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Aplicação do modelo hipercubo de filas para avaliar a descentralização de ambulâncias em um sistema urbano de atendimento médico de urgência

1. Introdução A qualidade de vida da população, especialmente das áreas urbanas, está ligada a uma variedade de serviços públicos que podem ser classificados em três grandes grupos: serviços de rotina, serviços semi-emergenciais e serviços de emergência, dentre os quais destaca-se o serviço de atendimento médico de urgência (SAMU). Quando projetado e operado com eficiência, o SAMU pode salvar vidas; por outro lado, quando ineficiente, é um potencial responsável pelo agravamento dos casos. A rapidez no atendimento às vítimas é uma das maiores exigências destes sistemas, e o tempo decorrido entre o instante da solicitação pelo serviço e o início do atendimento, denominado tempo de resposta, é um dos principais fatores que influenciam o nível de serviço aos usuários.

Este tempo é resultante de um conjunto de fatores, como por exemplo, experiência e capacitação profissional da equipe, condições de tráfego local, dia da semana e período do dia, tipo e número de veículos disponíveis, localização destes veículos, políticas de despacho, etc. A regulamentação americana para os serviços médicos de urgência estabelece que 95% das solicitações em área urbana devem ser atendidas em, no máximo, 10 minutos, sendo este período estendido para 30 minutos para a área rural (Ball & Lin, 1993). Nos casos dos serviços de ambulâncias das cidades de Londres e Montreal, 95% das solicitações devem ser servidas em 14 e 10 minutos, respectivamente, e 50% e 70% das solicitações devem ser servidas em 8 e 7 minutos, respectivamente (Geandreau et al., 2001; Galvão et al., 2003a). No Brasil, entretanto, não há legislação específica que determine limitações para os tempos de resposta.

Serviços emergenciais como os SAMU's apresentam alto grau de incerteza em suas características operacionais e, quanto maior o grau de incerteza envolvido e maior a necessidade de respostas rápidas, menor deve ser a taxa de utilização dos operadores e equipamentos do sistema. Caso contrário, o nível de serviço oferecido aos usuários pode ser deteriorado. Neste contexto, quando os sistemas são bem dimensionados, geralmente ocorrem longos períodos em que os operadores e equipamentos permanecem desocupados (Gonçalves, 1994). Estudos recentes mostram elevados índices de ocupação dos veículos e suas equipes (da ordem de 60%) em observações realizadas em algumas cidades do interior paulista (Takeda, 2000).

Diversas pesquisas vêm sendo desenvolvidas no sentido de se obter métodos para analisar e dimensionar tais sistemas, de forma a elevar o nível de serviço oferecido e também racionalizar o uso dos recursos disponíveis. No entanto, uma limitação dos estudos é que muitos deles não consideram a natureza probabilística dos processos de chegada e atendimento dos chamados emergenciais, e não levam em conta o fato de que as ambulâncias nem sempre estão disponíveis para iniciar um atendimento. Dentre as contribuições, destacam-se trabalhos onde a atenção é concentrada em questões tais como localização de bases (Toregas et al., 1971; Daskin & Stern, 1981; Anderson & Fontenot, 1992; Galvão, 1993; Grendreau et al., 1997 e Grendreau et al., 2001), programação de equipes (Kaplan, 1979; Green & Kolesar, 1984; Taylor & Huxley, 1989 e Aubin, 1992) e problemas de congestionamento (Berman & Larson, 1982; Brandeau & Larson, 1986; Marianov & Serra, 1998).

Revisões dos estudos desenvolvidos nas últimas décadas podem ser encontradas em Kolesar & Swersey (1986), Louveaux (1993), Swersey (1994), Chiyoshi et al.

(2000) e Brotcorne et al. (2003).

A modelagem integrada destas questões é complexa, pois geralmente os sistemas reais são compostos por vários veículos; as solicitações por serviço ocorrem distribuídas no tempo e no espaço; existe cooperação entre veículos de áreas distintas; podem ocorrer múltiplos despachos para atender a um mesmo chamado; o tempo médio de viagem varia de acordo com a região, o dia e o período do dia; e ainda existe a possibilidade de formação de filas de espera. O modelo hipercubo de filas distribuídas, desenvolvido por Larson (1974) e estendido por outros autores (Swersey, 1994), é uma importante ferramenta neste sentido, dando condições de se avaliar não só o nível de serviço oferecido, como também os impactos de decisões tomadas para o sistema. Trata-se de uma ferramenta analítica e descritiva que permite calcular uma ampla variedade de medidas de desempenho, que auxiliam nas decisões operacionais e de configuração do sistema (Brandeau & Larson, 1986). O hipercubo não é um modelo de otimização que determina uma configuração ótima para o sistema, mas fornece uma completa avaliação de desempenho de cada configuração sugerida (Halpern, 1977).

Vários estudos são encontrados na literatura com o objetivo de avaliar o uso deste modelo na solução de problemas de localização probabilística, em particular, para sistemas de atendimento emergencial. Por exemplo, Batta et al.

(1989) sugeriram o uso do hipercubo como alternativa para relaxar a hipótese de independência entre os servidores dos problemas de localização com máxima cobertura, desenvolvido por Daskin (1983). Chiyoshi et al. (2001, 2002) analisaram o caso de servidores não homogêneos e apresentaram comparações entre os modelos de localização com máxima cobertura e máxima cobertura ajustada (Batta et al., 1989). Saydam & Aytug (2003) aplicaram um algoritmo genético incorporando a metodologia do hipercubo desenvolvida por Jarvis (1975) no cálculo da cobertura esperada. Gendreau et al. (1997, 2001) aplicaram busca tabu em contextos similares. Galvão et al. (2003a, 2003b) investigaram o uso de simulated annealing com o modelo hipercubo na solução de problemas de localização com máxima cobertura e máxima disponibilidade (ReVelle & Hogan, 1989).

A aplicação original do modelo hipercubo foi para o problema de patrulhamento policial. Porém, sistemas como bombeiros, ambulâncias, defesa civil, reparos em redes de infra-estruturas básicas (água, energia elétrica e telecomunicações), guinchos e entregas domiciliares também podem ser representados por esta técnica. Nos Estados Unidos várias aplicações podem ser citadas: a localização de ambulâncias em Boston (Brandeau & Larson, 1986) e Greenville (Burwell et al., 1993), o patrulhamento policial em New Haven (Chelst & Barlach, 1981) e Orlando (Sacks & Grief, 1994), programas de visitas de serviço social (Larson & Odoni, 1981), dentre outros. No Brasil, alguns exemplos são: o atendimento a interrupções de energia elétrica em Florianópolis, SC (Albino, 1994), a localização de ambulâncias em um trecho da BR 111 SC (Gonçalves et al., 1994, 1995), o balanceamento do fator de utilização das ambulâncias do sistema Anjos do Asfalto da Rodovia Presidente Dutra (Mendonça & Morabito, 2000, 2001), e a análise de desempenho do sistema SAMU-192 de Campinas-SP (Takeda et al., 2001).

O presente trabalho apresenta uma extensão dos estudos em Takeda et al. (2001), partindo de cenários simples, como é o caso da descentralização de uma única ambulância, e suas conseqüências, até situações em que vários veículos são reposicionados. Também são mostrados os impactos do aumento do número de ambulâncias, aliado à descentralização, sobre alguns importantes indicadores de desempenho do sistema. O artigo está organizado da seguinte maneira: na seção 2 é feita uma descrição resumida do sistema SAMU-192, evidenciando seus aspectos operacionais importantes para a aplicação do modelo. Na seção 3 é realizada uma breve revisão sobre o modelo hipercubo e sua aplicação no sistema estudado; também são calculadas as principais medidas de desempenho para a configuração original do SAMU-192. Na seção 4 o modelo é aplicado para explorar cenários alternativos; em particular, descentralizando ambulâncias na configuração original e avaliando seus efeitos sobre alguns indicadores de desempenho.

Também são analisados os efeitos do aumento do número de ambulâncias no sistema. Finalmente, na seção 5, são apresentadas as conclusões do estudo e algumas perspectivas para futuras pesquisas.

2. Os Sistemas Emergenciais e o SAMU-192 A Organização Mundial de Saúde estabelece, como função principal de um serviço de atendimento médico-emergencial, dar suporte básico de vida a toda situação de risco envolvendo pessoas e bens (World Health Organization, 2000). No Brasil, desde o início dos anos 90, esforços têm sido direcionados no sentido de impulsionar a organização dos atendimentos médicos de urgência. Por se tratar de um serviço público de atendimento, o sistema brasileiro assemelha-se ao modelo francês, em operação há mais de 20 anos. Graças à ativa cooperação entre algumas secretarias de saúde e o governo francês, as populações de Araraquara, Belo Horizonte, Campinas, Fortaleza, Goiânia, Limeira, Porto Alegre, Recife, Ribeirão Preto, Salvador, São Paulo e Vale do Ribeira já estão recebendo um atendimento de qualidade superior, com um melhor aproveitamento dos recursos disponíveis.

Operacionalmente, os SAMU's são sistemas que englobam uma determinada cidade ou até uma região constituída de várias cidades, e contém uma central telefônica de recepção de chamados, equipes de socorristas centralizados ou distribuídos pela área de atuação do sistema, ambulâncias com equipamentos de suporte básico de vida, e em alguns casos, unidades de reanimação pré-hospitalar (UTI's móveis) com equipe qualificada. Esta organização está coordenada com uma rede hospitalar municipal ou regional em que as estruturas hospitalares de atendimento são escolhidas em função de sua complexidade.

2.1 Caracterização da pesquisa de campo No início do estudo tentou-se contatar os serviços de cinqüenta municípios de pequeno, médio e grande porte do interior paulista, dentre os quais apenas oito se dispuseram a divulgar informações sobre os atendimentos realizados. Neste primeiro contato observou-se que os serviços operavam 24 horas por dia com uma central telefônica para onde convergiam todos os chamados. Todas as cidades possuíam uma base manuscrita de dados relacionados aos atendimentos. Também foi observado que não havia um programa de avaliações periódicas que indicasse o desempenho dos sistemas. Considerando-se então a caracterização destes oito sistemas, o SAMU-192 foi escolhido como cenário para estudo.

A cidade de Campinas passou por uma reorganização do seu sistema de atendimento médico de urgência em 1994, implantando o SAMU-192 com a função de ser o centro regulador das urgências médicas do município. O SAMU-192 de Campinas é considerado um sistema modelo no Estado de São Paulo, com uma equipe qualificada em todos os seus níveis. Sua coordenação mostrou-se interessada em participar do estudo, contribuindo de forma importante para o levantamento dos dados e a interpretação dos resultados obtidos posteriormente com a aplicação do modelo.

No ano de 1998, quando a pesquisa de campo foi iniciada, o sistema operava com dezoito ambulâncias, sendo elas: onze VRS's (veículos de remoção simples), utilizados para o transporte de pacientes com casos clínicos simples, e principalmente para serviços agendados (sua equipe é formada apenas pelo motorista, eventualmente acompanhado de um auxiliar de enfermagem); quatro VSB's (veículos de suporte básico), utilizados para o transporte das urgências, com equipamentos básicos para o atendimento domiciliar das vítimas (necessariamente sua equipe é formada pelo motorista e um enfermeiro); dois VSA's (veículos de suporte avançado), utilizado para os casos graves, também denominados UTI's móveis (equipe composta pelo motorista, um enfermeiro e um médico) e um PSQ (veículo psiquiátrico) totalmente adaptado para suportar o transporte de pacientes com comportamento agressivo, alcoolizados e drogados (com profissionais especialmente treinados para tratar estes casos). Dentre os onze VRS's, sete eram dedicados às operações de remoções simples (pacientes agendados) e quatro operavam adaptados com equipe e equipamentos de VSB's. No total, dez ambulâncias eram dedicadas, de fato, às operações de urgência (dois VSA's e oito VSB's).

A região de Campinas estava subdividida em cinco áreas distintas Norte, Sul, Leste Oeste e Central de acordo com a distribuição de áreas de cobertura dos principais Centros de Saúde do município. Todos os veículos, quando disponíveis, permaneciam centralizados na base operacional do sistema, local onde se encontra a central telefônica 192 para onde convergem todos os chamados. O sistema também permitia que seus usuários entrassem em uma fila de espera caso todas as ambulâncias estivessem ocupadas no instante da ocorrência do chamado (esta fila era limitada, em média, por um usuário para cada veículo em operação). A Figura_1 mostra algumas características da cidade de Campinas e do SAMU-192 no período de desenvolvimento da pesquisa.

É importante ressaltar que a equipe que gerenciava o sistema estava preocupada com os altos índices de utilização das ambulâncias em determinados períodos do dia, o que podia provocar esperas para os usuários. Neste sentido, reflexões sobre uma possível mudança na estrutura operacional do sistema foram levantadas. Questões como o reposicionamento das ambulâncias na área de atuação do SAMU-192, e mesmo o número ideal de veículos para atender a demanda, predominavam.

2.2 Coleta de dados Para implementar o modelo hipercubo no SAMU-192, a coleta de dados foi separada em duas etapas: a primeira, com a descrição dos tipos e quantidade de atendimentos realizados no sistema, e a segunda com a seleção de uma amostra significativa para determinar as estatísticas necessárias para validar as hipóteses do modelo.

Descrição dos atendimentos A coordenação do SAMU-192 informou que não existiam grandes diferenças no número de solicitações de serviço ao longo dos meses do ano; meses de férias escolares, entretanto, apresentavam uma leve redução no número de atendimentos realizados. Também observaram que os finais de semana (sábados e domingos) apresentavam menores índices de solicitação de serviço, e a experiência da equipe contribuiu para confirmar que estas são características típicas de sistemas urbanos de atendimento médico de urgência (estas informações foram verificadas nas fichas de atendimentos realizados, desde a implantação do serviço). Para constatar a primeira afirmação, foi considerada uma amostra aleatória de cada mês do ano de 1997. A Figura_2 mostra a distribuição deste conjunto de dados. Tendo comprovado que não havia diferenças significativas no número de atendimentos/mês, o próximo passo foi examinar uma outra amostra aleatória de um mês do ano, para verificar se os dias úteis da semana se comportam de maneira semelhante. O mês sorteado foi novembro e dele, selecionou-se uma amostra de dez dias úteis de suas quatro semanas (Figura_3).

Outra importante observação foi com relação aos períodos do dia em que se constatava o maior índice de chamados no sistema. Para a equipe que coordenava o SAMU-192, o período entre 10 e 21 horas era considerado crítico. Com base nesta informação, construiu-se a distribuição dos chamados ao longo do dia, para a amostra do mês de novembro (Figura_4). Na amostra selecionada, foram observados 814 atendimentos, dos quais 17,1% tiveram origem na região Norte, 16,5% na região Sul, 17,6% na Leste, 32,2% na Oeste e 16,7% na região Central.

Identificação de períodos de pico Conforme observado na Figura_4, o SAMU-192 apresentava um período de pico bem caracterizado (das 9 às 14 horas, aproximadamente). Entretanto, foi necessário realizar uma análise mais detalhada para determinar a amplitude do intervalo que define o pico. Sendo assim, realizou-se um estudo baseado nas taxas de chegada de chamados dentro de possíveis combinações de períodos entre 8 e 15 horas e 16 e 22 horas, para verificar qual é o intervalo de tempo que, em geral, apresentava taxa média de chegadas significativa, com menor variabilidade. A Tabela_1 mostra os valores das taxas médias dos períodos mais prováveis e suas respectivas variações (a última coluna corresponde ao desvio- padrão do período, d-p).

Os demais intervalos analisados apresentaram taxas menores, não caracterizando, de fato, o período de congestionamento do sistema. O intervalo escolhido, portanto, inicia-se às 10 e termina às 14 horas, pois foi o que apresentou maiores freqüências durante os dez dias amostrados, com menor variação em torno do valor médio. Neste período, ocorreram 209 observações, dentre as quais, 190 foram atendidas por equipes básicas e 19 por equipes avançadas. A distribuição percentual para as cinco regiões se manteve. Portanto, as avaliações que seguem refletem algumas características do SAMU-192 durante o seu período de pico. A Tabela_2 apresenta medidas de desempenho da amostra de dez dias, para valores observados nas 24 horas do dia e para valores observados apenas no período de pico (10 às 14 horas).

3. O Modelo Hipercubo Aplicado ao SAMU-192 O modelo hipercubo baseia-se na partição da região de atuação do sistema em um conjunto finito de áreas geradoras de demanda, denominadas átomos geográficos.

Cada átomo é considerado como uma fonte pontual independente de solicitação de serviço ao longo do tempo. Portanto, são consideradas as distribuições espacial e temporal dos chamados. O atendimento é realizado por servidores distribuídos na região e que, quando disponíveis, podem estar fixos em alguns pontos (bases), ou em movimento (neste caso, sua localização deve ser conhecida ao menos probabilisticamente). A área de cobertura primária de um servidor é definida pelo conjunto dos átomos que este servidor atende prioritariamente, ou seja, é o primeiro a ser chamado. Nos casos onde o servidor preferencial está ocupado, um outro servidor é chamado para atender a solicitação, de acordo com lista de preferência de despachos pré-definida pelo sistema.

O nome hipercubo deriva do espaço de estados que descreve o status dos servidores. Cada servidor pode estar livre (0) ou ocupado (1) num certo instante. Um estado particular do sistema é dado pela lista dos servidores que estão livres e ocupados. Por exemplo, para um sistema com três servidores, o estado 011 corresponde à situação onde o servidor número 1 está ocupado, o servidor número 2 está ocupado e o servidor número 3 está livre (note que os servidores estão representados da direita para a esquerda). Desta maneira, um sistema com três servidores tem seu espaço de estados em , e é dado pelo conjunto de vértices do cubo de arestas iguais a 1. À medida que cresce o número de servidores, a representação se dá no espaço N-dimensional, pelo conjunto de vértices de um hipercubo.

O analista deve coletar informações sobre os processos de chegadas e de atendimento para descrever estatisticamente as operações do sistema e realizar a calibração do modelo. Uma vez calibrado, o hipercubo pode ser usado para determinar indicadores de desempenho para diferentes configurações do sistema.

Para cada configuração, ele calcula medidas para: (i) a extensão total da região; (ii) um veículo específico; (iii) um subconjunto finito de átomos, e (iv) um átomo específico.

3.1 Hipóteses da modelagem Para se aplicar o modelo, o sistema deve atender a nove hipóteses básicas: Átomos geográficos A área na qual o sistema opera é particionada em NA áreas menores, cada qual representando uma fonte independente de solicitações por serviço. Vários sistemas do tipo server-to-customer admitem implícita ou explicitamente critérios de prioridade para os chamados que recebem. Porém, nem sempre é uma tarefa simples representar tais critérios no modelo. Entretanto, existem situações onde estes critérios devem ser introduzidos, como é o caso dos sistemas de atendimento médico-emergencial, em que existem servidores dedicados a serviços especializados. Em Campinas, por exemplo, VSA's e VSB's realizam a operação do sistema.

Neste caso, o modelo pode ser adaptado para refletir os critérios de prioridade, bem como as regras de despacho dos servidores. Particiona-se cada átomo do sistema em duas áreas distintas e independentes: uma gerando apenas chamados do tipo avançado, e outra gerando apenas chamados do tipo básico processo de camadas (Larson & Odoni, 1981). Assim, todas as regiões mostradas na Figura_1 foram biparticionadas em básicas (B) e avançadas (A), gerando um total de 10 átomos geográficos no sistema: Norte B (NB), Norte A (NA), Sul B (SB), Sul A (SA), Leste B (LB), Leste A (LA), Oeste B (OB), Oeste A (OA), Centro B (CB), Centro A (CA). No SAMU-192, as áreas geradoras de chamados avançados são atendidas, preferencialmente pelos VSA's; neste caso, os VSB's ficam como backups. De maneira semelhante, as áreas geradoras de chamados básicos são atendidas preferencialmente pelos VSB's e os VSA's ficam como backups.

Processo de chegadas poissoniano Considera-se que os chamados chegam independentemente em cada átomo j, segundo processos de Poisson com taxas médias lj (j=1,2,...,NA), possíveis de serem medidas ou estimadas. Embora esta hipótese pareça muito restritiva, ela é freqüentemente satisfeita em diversos sistemas reais. No caso do SAMU-192, tal hipótese foi verificada examinando se o número de chegadas em cada átomo tem distribuição de Poisson. Foram assim determinadas as taxas médias de solicitação por serviço durante o período de observação (equivalentemente, os intervalos médios entre chegadas sucessivas para os dez átomos do sistema).

Constatou-se que os chamados ocorrem independentemente átomo a átomo, e o número de chamados de cada átomo representa uma proporção do total do sistema.

Assim, foram determinadas as probabilidades pj que representam as chances de um chamado qualquer ter origem no átomo j.

Desta maneira, a hipótese pode ser testada utilizando a propriedade de decomposição de processo de Poisson (Wolff, 1989). Para determinar a taxa média de chegadas ao sistema, foram considerados os intervalos médios entre chegadas sucessivas para todos os dias de observação, no período das 10 às 14 horas, considerando todos os átomos do sistema. A Tabela_3 apresenta o tempo médio, desvio-padrão e coeficiente de variação (desvio-padrão/tempo médio) para cada dia. Nota-se que os desvios-padrão são, em geral, da mesma ordem de grandeza das médias, o que sugere que os intervalos de tempo entre chegadas sucessivas ao sistema podem ser considerados exponencialmente distribuídos.

Para verificar estatisticamente tal hipótese, foi aplicado o Método de Kolmogorov-Smirnov, ao nível de significância a = 0,05. O resultado indicou que não se pode rejeitar a hipótese de que os intervalos entre chegadas sucessivas ao sistema têm distribuição exponencial e, portanto, foi admitido que o número de chegadas por intervalo de tempo tenha distribuição de Poisson. Com este resultado, e considerando as devidas proporções que representam as chegadas em cada átomo do sistema, admitiu-se que os chamados chegam em cada átomo segundo Processos de Poisson independentes, com taxas médias lj = l× pj (j = 1, 2,...,10). A Tabela_4 resume as informações sobre as taxas médias de chegadas.

Tempos de viagem entre átomos Os tempos médios de viagem tij (i, j = 1, 2,..., NA) entre o átomo i e o átomo j devem ser conhecidos ou estimados através dos conceitos de probabilidade geométrica. A matriz dos tempos médios de viagem entre átomos foi fornecida pelo próprio SAMU-192, admitidas as dez regiões geradoras de chamados (Tabela 5). Os veículos de suporte avançado geralmente desempenham tempos médios de viagem entre átomos menores que os básicos, devido ao grau de urgência envolvido nos atendimentos. Os tempos de viagem dentro do próprio átomo são distintos de zero, pois é preciso representar as reais distâncias percorridas por uma ambulância e os tempos necessários para tal, dentro de uma determinada área.

Servidores O sistema é composto por N servidores (distintos ou não) espacialmente distribuídos, que podem deslocar-se e atender qualquer um dos átomos. No cenário considerado, o SAMU-192 trabalha com uma frota de 10 veículos distintos: oito VSB's e dois VSA's. Todas as ambulâncias permanecem centralizadas na base, quando disponíveis, podendo deslocar-se para qualquer um dos átomos para realizar um atendimento.

Despacho dos servidores Apenas um servidor é despachado para atender um chamado. Se não houver veículo disponível para realizar o atendimento, o chamado poderá entrar em uma fila ou então ocorrer a perda do chamado, sendo este, por exemplo, transferido para outro sistema de atendimento. O SAMU-192 admite a política de enviar apenas uma equipe para atender a um chamado emergencial e em sua política de atendimento é permitida a formação de fila. O chamado que chega quando todas as ambulâncias estão ocupadas aguardam em fila até que um veículo desocupe para atendê-lo, desde que esta fila de espera não ultrapasse o limite de dez usuários (isto é, um usuário por ambulância em operação).

Localização dos servidores A localização de cada servidor, quando disponível, deve ser conhecida. No caso de servidores fixos, a localização é a sua base; no caso de servidores que se movem dentro de uma determinada área (por exemplo, viaturas de patrulhamento policial), esta localização deve ser conhecida ao menos probabilisticamente. A representação destas localizações é bastante genérica: ela se apresenta de forma matricial (L = [lnj]), onde os elementos da matriz representam a probabilidade de um servidor estar localizado em um determinado átomo, quando disponível. L é, necessariamente, uma matriz estocástica, ou seja [/img/ revistas/pope/v24n1/20098x8.gif], com lnj = 1 se o servidor está localizado no átomo j, e lnk = 0 para todo k¹j. A matriz L é facilmente determinada para a configuração original do SAMU-192, pois todos permanecem na base central quando disponíveis. Para simplificar a nomenclatura, a seguir os veículos de suporte avançado passam a ser chamados de veículos 1 e 2, e os veículos de suporte básico de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

Política de despacho dos servidores Há uma lista fixa de preferências de despacho para cada átomo. Se o primeiro servidor desta lista estiver disponível, ele é despachado para atender o chamado; caso contrário, o próximo servidor disponível da lista é despachado.

Devido à política de prioridade entre veículos VSA's e VSB's, a lista de preferência de despacho do SAMU-192 foi obtida segundo o procedimento de geração aleatória de matrizes de Burwell et al. (1993). A Tabela_6 apresenta um exemplo de uma matriz gerada aleatoriamente para o SAMU-192. Considerando a configuração original do sistema, a lista de preferências de despachos apresenta, nas linhas correspondentes aos átomos geradores de chamados da classe avançada, os veículos 1 e 2 (seqüenciados aleatoriamente) como servidores primários. As demais posições são ocupadas pelos oito VSB's (também seqüenciados aleatoriamente), que assumem a função de backup. Similarmente, nas linhas que representam as áreas geradoras de chamados que necessitam de atendimento básico, as oito primeiras posições são ocupadas pelos VSB's (seqüenciados aleatoriamente), e as duas últimas posições restantes são ocupadas pelos VSA's (também seqüenciados aleatoriamente), que atuam como backup.

Tempos de atendimento O tempo total de atendimento de um chamado é composto por um tempo de preparo do servidor (setup time), tempo de viagem do servidor até o local da ocorrência, tempo de execução do serviço junto ao usuário (tempo em cena) e o tempo de retorno à base. Os servidores podem ter taxas médias de atendimento µn distintas, para cada servidor n = 1, 2, ..., N. No caso de sistemas que permitem a formação de fila, o modelo hipercubo é ainda mais preciso à medida que os tempos médios de atendimento aproximam-se dos respectivos desvios-padrão (Larson & Odoni, 1981).

Tempo de preparação da equipe: Os valores dos tempos de preparação tanto para equipes de VSA's quanto para equipes de VSB's são pequenos (menos de 1 minuto).

Este tempo é praticamente desprezível uma vez que, estando a ambulância disponível no momento da ocorrência do chamado, basta que sua equipe se dirija ao veículo, para que partir para o local do evento.

Tempo de viagem de ida: Na amostra considerada, o tempo médio de viagem observado (incluindo possíveis tempos de espera em fila) foi de 11 minutos para os VSA's e de 13 minutos para os VSB's. Estes valores são utilizados posteriormente para a validação do modelo.

Tempo em cena: No caso dos VSA's, o tempo médio observado na amostra foi de 39 minutos, e para os VSB's, 37 minutos.

Tempo de viagem de volta: Os tempos médios de viagem de retorno à base, são, em geral diferentes do tempo de viagem de ida, pois em sua grande maioria, este tempo é medido a partir do local para onde as vítimas tenham sido removidas (unidade hospitalar ou domicílio), e não a partir do local do evento. Para a amostra considerada, este tempo foi em média de 13 minutos para VSA's e de 16 minutos para VSB's. Ou seja, o tempo médio de atendimento para um chamado de urgência no SAMU-192 é de 63 minutos para chamados atendidos por VSA's e de 66 minutos para chamados atendidos por VSB's (Tabela_2). A Tabela_7 mostra os tempos médios de atendimento de cada ambulância, seus desvios-padrão, coeficientes de variação e as taxas médias correspondentes.

Observa-se nos resultados da Tabela_7 que os desvios-padrão dos tempos médios de atendimento são da ordem de grandeza das médias. Estes valores são, portanto, indicações de que os tempos de atendimento são aproximadamente exponenciais. De fato, verificou-se, através do Método de Kolmogorov-Smirnov, que não se pode rejeitar esta hipótese, ao nível de significância a = 0,05.

Também foram testadas hipóteses de igualdade entre os tempos médios de atendimento de VSA's e VSB's. Para isto foi utilizada a técnica de análise de variância, a fim de identificar diferenças entre as médias populacionais devidas às possíveis causas atuando simultaneamente sobre os elementos da população. O teste verificou com nível de significância a = 0,05 diferenças entre os tempos médios de atendimento para os dez veículos. Para efeito de modelagem, optou-se então por considerar servidores distintos no sistema.

Relação entre o tempo de atendimento e o tempo de viagem Variações no tempo total de atendimento devidas às variações no tempo de viagem são admitidas como sendo de segunda ordem, quando comparadas às variações dos tempos junto ao paciente (em cena) e/ou tempo de preparação da equipe (setup).

Esta hipótese, que limita a aplicabilidade do modelo, é freqüentemente verificada em serviços urbanos, e menos observada em serviços em rodovia. Pode- se observar que os tempos médios de viagem são pequenos em relação aos tempos médios de atendimento, para cada ambulância (em média, cerca de 18%), e que variações nos tempos médios de viagem contribuem pouco para as variações nos tempos médios de atendimento (compare os valores apresentados nas Tabelas_7 e 8).

3.2 Possíveis estados do sistema No modelo hipercubo, as transições entre estados ocorrem de modo idêntico aos modelos Markovianos clássicos de filas. Admite-se que apenas um servidor é despachado para atender um chamado, e que a probabilidade de chegarem dois chamados exatamente no mesmo instante, e a probabilidade de dois atendimentos terminarem exatamente no mesmo instante, são nulas. Em síntese, qualquer transição de um passo é permitida, enquanto todas as transições com mais de um passo não são (processos estocásticos de nascimento e morte).

O SAMU-192 possui 10 átomos e 10 ambulâncias; assim, o modelo é aplicado para uma situação em que NA = 10 e N = 10. O serviço em operação na cidade de Campinas permite que seus usuários entrem em uma fila, caso todas as ambulâncias estejam ocupadas no instante da ocorrência do chamado. Cada estado particular do sistema é representado por um vetor com N=10 elementos, onde cada um pode assumir valores 0 ou 1, representando o estado de cada ambulância (0 se estiver disponível e 1, caso contrário). Logo, existem 210 = 1024 estados possíveis no sistema, além dos 10 estados saturados, S11, S12, ..., S20, que definem a fila. A Figura_5 mostra os diagramas de fluxos de entrada nos estados 0000000000 (sistema vazio) e 1111111111 (sistema cheio), de acordo com a matriz de preferência de despachos apresentada na Tabela_6.

De maneira análoga, podem ser considerados os fluxos para todos os estados intermediários do sistema. A Figura_6 ilustra para o estado intermediário 1000000101.

3.3 Equações de balanço Para se descrever as equações de balanço dos estados, é preciso admitir a condição de equilíbrio para o sistema, ou seja, para todos os possíveis estados, o fluxo com que o sistema entra em tal estado deve ser igual ao fluxo com que ele sai deste estado. Considera-se a matriz de preferência de despacho dos servidores, uma vez que os veículos são despachados na ordem de preferência que aparecem nesta lista (pois as taxas de transição dependem da ordem em que os veículos são enviados para os átomos). O sistema de equações produzido para este estudo de caso resulta em 1024 equações lineares (ou seja, uma para cada estado), cujas incógnitas são suas probabilidades de equilíbrio do sistema. Por ilustração, seguem abaixo as equações de equilíbrio dos estados 0000000000, 1111111111 e 1000000101 (Figuras_5 e 6).

Da teoria de filas sabemos que o sistema acima é indeterminado. Uma forma de eliminar esta indeterminação é introduzindo uma equação de normalização, ou seja, considerando que a soma das probabilidades de todos os possíveis estados do sistema deve ser igual a 1. Devido à analogia com os modelos de filas clássicos M/M/N, considerando-se a política operacional onde se permite a formação de filas, facilmente pode-se estabelecer as seguintes relações para os estados que compõem a fila (maiores detalhes podem ser encontrados em Takeda, 2000):

3.4 Solução do modelo Sistemas que operam com N servidores possuem um sistema linear com 2N equações, cujo resultado são os valores das probabilidades de equilíbrio do sistema.

Portanto, mesmo em casos onde N é pequeno, é essencial assegurar a viabilidade computacional de se resolver o problema. Tal sistema pode ser resolvido, por exemplo, pelo método de Gauss-Jordan, ou pelos métodos iterativos de Gauss- Seidel ou Gauss-Jacobi. Os métodos iterativos são métodos aproximados por natureza, pois sua implementação exige um critério de parada baseado no erro absoluto máximo tolerável. Além disso, existe a possibilidade de não convergirem. No presente trabalho, o sistema de equações que representa os possíveis estados do SAMU-192 foi solucionado utilizando-se o método de Gauss- Jordan que, apesar de ser mais custoso computacionalmente (se comparado com o método de Gauss-Seidel), não envolve condições adicionais para a obtenção da solução.

Larson (1975) propôs um método aproximado baseado na solução de um sistema não linear com apenas N equações. Este método pode ser usado em casos onde N é grande, e alternativamente aos métodos exatos, que podem ficar impraticáveis computacionalmente. O método aproximado de Larson difere do método exato, basicamente em dois aspectos: o primeiro é a suposição de que todos os servidores são homogêneos; o segundo é que a escolha do servidor a ser despachado para realizar o atendimento se dá de forma aleatória em um sistema M/M/N, enquanto que no método exato esta seleção se dá na seqüência estabelecida pela política de despachos do sistema (Chiyoshi et al., 2001).

3.5 Resultados Os resultados obtidos com a aplicação do modelo hipercubo mostraram sua eficácia e precisão para avaliar o SAMU-192. A probabilidade de se encontrar o sistema vazio (p0000000000), ou seja, com todas as ambulâncias disponíveis é pequena, em torno de 0,003, e a probabilidade do sistema estar saturado (ps) é de 0,09, isto é, cerca de 9% dos chamados encontram o sistema com todos os servidores ocupados mais 0, 1, 2, ..., ou 10 usuários em fila. A probabilidade de perda do sistema é de apenas 0,0001. Com a distribuição de equilíbrio de estados computada, pode-se estimar diversas medidas de desempenho interessantes para o gerenciamento do sistema. Os resultados que seguem condizem com as condições operacionais originais do SAMU-192.

Carga média de trabalho A carga de trabalho (workload) de um servidor n (rn), representa a fração de tempo em que o servidor permanece ocupado, e pode ser facilmente obtida através da soma das probabilidades dos estados em que o servidor está ocupado, ou seja:

onde pQ é a probabilidade de formação de fila, e pode ser calculada como: [/ img/revistas/pope/v24n1/20098x9.gif].

No caso do SAMU-192, os resultados produzidos pelo modelo confirmaram as observações iniciais feitas pela coordenação. Os VSB's ficam, em média, 63% do tempo ocupados, e os VSA's, 39% do tempo ocupados. Quanto ao sistema como um todo, o valor obtido foi de 58% (compatível com as informações colhidas no sistema, de 60%). A Tabela_8 apresenta uma comparação entre as cargas médias de trabalho produzidas pelo modelo com as informações fornecidas pelo sistema para os VSA's e VSB's. Uma das vantagens deste cenário, onde todos os veículos permanecem centralizados, é o fato de existir um bom balanceamento da carga de trabalho das ambulâncias.