Uma aproximação da fronteira eficiente para um problema de localização
hierárquico de máxima cobertura
1. Introdução
No processo de solução dos problemas multi-objetivo uma das atividades a ser
realizada é a determinação da fronteira eficiente. Esta fronteira é definida
pelo conjunto das soluções eficientes ou não dominadas. Uma solução é eficiente
ou não dominada se uma melhora em um dos objetivos pode ser conseguida
unicamente em detrimento de pelo menos um dos outros objetivos; o leitor
interessado em aprofundar os conceitos sobre problemas multi-objetivo pode
consultar, por exemplo, Steuer (1986).
Na literatura especializada podem ser encontrados diversos métodos que permitem
determinar a fronteira eficiente em sua totalidade, ou, caso este processo seja
computacionalmente caro, buscar uma aproximação para a mesma. Um dos fatores
que influencia o processo de busca da fronteira eficiente é o tipo de problema
multi-objetivo tratado: problema linear multi-objetivo ou problema combinatório
multi-objetivo. Estes problemas podem ser considerados extensões dos problemas
de programação linear ou dos problemas combinatórios correspondentes.
Para solucionar problemas combinatórios multi-objetivo freqüentemente utilizam-
se métodos desenvolvidos para problemas lineares multi-objetivo. Nem sempre
estes métodos podem no entanto ser diretamente aplicados para solucionar
problemas combinatórios multi-objetivo. Um exemplo deste tipo de situação é o
uso do método das ponderações para determinar a fronteira eficiente de um
problema combinatório multi-objetivo. Nos problemas combinatórios o método das
ponderações encontra unicamente um subconjunto das soluções eficientes,
chamadas de soluções eficientes "suportadas". Há no entanto um subconjunto das
soluções eficientes que o método das ponderações não consegue encontrar,
denominadas de soluções eficientes "não suportadas".
Neste trabalho propomo-nos utilizar soluções geradas durante o processo de
busca da solução ótima do dual lagrangeano para encontrar uma aproximação da
fronteira eficiente de um problema combinatório, incluindo as soluções
eficientes "suportadas" e "não suportadas". Esta estratégia é utilizada para
encontrar uma aproximação da fronteira eficiente para uma extensão do Problema
de Localização Hierárquico de Máxima Cobertura (HCLP), na qual coberturas para
os dois níveis de serviço são maximizadas independentemente.
Na próxima seção apresentamos o modelo HCLP de Moore & ReVelle (1982) e a
extensão bi-objetivo correspondente (BHCLP). Existem diversos métodos para
resolver problemas combinatórios multi-objetivo, com especial ênfase no uso dos
métodos das ponderações e das restrições; isto é visto na Seção 3. Na Seção 4
descrevemos a metodologia utilizada para encontrar uma aproximação da fronteira
eficiente para o BHCLP. Os resultados computacionais obtidos com esta
metodologia são mostrados na Seção 5. A Seção 6 contém as conclusões do artigo.
2. Problemas de Localização Hierárquicos
Um problema de localização hierárquico consiste em determinar simultaneamente a
combinação apropriada de níveis (ou tipos) de serviços e o local onde esses
conjuntos de serviços devem ser instalados (formando uma facilidade), e
realizar a atribuição dos pontos de demanda às facilidades. Mirchandani (1987)
e Eitan et al. (1991) descrevem um enfoque generalizado para modelar problemas
de localização hierárquicos. Narula (1984) propõe um esquema de classificação
para esses problemas.
Na literatura existem diversos modelos matemáticos desenvolvidos para problemas
de localização hierárquicos. Exemplos destes tipos de modelos podem ser
encontrados em Narula & Ogbu (1985), Alminyana et al. (1998), Galvão et al.
(2002), Boffey et al. (2003). Modelos do tipo Máxima Cobertura buscam maximizar
a população coberta, sujeito a restrições de cobertura. Ver por exemplo Moore
& ReVelle (1982), Church & Eaton (1987), Rahman & Smith (1999),
Branas & ReVelle (2001), Jayaraman et al. (2003). Serra et al. (1992) e
Miliotis et al. (2002) tratam de problemas hierárquicos em um ambiente
competitivo.
2.1 O Problema de Localização Hierárquico de Máxima Cobertura (HCLP)
Moore & ReVelle (1982) descreveram um sistema com localização hierárquica
da seguinte maneira. Considere um sistema que fornece k níveis de serviços e
que possui k níveis de facilidades. Neste sistema um nível de serviço s está
disponível somente em uma facilidade de nível igual ou maior que s. O problema
a ser resolvido é o de localizar um dado número de facilidades, para cada um
dos k níveis definidos, de maneira que se maximize a população com acesso a
todos os k níveis de serviço.
No caso de facilidades de dois níveis, uma área de demanda é considerada
coberta se ela tem acesso, dentro das distâncias de serviço pré-definidas, a
ambos os níveis de serviço, nível 1 e nível 2. As distâncias críticas dos
serviços definidas por Moore & ReVelle (1982) são diferentes para os dois
níveis de serviço, e as distâncias críticas para o serviço de nível 1 são
diferentes para os dois tipos de facilidades.
Moore & ReVelle (1982) formularam o problema como um problema de
programação 0-1. A seguir apresenta-se a formulação deste problema de
localização hierárquico de dois níveis.
Sejam:
J = {1,...,m} conjunto de áreas de demanda;
I = {1,...,n} conjunto de locais onde as facilidades podem ser
instaladas;
fj: população da área de demanda jÎJ;
R1: distância crítica para o serviço de nível 1 oferecido pela
facilidade de nível 1;
T1: distância crítica para o serviço de nível 1 oferecido pela
facilidade de nível 2;
R2: distância crítica para o serviço de nível 2 (oferecido apenas
pela facilidade de nível 2);
aij = 1 se a área de demanda jÎ J puder ser coberta pelo nível de
serviço 1 (dentro da distância crítica R1), oferecido pela facilidade
de nível 1 localizada em iÎ I (aij = 0 caso contrário);
bij = 1 se a área de demanda jÎ J puder ser coberta pelo nível de
serviço 1 (dentro da distância crítica T1), oferecido pela facilidade
de nível 2 localizada em iÎ I (bij = 0 caso contrário);
cij = 1 se a área de demanda jÎJ puder ser coberta pelo nível de
serviço 2 (dentro da distância crítica R2), oferecido pela facilidade
de nível 2 localizada em iÎ I (cij = 0 caso contrário);
p: número de facilidades de nível 1 a serem localizadas;
q: número de facilidades de nível 2 a serem localizadas;
xj = 1 se a área de demanda jÎ J é coberta (xj=0 caso contrário);
yi = 1 se uma facilidade de nível 1 é localizada em iÎ I (yi=0 caso
contrário);
zi = 1 se uma facilidade de nível 2 é localizada em iÎI (zi=0 caso
contrário).
Por hipótese as facilidades de nível superior são as mais atraentes; assume-se
portanto que R1<T1<R2. Utilizando esta nomenclatura o modelo matemático para o
HCLP pode ser escrito como:
sujeito a
A função objetivo a ser maximizada representa a população total coberta pelos
serviços de níveis 1 e 2. As restrições (2) estabelecem que uma área de demanda
jÎ J é coberta pelo serviço de nível 1 se existe pelo menos ou uma facilidade
de nível 1 a menos de uma distância R1 e/ou uma facilidade de nível 2 a menos
de uma distância T1. As restrições (3) estabelecem que uma área de demanda jÎJ
é coberta pelo serviço de nível 2 se existe pelo menos uma facilidade de nível
2 a menos de uma distância R2. A restrição (4) limita em p o número de
facilidades de nível 1 e a restrição (5) em q o número de facilidades de nível
2 na solução do problema. As restrições (6) e (7) definem a natureza 0-1 das
variáveis de decisão.
Moore & ReVelle (1982) resolveram o problema utilizando a relaxação de
programação linear da formulação acima. Nos casos em que é obtida uma solução
fracionária, os autores recomendam que se obtenha uma solução ótima por
inspeção ou utilizando um algoritmo branch-and-bound. Os resultados
computacionais reportados pelos autores são para uma rede de dados criada com
as províncias de Honduras. Em seus experimentos computacionais os autores não
reportaram o uso de algoritmo branch-and-bound.
O HCLP foi tratado recentemente por Espejo (2001) e Espejo et al. (2003); os
autores desenvolveram uma relaxação combinada Lagrangeana-surrogate para o
mesmo, que possui como casos especiais a relaxação Lagrangeana e a relaxação
surrogate. Heurísticas com base no método dos subgradientes foram desenvolvidas
para resolver as diferentes relaxações. Testes computacionais foram realizados
com problemas variando de 55 a 700 vértices disponíveis na literatura. Os
autores relataram que a média dos gaps obtidos para os problemas teste não
difere significativamente entre as diversas relaxações utilizadas, para o mesmo
conjunto de problemas. Os tempos computacionais foram relativamente baixos,
inclusive para os problemas de 700 vértices.
2.2 O Problema Bi-objetivo de Localização Hierárquica de Máxima Cobertura
(BHCLP)
Observe-se que Moore & ReVelle (1982) definem a cobertura de uma área de
demanda em termos de acesso ao serviço e não em termos de acesso à facilidade.
No modelo HCLP uma área de demanda é considerada coberta se ela puder ser
coberta pelos dois níveis de serviço.
Neste artigo considera-se a variação do HCLP em que busca-se maximizar em
separado a cobertura pelo serviço de nível 1 e pelo serviço de nível 2. Com
esta finalidade foi definido um modelo bi-objetivo (Bi-objetive Hierarchical
Covering Location Problem, BHCLP), com o objetivo de maximizar a cobertura para
ambos os níveis de serviço.
Na formulação matemática do BHCLP é utilizada a mesma nomenclatura que no HCLP,
exceto pela re-definição da variável xj e pela inclusão da variável wj. No
BHCLP, xj = 1 se a área de demanda j é coberta pelo serviço de nível 1 (xj = 0
caso contrário) e wj = 1 se a área de demanda j é coberta pelo serviço de
nível 2 (wj = 0 caso contrário). A formulação matemática correspondente é dada
a seguir:
sujeito a (4)-(7) e
As funções objetivo (8) e (9) maximizam a população total coberta pelos
serviços de níveis 1 e 2, respectivamente. As restrições (10) e (11) têm a
mesma interpretação que as restrições (2) e (3), com a única diferença que no
modelo BHCLP se utiliza uma variável diferente para cada tipo de cobertura. As
restrições (12) definem a natureza binária das variáveis de decisão wj.
3. Métodos de Solução para Problemas Combinatórios Multi-Objetivo
Existem diversos métodos para resolver problemas combinatórios multi-objetivo.
Uma revisão dos mesmos pode ser encontrada, por exemplo, em Ehrgott (2000) e
Ehrgott & Gandibleux (2000). Uma revisão do uso de metaheurísticas para
resolver problemas combinatórios multi-objetivo pode ser encontrada em Hansen
(1998). Teghem & Kunsch (1986) fazem uma revisão dos métodos para resolver
problemas inteiros multi-objetivo em geral e Rasmussen (1986) faz uma revisão
correspondente para problemas binários.
Dois métodos freqüentemente usados para resolver problemas multi-objetivo,
tanto lineares como combinatórios, são o método das ponderações e o método das
restrições; uma descrição desses métodos pode ser encontrada em Steuer (1986).
Seja o problema de programação linear multi-objetivo Max {g1(x), g2(x),..., gq
(x) | Ax < b; x > 0}, onde g1, g2,..., gq: Rn® R, AÎ Rmxn, bÎRm e xÎ Rn.
Encontrar uma solução eficiente para este problema usando o método das
ponderações implica em resolver o seguinte problema de programação linear
paramétrico: onde 
Para cada vetor de pesos pj, j=1,...,q, se obtém uma solução
eficiente para o problema linear multi-objetivo. Variando portanto o vetor dos
pesos pode-se gerar toda a fronteira eficiente, ou uma aproximação da mesma.
No método das restrições se otimiza uma das funções objetivo e as funções
objetivo restantes são adicionadas ao conjunto de restrições. Neste método o
problema paramétrico a ser resolvido é: <formula/>
com e > 0 um número pequeno e dj>0 um limite inferior para a função objetivo j.
Variando os valores de dj pode-se obter a fronteira eficiente em sua totalidade
ou uma aproximação da mesma.
Devido à estrutura discreta dos problemas combinatórios multi-objetivo, o
método das ponderações deve ser usado com cautela para a determinação das
soluções não dominadas, uma vez que, nesta classe de problemas, há soluções
eficientes para as quais não existe um vetor de pesos que possa gerá-las
(Bitran, 1977). Tais soluções são denominadas de soluções eficientes "não
suportadas".
O termo "suportado" indica que o ponto pertence à envoltória convexa (convex
hull) do conjunto de soluções eficientes. A Figura_1 ajuda a visualizar estes
conceitos. Esta figura corresponde a um problema bi-objetivo onde foram
encontradas as soluções A, B, C, D, E, F, G e H. Para este conjunto de
soluções, as soluções A, B, C e G pertencem à envoltória convexa, isto é, são
soluções eficientes "suportadas". As soluções D, E e F são soluções eficientes
"não suportadas", isto é, são soluções dominadas pela combinação convexa das
soluções C e G. A solução H é uma solução não-eficiente.
Em um artigo recente Sylva & Crema (2003) apresentam um método para
determinar todas as soluções não dominadas para problemas inteiros multi-
objetivo. Neste artigo, que tem por base o trabalho de Klein & Hannan
(1982), os autores usam o método das ponderações. Sylva & Crema (2003)
definem um problema de programação inteira paramétrica, usando um vetor fixo de
pesos. Em cada iteração do algoritmo são adicionadas novas restrições ao
problema paramétrico, visando eliminar as soluções dominadas pelas soluções
eficientes encontradas nas iterações prévias. Para problemas com grande número
de soluções não dominadas os autores não recomendam o uso do algoritmo, devido
ao alto custo computacional.
Uma das principais desvantagens dos métodos que buscam determinar a fronteira
eficiente em sua totalidade é seu elevado custo computacional; esse custo
aumenta bastante se o interesse é determinar todas as soluções não dominadas.
Nos problemas combinatórios multi-objetivo há portanto a necessidade de se
procurar novas estratégias (com custos computacionais razoáveis) para gerar as
soluções eficientes "suportadas" e "não-suportadas". No presente artigo propõe-
se uma estratégia para encontrar uma aproximação da fronteira eficiente para o
BHCLP.
4. Descrição da Estratégia Usada para Gerar uma Aproximação da Fronteira
Eficiente para o BHCLP
A estratégia é inspirada na metodologia descrita por Alminyana et al. (1998)
para gerar a fronteira eficiente para o problema das pq-medianas bi-objetivo.
Nesse problema busca-se determinar a localização de p facilidades de nível 1 e
q de nível 2, procurando minimizar as distâncias percorridas em cada um dos
dois níveis. Basicamente a metodologia de Alminyana et al. (1998) consiste em
gerar as soluções para o problema bi-objetivo e posteriormente avaliar a
qualidade das soluções geradas.
No presente trabalho o BHCLP é resolvido utilizando o método das ponderações. O
processo de geração da fronteira eficiente compreende três etapas: na etapa 1
define-se o problema paramétrico para o BHCLP; na etapa 2, o problema
paramétrico resultante é resolvido através de uma heurística lagrangeana (HL),
que gera as soluções viáveis para o BHCLP; na etapa 3 avalia-se a eficiência
relativa das soluções geradas na etapa 2. A seguir descreve-se cada uma dessas
etapas.
4.1 Etapa 1: Definir o Problema Paramétrico para o BHCLP
Usando o vetor de pesos (p ,(1-p )), p>0, define-se o problema paramétrico para
o BHCLP:
sujeito a (4)-(7), (10)-(12).
4.2 Etapa 2: Resolver o Problema BHCLP(p )
O problema BHCLP(p) é resolvido usando uma adaptação da heurística lagrangeana
com base nos subgradientes, desenvolvida para o HCLP por Espejo et al. (2003).
Em cada iteração da heurística é obtido um limite superior, a partir do qual é
possível obter uma solução viável (primal) para o BHCLP. A solução primal
obtida desta maneira é geralmente um limite inferior fraco; um algoritmo de
substituição de vértices é usado para melhorar este limite. Para maiores
detalhes sobre a heurística lagrangeana, ver Espejo et al. (2003).
O problema lagrangeano, BHCLP(p)lµ, que deve ser resolvido em cada iteração da
heurística lagrangeana, é obtido dualizando as restrições (10) e (11), usando o
vetor de multiplicadores V=[l,µ]>0:
Ou, fazendo <formula/> obtém-se:
(BHCLP(p)l µ):
sujeito a (4)-(7) e (12).
O problema lagrangeano pode ser facilmente resolvido da seguinte maneira:
Isto corresponde a xj = 1 se lj < pfj (xj = 0 caso contrário); wj = 1 se
µj < (1p )fj (wj = 0 caso contrário); yi = 1 para p maiores ai (yi = 0 caso
contrário) e zi = 1 para q maiores bi (zi = 0 caso contrário).
4.3 Etapa 3: Avaliação das Soluções Geradas
Nos casos em que são utilizados modelos multi-objetivo para localizar
facilidades, Fisher & Rushton (1979) sugerem aplicar técnicas analíticas
para avaliar as localizações propostas. A metodologia freqüentemente usada com
esta finalidade é a Analise Envoltória de Dados, mais conhecida como DEA (Data
Envelopment Analysis); ver por exemplo os trabalhos de Desai & Storbeck
(1990), Desai et al. (1995) e Alminyana et al. (1998).
DEA é uma metodologia com base na programação linear, para avaliar a eficiência
relativa de unidades de tomada de decisão similares, geralmente denominadas
DMUs (Decision Making Units). Assume-se que as DMUs transformam múltiplos
insumos (inputs) em múltiplos produtos (outputs); ver por exemplo Cooper et al.
(2000). Existem duas versões de DEA, dependendo da hipótese utilizada para a
construção da envoltória do conjunto das DMUs observadas: i) uma versão supondo
envoltória convexa, por exemplo os modelos CCR (Charnes et al., 1978) e BCC
(Banker et al., 1984); ii) uma versão supondo envoltória não convexa; por
exemplo os modelos Free Disposable Hull (FDH) de Tulkens (1993).
A heurística lagrangeana gera um conjunto de soluções para o BHCLP. Tais
soluções devem ser avaliadas para determinar as soluções eficientes deste
conjunto. Com tal propósito é utilizado um índice de eficiência espacial
relativa (relative spatial efficiency index, RSE). Fisher & Rushton (1979)
definem o RSE de uma dada configuração de localização de facilidades
comparando-o com a melhor configuração conhecida.
Para obter o RSE de uma solução calcula-se dois tipos de eficiência: i) a
eficiência técnica (dada pela projeção radial na fronteira eficiente) e ii) a
eficiência do mix (dada pelo valor das varáveis de folga do modelo DEA
utilizado). Cooper & Tone (1997) apresentam uma discussão abrangente sobre
os tipos de eficiência em DEA. Uma ilustração desses dois tipos de eficiência é
mostrada na Figura_2. Nessa figura o ponto H possui ineficiências técnica e do
mix. Para atingir a fronteira eficiente o ponto H precisa aumentar, na mesma
proporção, as coberturas de níveis 1 e 2 (isto é, aumentar sua eficiência
técnica), até atingir o ponto C' (que é fracamente eficiente, o que caracteriza
a ineficiência do mix). Observe-se ainda, na Figura_2, que para atingir o seu
ponto de referência (o ponto C), o ponto H precisa aumentar o valor da
cobertura de nível 1.
No presente artigo o RSE de uma dada solução consiste em uma combinação das
eficiências técnica e do mix, denominada "Medida de Eficiência Global" (Global
Efficiency Measure, GEM); ver Cooper & Pastor (1995). Dado que a fronteira
eficiente do BHCLP está formada por soluções eficientes "suportadas" e "não-
suportadas", a envoltória é não-convexa. Utilizaremos portanto a metodologia
FDH para determinar o RSE das soluções obtidas com a heurística lagrangeana.
A obtenção das eficiências técnica e do mix é realizada através de uma
adaptação do método das duas fases de Arnold et al. (1998). Para cada uma das
soluções do BHCLP são executados dois passos. No Passo 1 é obtida a eficiência
técnica e no Passo 2 a eficiência do mix (mantendo constante a eficiência
técnica obtida no Passo 1).
Observe-se que nos modelos DEA é necessário que sejam definidos os inputs e os
outputs. As soluções obtidas para o BHCLP são no entanto um caso especial de
DMUs, pois só apresentam outputs. Os outputs para uma dada solução são dados
pelos valores das funções objetivo do problema. Para avaliar a eficiência
técnica de DMUs sem inputs foi utilizada uma adaptação não convexa do modelo
apresentado por Lovell & Pastor (1999). Segundo Lovell & Pastor (1999),
do ponto de vista econômico é difícil aceitar um modelo DEA sem inputs. Os
autores justificam o uso desses modelos com base na equivalência que existe
entre os modelos BCC sem inputs com os modelos BCC com inputs constantes.
Assumamos, sem perda de generalidade, que HL encontrou t soluções para o BHCLP.
Seja <formula/> o valor da solução encontrada na
iteração l, onde <formula/> e [/img/revistas/pope/
v24n2/21397s3.gif] correspondem aos valores das funções objetivo (8) e (9),
respectivamente. O valor da solução a ser avaliada será denotada por [/img/
revistas/pope/v24n2/21397s4.gif].
Passo 1: A eficiência técnica da solução a ser avaliada é calculada resolvendo
o seguinte modelo de programação inteira mista (ver Lovell & Pastor, 1999).
sujeito a:
Na formulação acima ll = 1 indica que a solução l é escolhida como referência
para a solução avaliada (ll = 0 caso contrário). Na função objetivo (14) um
valor de f0 = 1 indica que a solução avaliada possui eficiência técnica. Se f0
> 1 a solução avaliada é tecnicamente ineficiente (ver Figura_2). As restrições
(15) impedem que a expansão da solução avaliada ultrapasse a fronteira
eficiente. A restrição (16) indica que deve ser escolhida uma única solução
como referência para a solução a ser avaliada. As restrições (17) e (18)
definem a natureza das variáveis de decisão.
Passo 2: Obtida a eficiência técnica da solução a ser avaliada, denotada por [/
img/revistas/pope/v24n2/21397s7.gif], a eficiência do mix é calculada através
do seguinte modelo de programação inteira mista (Alminyana et al., 1998).
sujeito a (16), (17) e
As variáveis sr representam as folgas de cada output. A função objetivo (19)
maximiza portanto o somatório das folgas entre a projeção radial na fronteira
eficiente e a solução eficiente de referência (a maximização da folga impede a
projeção em um ponto fracamente eficiente). Se o valor da função objetivo for
igual a zero, a solução a ser avaliada apresenta eficiência do mix. Caso
contrário, ela não possui eficiência do mix. As restrições (20) estabelecem que
a solução eficiente de referência corresponde a uma solução gerada pela
heurística.
O valor da função objetivo do modelo do Passo 1 fornece o índice de eficiência
técnica e o modelo do Passo 2 é usado para identificar se a solução avaliada
possui eficiência do mix. Para combinar estes dois tipos de eficiência é
empregado o GEM, proposto por Cooper & Pastor (1995). Para cada solução do
BHCLP esta medida é obtida através da seguinte fórmula:
<formula/>, onde [/img/revistas/pope/v24n2/
21397s5.gif] é o valor ótimo da folga obtida no Passo 2.
Para o conjunto formado pelas t soluções um valor de GEM=1 indica que a solução
é eficiente em relação a esse conjunto. Soluções com GEM<1 são ineficientes.
5. Resultados Computacionais
Nesta Seção apresentamos os resultados computacionais obtidos com a heurística
lagrangeana na geração de uma aproximação da fronteira eficiente para o BHCLP.
Foram usados 49 dos 58 problemas-teste que Espejo et al. (2003) utilizaram para
o HCLP. Estes problemas-teste são os seguintes: 13 problemas gerados a partir
da rede de 55 vértices definida por Swain (1971); 9 problemas para cada uma das
redes de 100 e 150 vértices, que são redes geradas aleatoriamente por Galvão
& ReVelle (1996); 9 problemas para cada uma das redes de 300 e 500
vértices, obtidos da biblioteca eletrônica de Beasley (1990) para o problema
das p-medianas (problemas Pmed11 e Pmed21). Estes problemas correspondem a
combinações diferentes de p e q. Para cada uma das redes foram usados valores
fixos de R1, T1 e R2.
Para obter uma aproximação da fronteira eficiente para BHCLP usando HL foram
rodados 41 instâncias paramétricas BHCLP(p) para cada um dos problemas acima.
Os valores de p Î[0,1]; foram escolhidos os seguintes valores: p ={(0;1),
(0,025; 0,975), (0,050; 0,950),..., (1,0)}.
Os testes computacionais foram realizados em um microcomputador com processador
Pentium III de 700MHz. A heurística lagrangeana foi implementada usando
linguagem de programação Delphi. Os modelos utilizados para avaliar a
eficiência das soluções obtidas por HL (solução dos modelos descritos nos
Passos 1 e 2 da Etapa 3) foram implementados usando a linguagem de modelagem
OPL-Studio com o CPLEX como otimizador.
Com a finalidade de avaliar as fronteiras eficientes aproximadas obtidas
através de HL, decidimos gerar fronteiras eficientes exatas para as redes de 55
e 100 vértices. As fronteiras exatas foram geradas utilizando o método das
restrições, conforme descrito no Apêndice. O algoritmo descrito no Apêndice foi
também implementado utilizando OPL-Studio/CPLEX.
O resumo dos resultados para as redes de 55 e 100 vértices são mostrados nas
Tabelas_1 e 2. Conforme já observado, durante a execução de HL são geradas
várias soluções (Núm. sols.), sendo as mesmas comparadas entre si para
determinar quais soluções são eficientes (correspondendo a GEM=1). Resumos dos
resultados obtidos com HL para os problemas de 150, 300 e 500 vértices são
mostrados nas Tabelas_3, 4 e 5, respectivamente.
Em relação aos tempos computacionais, o tempo necessário para gerar a fronteira
eficiente exata através do método das restrições já é bastante alto para as
redes de 100 vértices (ver Tabela_2), tornando-se proibitivo para redes
maiores. Os tempos necessários para gerar uma aproximação da fronteira
eficiente são baixos (inferiores a 3 minutos) para redes de até 150 vértices.
Para as redes de 300 vértices o tempo médio foi de 631 segundos, com desvio
padrão de 100 segundos; para as de 500 vértices esses tempos foram de
respectivamente 1723 e 357 segundos.
Nas Figuras_3 e 4 mostramos a fronteira eficiente (representada por o) obtida
pelo método das restrições e parte das soluções obtidas com HL, para quatro dos
problemas-teste onde a heurística obteve os piores resultados (com a finalidade
de enfatizar as diferenças que podem existir entre a fronteira eficiente exata
e uma fronteira aproximada). Para o conjunto de soluções obtidas por HL,
representamos com (o) as soluções eficientes (GEM=1) e com (x) as soluções
ineficientes (GEM<1).
6. Conclusões
Neste artigo foi proposta uma metodologia para solucionar um problema
combinatório bi-objetivo, o BHCLP. Testes computacionais realizados com redes
de até 100 vértices indicaram a inviabilidade da obtenção de fronteiras
eficientes exatas para problemas de maior porte, em virtude de tempos
computacionais proibitivos. Foi proposta então a determinação de fronteiras
aproximadas, utilizando o método das ponderações.
Foram utilizadas soluções geradas durante o processo de busca da solução ótima
do dual lagrangeano para encontrar uma aproximação da fronteira eficiente do
BHCLP, incluindo as soluções eficientes "suportadas" e "não suportadas".
Resultados de testes computacionais, realizados com redes de até 500 vértices,
mostram que a metodologia utilizada pode gerar uma aproximação razoável da
fronteira eficiente para o BHCLP.
Levando em conta que foram rodados 41 problemas paramétricos BHCLP(p) para a
determinação de cada fronteira eficiente aproximada, o custo computacional da
metodologia pode ser considerado relativamente baixo (média inferior a 30
minutos de CPU para as redes de 500 vértices).
