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Uma revisão comentada das abordagens do problema quadrático de alocação

1. Introdução Consideremos o problema de se designar objetos a locais de modo que cada objeto seja atribuído a um único local e reciprocamente, quando são conhecidas as distâncias entre os pares de locais, os fluxos de algum tipo de demanda entre os pares de objetos e, nos casos mais gerais, os custos fixos de cada atribuição "objeto versus local". O Problema Quadrático de Alocação (PQA), Quadratic Assignment Problem (QAP) na literatura internacional, consiste em encontrar uma alocação de custo mínimo dos objetos aos locais, sendo os custos obtidos pela soma dos produtos distância-fluxo.

Proposto originalmente por Koopmans & Beckmann (1957) como um modelo matemático relacionado a atividades econômicas, o PQA aparece em inúmeras aplicações práticas: Steinberg (1961) o utilizou para minimizar a quantidade de ligações entre componentes de placas de circuitos eletrônicos; Francis & White (1974), no desenvolvimento de um framework de decisões de alocação de uma nova facilidade (postos policiais, supermercados, escolas) que atenda a um dado conjunto de clientes; Geoffrion & Graves (1976), em problemas de escalonamento de horário; Pollatschek et al. (1976), na definição de design de teclados e painéis de controle; Krarup & Pruzan (1978), em arqueologia; Forsberg et al. (1994), em análise de reações químicas; Hubert (1987), em análise estatística; Bokhari (1987), em computação paralela e distribuída; Bos (1993), em um problema relacionado a parques florestais. No entanto, é como problema de layout que o PQA vem sendo mais extensivamente aplicado: Elshafei (1977) o utilizou em planejamentos de hospitais, além de Dickey & Hopkins (1972) que o utilizaram na modelagem de localização de construções em campus universitário. Outras aplicações podem ser encontradas em McCormick (1970), Hubert & Schulz. (1976), Heffley (1977), Los (1978), Krackhardt (1988), Khare et al. (1988a, 1988b), Bland & Dawson (1991), Lacksonen & Enscore (1993), Medova (1994), Gouveia & Voß (1995), Bozer & Suk-Chul (1996), Mason & Rönnqvist (1997), Ostrowski & Ruoppila (1997), Ball et al.

(1998), Haghani & Chen (1998), Kochhar et al. (1998), Martin (1998), Sarker et al. (1998), Spiliopoulos & Sofianopoulou (1998), Tansel & Bilen (1998), Tavakkoli-Moghaddain & Shayab (1998), Urban (1998), Gong et al.

(1999), Rossin et al. (1999), Hahn & Krarup (2001), Pitsoulis et al.

(2001), Siu & Chang (2002), Youssef et al. (2003) e Yu & Sarker (2003).

Desde a sua primeira formulação, o PQA tem atraído a atenção de pesquisadores em todo o mundo, não apenas pela sua importância prática e teórica, mas principalmente pela sua complexidade. Trata-se de um dos mais difíceis problemas de otimização combinatória: instâncias de ordem n > 30 não podem, em geral, ser resolvidas exatamente em tempo computacional aceitável. Sahni & Gonzales (1976) mostraram que o PQA é NP-árduo e que, a menos que P = NP, não será possível encontrar para ele uma solução aproximada por um fator constante da solução ótima. Tais resultados são válidos mesmo quando fluxos e distâncias aparecem como coeficientes de matrizes simétricas.

Diversos problemas NP-árduos de otimização combinatória, como os problemas do caixeiro viajante, do empacotamento, da clique maximal e do isomorfismo de grafos, podem ser modelados como PQA's. A investigação de problemas de Otimização Combinatória através de instâncias disponibilizadas na Internet é uma tendência atual permitindo que se utilizem algoritmos exatos onde isso for possível ou obter ótimos locais melhores que a melhor solução conhecida para exemplares cuja otimalidade ainda não foi comprovada (Burkard et al., 1996a; e Çela, 1998). No caso do PQA, podemos citar, como exemplo, instâncias com soluções ótimas recentemente provadas: Tai25a, em 2003, por Peter Hahn; Ste36a, em 2001, por Brixius e Anstreicher; Bur26a, em 2001, por Peter Hahn; Kra30a, Kra30b, Kra32 e Tho30, em 2000, por Anstreicher, Brixius, Goux e Linderoth; Nug30 (uma das instâncias mais conhecidas e desafiadoras), em 2000, por Anstreicher, Brixius, Goux e Linderoth; Ste36b e Ste36c, em 1999, por Nystrõm.

Em 2003, Misevicius melhorou a melhor solução conhecida para Tai80a, utilizando uma busca tabu modificada (Burkard et al., 1991, 1997; QAPLIB). Estes resultados motivaram o artigo de Anstreicher (2003) que registra os recentes avanços na solução de instâncias do PQA, destacando-se os novos algoritmos e as novas estruturas computacionais utilizadas para isto. Cabe informar que além dos exemplares disponíveis para testes em Burkard et al. (1991, 1997) e QAPLIB, hoje em dia existem geradores de instâncias com ótimos conhecidos que são utilizados para testar os algoritmos (Çela, 1998).

Outra tendência atual das pesquisas em Otimização Combinatória é estudar versões polinomiais de problemas ou procurar instrumentos para análise da dificuldade dos exemplares. No caso do PQA, Çela (1998) apresenta diversos exemplares polinomiais, além de Herroelen & Vanglis (1985), Mautor & Roucairol (1994b), Angel & Zissimopoulos (1998, 2000, 2001, 2002) e Abreu et al. (2002) que discutem a dificuldade de outros exemplares em função das variâncias dos coeficientes das matrizes de fluxo e distância que os definem.

Os seguintes surveys são referências indispensáveis para quem deseja conhecer bem este problema: Burkard (1984, 1991, 2002), Pardalos et. al. (1994) e Burkard et al. (1998), assim como, os livros: Pardalos & Wolkowicz (1994), Padberg & Rijal (1996), Dell'Amico et al. (1997) e Çela (1998).

Na tentativa de identificar novas propriedades estruturais para as instâncias do PQA, muitas formulações aparecem com base em diferentes enfoques. Propomos reunir aqui tais formulações, destacando as principais características de cada uma, para classificá-las segundo as técnicas usadas, desde a Programação Inteira e a Programação Semidefinida Positiva, passando pela Matemática Discreta e Combinatória através das teorias de Grupos e de Grafos, até a Álgebra Linear, via Teoria Espectral. Considerando as dificuldades do PQA, essas formulações, quase sempre equivalentes (à exceção das que caracterizam situações mais gerais) fornecem recursos matemáticos alternativos para o desenvolvimento de novas técnicas de resolução do problema. Ao final do artigo, relatamos as contribuições obtidas a partir de tais formulações, quer na elaboração de algoritmos exatos ou heurísticos, quer no cálculo de limites inferiores ou na caracterização de classes de exemplares do problema.

2. Formulações do PQA e de Problemas Relacionados O objetivo deste item é apresentar as principais formulações do PQA, destacando-se o tipo de abordagem adotado em cada uma delas. Formulações para problemas relacionados ao PQA serão acrescentadas ao final, apenas com a finalidade de indicar as contribuições colaterais obtidas, sem preocupação em discutir as técnicas matemáticas utilizadas.

2.1 Principais Formulações do PQA Formulações por Programação Inteira (PLI): Inicialmente apresentaremos o PQA como um caso de programação booleana para depois apresentá-lo como um problema de programação linear, onde as restrições binárias são relaxadas. A formulação booleana foi proposta inicialmente por Koopmans & Beckmann (1957), sendo depois utilizada em diversos trabalhos, tais como Steinberg (1961), Lawer (1963), Gavett & Plyter (1966), Elshafei (1977), Bazaraa & Kirca (1983), Christofides & Benavent (1989), Bos (1993), Mans et al. (1995), Jünger & Kaibel (1996a, 1996b, 2001) e mais recentemente por Liang (1996), Torki et al. (1996), Tsuchiya et al. (1996, 2001), Maniezzo (1997), Ball et al.

(1998), Ishii & Sato (1998), Kochhar et al. (1998), Martin (1998), Spiliopoulos & Sofianopoulou (1998), Siu & Chang (2002), Fedjki & Duffuaa (2004) e Yu & Sarker (2003).

Consideremos fij o fluxo entre os objetos i e j e dkp a distância entre as localizações k e p. Deseja-se então calcular:

Se considerarmos a função do custo de atribuição de atividades a locais, uma instância PQA de ordem n, em sua forma mais geral, é dada por três matrizes F = [fij], D = [dkp] e B = [bik], onde as matrizes F e D definem os fluxos entre os objetos e as distâncias entre as localizações, respectivamente, e bik é o custo para alocar o objeto i à posição k. Considerando o custo fixo de alocação, o problema pode então ser definido por:

A maioria dos autores dispensa a parcela linear de (2.5), dado que ela pode ser facilmente resolvida.

Uma versão ainda mais geral do PQA, proposta por Lawler (1963), envolve coeficientes de custos cijkp que não correspondem necessariamente a produtos de fluxos fij por distâncias dkp. Assim, a formulação de Lawler é dada:

Esta formulação foi utilizada, também, em Bazaraa & Elshafei (1979), Drezner (1995), Sarket et al. (1995, 1998), Brüngger et al. (1997, 1998), Chiang & Chiang (1998), Hahn & Grant (1998), Hahn et al. (1998), Gong et al. (1999) e Rossin et al. (1999).

Formulações por Programação Inteira Mista (PLIM): O PQA, como um modelo de Programação Linear Inteira Mista, PLIM, é encontrado na literatura, via diversas propostas. Em todas elas, o termo quadrático da função objetivo do problema é substituído por termos lineares. Por exemplo, Lawler (1963) compensou este termo por imposição de restrições dadas a n4 variáveis, tais como .

Outras formulações utilizam relaxações do problema original. Enquadram-se nesta categoria os trabalhos de Love & Wong (1976a, 1976b), Kaufman & Broeckx (1978), Balas & Mazolla (1980), Bazaraa & Sherali (1980), Christofides et al. (1980), Burkard & Bonniger (1983), Frieze & Yadegar (1983), Assad & Xu (1985), Adams & Sherali (1986), Christofides & Benavent (1989) e ainda os artigos de Adams & Johnson (1994), Drezner (1995), Gouveia & Voß (1995), Padberg & Rijal (1996), Ramachandran & Pekny (1998), Karisch et al. (1999) e de Ramakrishnan et al. (2002). Em geral, as linearizações do PQA, baseadas em modelos de PLIM, apresentam um grande número de variáveis e restrições, o que as torna, quase sempre, inconvenientes. No entanto, elas permitem explorar propriedades que resultam da linearidade da função objetivo, o que, ao lado da relaxação de algumas restrições, possibilita a determinação de limites inferiores para a solução ótima. Nesta abordagem se destacam os trabalhos de Kaufman & Broeckx (1978), Bazaraa & Sherali (1980), Frieze & Yadegar (1983), Adams & Sherali (1986), Adams & Johnson (1994) e Padberg & Rijal, (1996). Çela (1998) destaca três linearizações do PQA: a de Kaufman & Broeckx (1978), por conter o menor número de restrições; a de Frieze & Yadegar (1983) por obter os melhores limites inferiores via relaxação lagrangeana e a de Padberg & Rijal (1996), porque descreve o politopo das soluções do PQA. A vantagem trazida pela formulação de Frieze & Yadegar (1983) que descreve o PQA de forma linear, utilizando-se n4 variáveis reais, n2 variáveis booleanas e n4 + 4n3 + n2 + 2n restrições, nos leva a inseri-la aqui. Os autores mostram que sua formulação dada em (2.7) a (2.16) é equivalente às equações (2.1) a (2.4).

Formulação por permutações: Em sua forma mais simples, o custo de alocar um par de objetos a um par de localizações é proporcional ao fluxo e à distância entre eles. A formulação do PQA que destaca essa proporcionalidade e utiliza o conceito de permutação pode ser encontrada em Hillier & Michael (1966), Graves & Whinston (1970), Pierce & Crowston (1971) e, posteriormente, em Cung et al. (1977), Burkard & Stratman (1978), Roucairol (1979, 1987), Burkard (1984), Frenk et al. (1985), Abreu & Boaventura-Netto (1989), Brown et al. (1989), Bland & Dawson (1991, 1994), Battiti & Tecchiolli (1994a, 1994b), Bui & Moon (1994), Chakrapani & Skorin-Kapov (1994), Fleurent & Ferland (1994), Li et al. (1994b), Mautor & Roucairol (1994a, 1994b), Li & Smith (1995), Taillard (1995), Bozer & Suk-Chul (1996), Colorni et al. (1996), Huntley & Brown (1996), Peng et al. (1996), Mavridou & Pardalos (1997), Merz & Freisleben (1997), Nissen (1997), Pardalos et al. (1997), Angel & Zissimopoulos (1998), Deineko & Woeginger (1998), Talbi et al. (1998a, 1998b, 2001), Tansel & Bilen (1998), Abreu et al. (1999), Fleurent & Glover (1999), Gambardella et al. (1999), Maniezzo & Colorni (1999) e Tian et al. (1999). A partir de 2000, temos ainda as seguintes publicações Ahuja et al. (2000), Angel & Zissimopoulos (2000, 2001 e 2002), Stützle & Holger (2000), Arkin et al. (2001), Pitsoulis et al. (2001) e ainda em Abreu et al. (2002), Gutin & Yeo (2002), Hasegawa et al. (2002), Boaventura Netto (2003) e Rangel & Abreu (2003).

Considere Sn o conjunto de todas as permutações a n elementos e sejam fij, o fluxo entre os objetos i e j e dp(i)p(j), a distância entre as localizações p (i) e p (j), dada pela permutação p ÎSn. Se cada permutação p representar uma alocação de objetos a locais, a expressão matemática para o PQA toma a forma:

Esta formulação e a apresentada em (2.1) a (2.4) são equivalentes, dado que as restrições (2.2) e (2.3) definem matrizes de permutações X = [xij] que caracterizam permutações em Sn, como visto em (2.17). Lá se tem, para todo 1 < i, j< n,

Formulação Traço: Esta formulação explora, com recursos da álgebra linear, as propriedades da função traço de uma matriz (soma dos elementos da diagonal principal da matriz) para determinar limites inferiores do custo ótimo do problema. Trata-se de uma abordagem por teoria espectral de matrizes, o que vem permitindo a aplicação da programação semidefinida ao PQA. Considerando-se P como o conjunto de todas as matrizes de permutações, a formulação traço, proposta por Edwards (1977), se apresenta como:

Posteriormente, esta abordagem foi utilizada em diversos trabalhos Edwards (1980), Finke et al. (1987), Hadley et al. (1990, 1992a, 1992b, 1992c), Hadley (1994), Karisch et al. (1994), Karisch & Rendl (1995), Zhao et al. (1998), Anstreicher et al. (1999), Wolkowicz (2000a, 2000b), Brixius & Anstreicher (2001) e Anstreicher & Brixius (2001).

Relaxação por Programação Semidefinida (PSD): Estas formulações definem relaxações do PQA e podem ser obtidas utilizando-se o dual do dual Lagrangeano de formulações equivalentes ao problema, como se vê em Karisch et al. (1994), Zhao et al. (1998), Wolkowicz (2000a, 2000b). A formulação por PSD é dada a seguir e considera o vetor e em que todos os coeficientes são iguais a 1, a matriz de permutação X e a matriz de custo fixo B.

Outra relaxação para o PQA utilizando SDP, encontrada em Zhao et al. (1998), pode ser assim expressa:

Formulação por Grafos: Dados dois grafos completos, um com arestas valoradas pelos fluxos e o outro pelas distâncias, o PQA pode ser pensado como a atribuição dos vértices de um grafo aos do outro, de modo a que as arestas estejam corretamente superpostas, caracterizando uma solução cujo custo é dado pela soma dos produtos dos valores associados às arestas. Em geral, esta formulação é algebricamente dada pela expressão (2.17), onde a permutação p representa a sobreposição dos vértices de um grafo completo sobre o outro. Veja a Figura_2.1.

O estudo algébrico e combinatório adotado por Abreu & Boaventura Netto (1989), Abreu et al. (1999) levou Marins (2001) a definir outra, envolvendo automorfismos de grafos de linha, tópico explorado em teoria algébrica de grafos. O grafo de linha de um grafo G, denotado por L(G), é determinado tomando-se para conjunto de vértices, o das arestas de G, enquanto uma aresta de L(G) é definida quando a ela corresponde um par de arestas incidentes num mesmo vértice de G. Um automorfismo de um grafo é uma permutação de seus vértices que preserva suas arestas. O conjunto de todos os automorfismos de G junto com a composição de permutações constitui um grupo denotado por Aut(L(G)) (Kreher & Stinson, 1998).

O teorema de Whitney (1932) pode ser utilizado para relacionar o grupo dos automorfismos de G com o dos automorfismos de L(G), garantindo que, para G = Kn, o grafo completo de n vértices, se n ¹ 2 e 4, Aut(G) e Aut(L(G)) são grupos isomorfos. Desta forma, Aut(Kn) é formado pelas n! permutações dos vértices de Kn. Assim, para n¹ 2, 4, temos os seguintes isomorfismos Aut(L(Kn)) " Kn " Sn. De posse destes resultados, Marins (2001) percebeu então que resolver o PQA consiste, tanto em se determinar uma permutação p ÎSn que minimize o somatório em (2.17) como em determinar um automorfismo de L(Kn).

Esta formulação, tendo o conjunto dos automorfismos do grafo linha de Kn como espaço solução do problema, pode ser expressa como segue:

Dado ser esta uma formulação recente, os primeiros trabalhos nesta linha estão em fase de experimentação (Marins, 2001).

2.2 Problemas Relacionados ao PQA O alcance teórico dos estudos do PQA atinge a uma série problemas que aqui apresentamos, nos limitando a definição de cada um com suas respectivas referências: PQA Bottleneck, Problema Biquadrático de Alocação, PQA 3- dimensional, Problema Semiquadrático de Alocação e PQA Multiobjetivo. Estes problemas, em sua maioria, foram relatados em Burkard (2002).

PQA Bottleneck: este problema é uma variação do PQA e consiste em calcular um coeficiente de valor mínimo dentre os máximos produtos dos "fluxos por distâncias" para cada permutação dada. Isto resulta na expressão:

A formulação acima também pode ser utilizada substituindo-se os elementos do conjunto em (2.29) por coeficientes mais gerais cijkl, 1£i, j, k, l£n. Este caso do PQA foi estudado em Steinberg (1961), Burkard & Fincke (1982), Burkard & Zimmermann (1982) e Burkard (2002).

O Problema Biquadrático de Alocação (Biquadratic Assignment Problem): Proposto por Burkard et al. (1994) foi também estudado por outros pesquisadores, destacando-se as referências Burkard & Çela (1995), Mavridou et al. (1998) e Burkard (2002). Tem como dados, matrizes de fluxos e distâncias F = [fijkl] e D = [dmpst], cada uma delas de ordem n4. O que se deseja é determinar uma permutação p ÎSn, cujo custo associado seja mínimo, dentre aquelas que fornecem os valores do quádruplo somatório:

O PQA 3-dimensional (Three-index Assignment Problem): neste, diferentemente do caso anterior, deseja-se determinar duas permutações p e j Î Sn, tais que minimize a expressão:

Foi sugerido por Pierskalla (1967, 1968). Alguns anos depois, Hansen & Kaufman (1973) apresentaram um algoritmo primal-dual para o problema e Burkard & Fröhlich (1980) propuseram um algoritmo do tipo branch-and-bound para resolvê-lo. Emelichev et al. (1984) fornecem uma análise detalhada sobre problemas de transporte com múltiplos índices, baseado nesta formulação. O PQA 3-dimensional é um dos problemas mais estudados, relacionados ao quadrático de alocação, como se observa pela extensa lista de referências disponíveis: Vlach (1967), Frieze (1974, 1983), Frieze & Yadegar (1981), Burkard et al. (1986, 1996a, 1996b), Euler (1987), Balas & Saltzman (1989), Balas & Saltzman (1991), Bandelt et al. (1991), Crama & Spieksma (1992), Balas & Qi (1993), Burkard & Rudolf (1993), Qi et al. (1994), Magos & Miliotis (1994), Poore (1994a, 1994b, 1995, 1997), Fortin & Rudolf (1995), Burkard & Çela (1996), Magos (1996), Aiex (2000) e Burkard (2002).

O Problema Semiquadrático de Alocação (Quadratic Semiassignment Problem ou Semi-quadratic Assignment Problem): foi estudado em Carraresi & Malucelli (1994) e pode ser expresso matematicamente assim:

Algumas aplicações daí derivadas estão em Simeone (1986a, 1986b) e Bullnheimer (1998) e referências para casos polinomiais e para heurísticas são Freeman et al. (1966), Magirou & Milis (1989) e Malucelli & Pretolani (1993).

O PQA Multiobjetivo (Multiobjective QAP mQAP): Recentemente em Knowles & Corne (2002a, 2002b) apresentaram uma outra variação do PQA que considera múltiplas matrizes de fluxos. Este problema foi introduzido como um caso de benchmark problem a ser solucionado por metaheurísticas multiobjetivas ou algoritmos evolucionários mutiobjetivos. Segundo os autores esta forma parece ser mais apropriada para alguns tipos de problemas de layout, como o de alocação de instalações em hospitais, onde é necessário minimizar simultaneamente os produtos dos fluxos pelas distâncias entre médicos e pacientes e entre enfermeiros e equipamentos médicos. Sua expressão matemática é:

Nesta última restrição <formula/> denota o k-ésimo fluxo entre a facilidade i e a facilidade j.

3. Limites Inferiores O estudo de limites inferiores é importante no desenvolvimento de algoritmos de resolução de problemas de programação matemática e de otimização combinatória.

Em geral, os métodos exatos trabalham com enumeração implícita, procurando-se garantir o ótimo e ao mesmo tempo evitando-se a enumeração completa das soluções viáveis dos problemas. O desempenho de tais métodos depende diretamente da qualidade e da eficiência computacional dos limites inferiores envolvidos. Desta forma, os limites inferiores tornam-se instrumentos fundamentais para as técnicas branch-and-bound e também para testar a qualidade das soluções produzidas por algoritmos heurísticos. Medimos a qualidade de um limite inferior pela distância entre o mesmo e a solução ótima do problema.

Assim, bons limites devem estar próximos dos valores ótimos. Os limites inferiores para os métodos exatos, além de apresentarem boa qualidade, precisam ser eficientes computacionalmente, enquanto na avaliação de métodos heurísticos eles devem ser escolhidos muito mais em função de sua qualidade do que do tempo computacional gasto para calculá-los. Em problemas NP-árduos, procura-se sempre por bons limites inferiores. No caso do PQA, um dos mais difíceis, esta é uma tarefa desafiadora.

Dentre os limites mais conhecidos para o PQA, destaca-se o de Gilmore e Lawler, por ser um dos mais simples e de baixo custo computacional. Sua inconveniência está em que a distância entre ele e o custo da a solução ótima do problema cresce muito rapidamente com o aumento do tamanho do problema, tornando-o assim um limite de baixa qualidade para exemplares grandes. Atualmente, os limites inferiores baseados em autovalores e programação semidefinida são os melhores encontrados, porém são bastante caros computacionalmente. No entanto, Anstreicher & Brixius (2001) desenvolveram um novo limite inferior para o PQA, utilizando programação semidefinida e programação quadrática convexa, que apresenta uma relação muito boa entre custo e qualidade.

O limite de Gilmore e Lawler (GLB) (Lawler, 1963; e Gilmore, 1962): é dado pela solução do seguinte Problema de Alocação Linear (PAL):

Para resolver o problema de minimização de (3.1) a (3.4) é preciso determinar os coeficientes lij, resolvendo o PAL abaixo:

Métodos que melhoram a qualidade do GLB, bem como o seu uso em algoritmos para resolver o PQA, podem ser encontrados em Roucairol (1979, 1987), Edwards (1980), Frieze & Yadegar (1983), Finke et al. (1987), Maniezzo (1997), Burkard (1991), Brüngger et al. (1997, 1998), e Spiliopoulos & Sofianopoulou (1998).

Limites Baseados em Relaxações PLIM: A solução ótima de um problema formulado por PLIM é um limite inferior para o ótimo do PQA correspondente e cada solução do dual de programação linear é, também, um limite inferior para o ótimo do PQA. Em vista disso, diversos autores utilizam esta ferramenta, destacando-se Frieze & Yadegar (1983), Assad & Xu (1985), Adams & Johnson (1994), Drezner (1995), Ramachandran & Pekny (1998) e Karisch et al. (1999).

Limites Baseados em Reformulações do GLB: As idéias utilizadas para calcular o GLB foram adaptadas por outros autores, dando origem aos limites inferiores dados por Frieze & Yadegar (1983), Assad & Xu (1985), Carraresi & Malucelli (1992, 1994) e Adams & Johnson (1994) e a um limite baseado em na formulação dual de Hahn & Grant (1998) e Hahn et al. (1998). Tais limites definem uma seqüência finita de problemas equivalentes ou reformulações do problema original, em geral relaxações lineares, e calculam o limite de Gilmore e Lawler para cada reformulação. A seqüência de problemas P0 = P, P1, ... ,Pk , produz outra, de soluções, que correspondem às relaxações lineares, fornecendo então uma seqüência de limites inferiores não decrescentes para o PQA. Os limites produzidos por Assad & Xu (1985) e por Carraresi & Malucelli (1992, 1994) são comparáveis aos obtidos por Frieze & Yadegar (1983) em termos de qualidade, com a vantagem de demandar menor tempo computacional. Não há, no entanto, uma prova teórica de sua convergência. Ainda nesta linha, temos os limites baseados em formulações duais: tais limites combinam as idéias do GLB com um esquema de redução iterativo, utilizando o dual de uma relaxação de programação linear do problema original (Hahn & Grant, 1998; Hahn et al., 1998). Os resultados computacionais de Hahn & Grant (1998) mostram que estes limites são competitivos em termo de qualidade quando comparados a alguns dos melhores limites existentes, sendo superiores em termos de tempo computacional.

Limites Baseados em Métodos de Pontos Interiores: Resende et al. (1995) usam uma relaxação linear dada por PLIM conjugada com métodos de pontos interiores e com um algoritmo aproximado, conhecido por dual projetivo de Karmarkar & Ramakrishnan (1991). Com o uso desta técnica, eles obtiveram limites melhores que os de Adams & Johnson (1994), em termos de qualidade, sendo superados somente pelos limites baseados em decomposição triangular que só podem ser calculados para PQA's com estruturas especiais, (PQA grids). No entanto, estes limites requerem alto esforço computacional, não sendo recomendado para algoritmos do tipo branch-and-bound. Neste caso, recomenda-se o limite inferior dual de Hahn & Grant (1998), pois trata-se do único limite conhecido capaz de com menor esforço computacional competir com o anterior em termos de qualidade.

Limites por Redução de Variância: Propostos inicialmente por Li et al. (1994a), são baseados em esquemas de redução ao ótimo do PQA, definidos a partir da variância das matrizes F e D. Estes pesquisadores usam estes limites em um algoritmo branch-and-bound. Experimentalmente, eles apresentam baixo custo computacional e, em geral, são melhores que o de Gilmore e Lawler, sendo mais eficientes quando as matrizes de fluxos e distância possuem variância alta.

Limites Baseados na Formulação por Grafos: Como já vimos, matrizes n´n, F e D, que armazenam os dados para um exemplar do PQA, podem ser vistas como matrizes de adjacência de dois grafos valorados e completos KF e KD. Sabemos que cada permutação p ÎSn define um isomorfismo entre KF e KD. Se considerarmos Z(F, D,p) como o custo deste isomorfismo, resolver o PQA significa encontrar um isomorfismo de custo mínimo entre KF e KD. Um limite inferior que usa este conceito foi proposto originalmente por Lawler (1963) e por Gavett & Plyter (1966), sendo posteriormente adaptado por Christofides & Gerrard (1981). A idéia básica consiste em decompor os grafos KF e KD em k subgrafos isomorfos, KF(1), KF(2), ... , KF(k) e KD(1), KD(2), ..., KD(k). Deste modo, os subgrafos KF(i) e KD(i), devem ter o mesmo conjunto de vértices de KF e KD e toda aresta em cada uma das cliques deve estar presente em pelo menos um dos subgrafos correspondentes. Portanto, o número de ocorrências de uma aresta de KF e KD nos subgrafos KF(i) e KD(i) é uma constante d. Um isomorfismo entre KF e KD, associa cada subgrafo KF(i) a exatamente um subgrafo KD(j), 1£i, j£k. O valor ótimo de um custo correspondente ao PAL, definido a partir dos coeficientes de custos do PQA, multiplicado por 1/d, determina um limite inferior para o valor do custo ótimo do problema quadrático.

Limites Espectrais: Há dois grupos deles, um apresenta limites derivados da formulação traço e o outro reúne aqueles relacionados à formulação PSD. Ambos são determinados em função dos autovalores das matrizes relacionadas aos dados do problema. Em geral, os limites espectrais são os melhores conhecidos para o PQA, mas o seu cálculo envolve determinação de raízes de polinômios (autovalores) que, como sabemos, é de grande dificuldade computacional. Limites espectrais podem ser encontrados em: Finke et al. (1984, 1987), Rendl (1985), Hadley et al. (1990, 1992a, 1992b), Rendl & Wolkowicz (1992), Karisch et al. (1994), Zhao et al. (1998), Anstreicher (2001) e Anstreicher & Brixius (2001).

4. Métodos de Resolução Uma estratégia para alcançar uma solução exata de problemas muito complexos é dividi-lo em subproblemas menores na tentativa de resolvê-los de forma exata.

No entanto, na maioria dos casos, tais problemas somente são resolvidos de forma heurística, a partir da combinação de diferentes métodos. No contexto do PQA apresentaremos as diferentes técnicas utilizadas para resolvê-lo, destacando-se as referências mais importantes.

4.1 Algoritmos Exatos Os diferentes métodos utilizados para encontrar uma solução ótima global para o PQA compreendem branch-and-bound, planos de corte ou combinações destes, como branch-and- cut, e programação dinâmica. Os algoritmos do tipo branch-and-bound são os mais conhecidos e utilizados e são definidos a partir de uma regra de alocação e de uma regra de corte que, em geral, é ditada por um limite inferior do problema. Em Gilmore (1962), Land (1963) e Lawler (1963) encontramos os primeiros esquemas enumerativos que usam limites inferiores para eliminar soluções não desejadas. Diversas referências estão disponíveis sobre algoritmos branch-and-bound para o PQA. Dentre as mais antigas, destacamos Gavett & Plyter (1966), Nugent et al. (1969), Graves & Whinston (1970), Pierce & Crowston (1971), Burkard & Stratman (1978), Bazaraa & Elshafei (1979), Mirchandani & Obata (1979), Roucairol (1979), Burkard & Derigs (1980), Edwards (1980), Bazaraa & Kirca (1983), Kaku & Thompson (1986) e Pardalos & Crouse (1989) e dentre as mais recentes temos Burkard (1991), Laursen (1993), Mans et al. (1995), Bozer & Suk-Chul (1996), Pardalos et al. (1997), Brüngger et al. (1998), Ball et al. (1998), Spiliopoulos & Sofianopoulou (1998) e Brixius & Anstreicher (2001). Nos últimos anos estão sendo muito utilizados procedimentos que combinam técnicas de branch-and-bound com implementação paralela. É através destas implementações que se tem obtido os melhores resultados para o PQA, cujo sucesso na resolução de instâncias maiores também está diretamente relacionado ao avanço tecnológico alcançado em relação ao hardware. Os resultados publicados nesta categoria estão em Roucairol (1987), Pardalos & Crouse (1989), Mautor & Roucairol (1994a), Brüngger et al. (1997), Clausen & Perregaard (1997) e Maniezzo (1997).

A programação dinâmica é uma técnica utilizada em casos especiais do PQA onde a matriz de fluxos é a matriz de adjacência de uma árvore. Estes casos foram estudados por Christofides & Benavent (1989) que, utilizando a abordagem PLIM, resolvem o problema relaxado com um algoritmo de programação dinâmica.

Isto só foi possível, porque tais instâncias têm complexidade polinomial. Esta técnica também foi utilizada por Urban (1998).

Métodos de planos de corte aplicados ao PQA foram introduzidos por Bazaraa & Sherali (1980). Tais métodos apesar de não apresentarem resultados satisfatórios contribuíram na formulação de algumas heurísticas baseadas em planos de corte que fazem uso de PLIM e da decomposição de Benders. A técnica empregada ainda não é amplamente utilizada, mas têm fornecido soluções de boa qualidade no caso do PQA, cuja convergência lenta, só permite resolver pequenas instâncias (Kaufman & Broeckx, 1978; Balas & Mazolla, 1980; Bazaraa & Sherali, 1980, 1982; e Burkard & Bonniger, 1983). A técnica branch- and-cut, cujo termo foi proposto originalmente por Padberg & Rinaldi (1991), surge como uma estratégia alternativa às anteriores e explora o politopo definido pelas soluções viáveis do problema considerado. A principal vantagem de algoritmos branch-and-cut sobre os de planos de corte é o uso de cortes que são válidos para o politopo formado por todas as soluções viáveis, definindo facetas. Tais cortes associados às facetas são mais significativos que os produzidos pelo método de planos de corte, pois a convergência para uma solução ótima é acelerada. O pouco conhecimento do politopo caracterizado pelas soluções do PQA é o motivo pelo qual os planos de corte poliédricos ainda quase não são aplicados neste caso. Apesar disso, alguns pesquisadores tem conseguido, nos anos mais recentes, encontrar propriedades básicas desse politopo, o que poderá contribuir para futuros desenvolvimentos de algoritmos.

Consulte Jünger & Kaibel (1996a, 1996b, 2001) e Padberg & Rijal (1996).

4.2 Algoritmos Heurísticos Algoritmos heurísticos são aqueles que não apresentam garantia de determinação da solução ótima para o problema estudado. Os métodos aproximativos podem se enquadrar nesta categoria, acrescentando-se que, para estes casos, são conhecidas propriedades com garantia do pior caso. Além disso, conforme Osman & Laporte (1996), é comum, na literatura de Otimização Combinatória, os algoritmos aproximativos serem tratados como algoritmos heurísticos. É neste contexto que nos enquadramos estamos considerando técnicas heurísticas apenas como procedimentos dedicados ao problema considerado na busca de soluções de boa qualidade. As técnicas mais abrangentes e atuais que podem ser adaptadas a diversos problemas são as metaheurísticas e serão objetos do próximo tópico. As heurísticas para o PQA abrangem os seguintes tipos: métodos construtivos, métodos de enumeração limitada e métodos de melhoria. Ao final deste item, destacamos os algoritmos aproximativos com propriedades matemáticas para garantir o pior caso mas, que dado a dificuldade do PQA, são aplicados apenas a instâncias muito particulares.

Os métodos construtivos surgiram com Gilmore (1962) e sugerem, em cada caso, a construção de uma permutação, de modo que a cada passo um objeto é atribuído a um dado local. Considere os conjuntos A e L, o primeiro, de objetos alocados e o segundo, de localizações ocupadas, ambos inicialmente vazios. Em tais métodos a construção de uma permutação p é feita de forma heurística, escolhendo-se a cada passo, a próxima alocação (i,j), tal que iÏA, jÏL, e fazendo-se p(i) = j.

Para um problema de ordem n o processo é repetido até completar uma permutação na ordem do problema. Tais métodos foram utilizados em Armour & Buffa (1963), Buffa et al. (1964), Sarker et al. (1995, 1998), Tansel & Bilen (1998), Burkard (1991), Arkin et al. (2001), Gutin & Yeo (2002) e Yu & Sarker (2003).