis livres e os custos como dependentes. Os diagramas de
dispersão foram construídos com os números de inversões em ordem crescente
sobre o eixo das abscissas e para i =1,2...,150marcamos os pontos (|Á(ri)|,Z
(ji)), no plano cartesiano. Os parâmetros da linha que fornece a melhor
aproximação são estimados pelo Método dos Mínimos Quadrados que pode ser
encontrado em qualquer referência básica de Estatística, como exemplo [CF76].
Em nossas amostras temos k=150, logo podemos aproximar a distribuição t-Student
pela normal, que para um nível de significância a =0,05, o parâmetro crítico é
tabelado em tc=1,645.
Felizmente todos os coeficientes lineares determinados das retas estimados pelo
Método dos Mínimos Quadradosforam positivos, indicando a relação direta entre
custos e número de inversões, cujos testes de hipóteses validaram a relação
linear e direta, a exceção de Chr18b. Como exemplo, escolhemos novamente Rou20
e Nug20. As Figuras_3 e 4 mostram as representações gráficas das retas de
regressão, para cada caso, cujas relações entre custo x número de inversões
estão bem próximas, dado que ambos os coeficientes de correlação rsão próximos
a 1. Para os outros exemplares dos grupos das Tabelas_1 e 2, o comportamento
foi semelhante, a exceção de Ste36a e Ste36b, cujos coeficientes de correlação
estão próximos a 0,25. Mesmo assim, os testes de hipóteses confirmam a relação
linear e direta.
6. Conclusões
Neste trabalho provamos dois teoremas: o Teorema da Ordenação Parcial Livre e o
Teorema das Inversões. O primeiro estabelece uma ordenação no conjunto de
soluções do PAL e conseqüentemente no conjunto de soluções dos exemplares do
PQA a ele relacionados. Tal ordenação induz uma nova ordenação no conjunto das
permutações que contém a conhecida ordenação dada pelas inversões das
permutações, vértices do grafoGLiv. Isto permitiu demonstrar, utilizando grafos
de comparabilidade, o segundo teorema. Este nos deu a possibilidade de
investigar se o número de inversões correspondentes às soluções de exemplares
do PQA pode ser usado como parâmetro para avaliação da qualidade das soluções
encontradas por técnicas heurísticas, já que as mesmas não garantem a
otimalidade da solução encontrada. Assim, fizemos três tipos de testes na
tentativa de validação do referido parâmetro. No primeiro teste, concluímos que
a solução ótima de qualquer caso do problema se encontra, em média a 32% da
altura do grafo GLive paraos exemplares que ainda não foram resolvidos
otimamente tem-se para as melhores soluções viáveis conhecidas uma altura, em
média, 39% do grafo. O fato de a primeira média ser menor que a segunda é
perfeitamente aceitável, pois acreditamos que as soluções ótimas desses casos,
que ainda não se sabe se foram ou não encontradas, possuam representantes
emGLivcom menor número de inversões. Fizemos o segundo teste por comparação das
curvas que descrevem os comportamentos dos custos das soluções e dos números de
inversões das permutações correspondentes em GLiv, e observamos que, em média,
76% dos pontos desenhados apresentam a mesma trajetória. O terceiro e último
teste, correspondente à análise de regressão linear, mostra que os custos estão
diretamente relacionados com o número das inversões das permutações associadas,
dado que encontramos os coeficientes da reta sempre positivos e
significativamente diferentes de zero. Pelo menos para os pares de permutações
livremente comparáveis, o Teorema das Inversões já estabelece que seus
correspondentes custos crescem com os números de inversões das suas respectivas
permutações. Verificamos, através dos testes, que até mesmo em relação a pares
de permutações não livremente comparáveis, é possível manter esta tendência
para a maioria dos casos. Cabe acrescentar que o resultado provado pelo Teorema
das Inversões havia sido proposto por [Ab84] e já foi aplicado na definição de
movimentos de buscas locais utilizadas pelas metaheurísitcas GRASP, [RAB00] e
Simulated Annealing [AQB99], ambos apresentando resultados satisfatórios para o
PQA. Também vale à pena acrescentar que o Teorema da Ordenação Parcial Livre,
além de estabelecer uma ordenação no conjunto das soluções dos problemas aqui
estudados, certamente nos permite estabelecer critérios hierárquicos de decisão
na escolha das soluções num prosseguimento da busca local. Este teorema
introduz uma ordenação parcial no conjunto das permutações baseada em produtos
escalares, caracterizando um poset que contém o já conhecido poset das
inversões, cujo diagrama de Hasse determina o permutaedro [RA02]. Este último
fato é uma contribuição à Matemática Discreta.
