Determinação do número óptimo de equipamentos
de reserva e perı́odo óptimo de revisão para um
conjunto de equipamentos
Introdução
A ocorrência de avarias provoca a paragem dos equipamentos para um perı́odo pelo menos
igual ao tempo necessário para proceder à reparação e compromete a execução das tarefas
em curso ou a realizar pelo equipamento avariado, acarretando custos elevados. Quando uma
operação é executada por um conjunto de equipamentos idênticos, isto é, um conjunto de
equipamentos que executam a mesma função, o recurso a máquinas de reserva é geralmente
justificável economicamente. A finalidade destas máquinas é a de substituir equipamentos
avariados, permitindo prosseguir com as tarefas deixadas em curso.
No entanto, possuir máquinas de reserva origina, na maior parte das vezes, custos elevados
tendo de ser ponderados o custo de posse destes equipamentos e a economia resultante da
não diminuição da capacidade de produção do sistema constituı́do pelo conjunto activo de
equipamentos.
Neste trabalho considera-se ainda a possibilidade de se proceder a revisões periódicas do
equipamento de forma a diminuir a probabilidade de ocorrência de avarias, diminuı́do assim
a necessidade de máquinas de reserva. O objectivo é de propor uma polı́tica de manutenção
que minimize os custos de manutenção. Foi desenvolvido um modelo que permite determinar
em simultâneo o número óptimo de equipamentos de reserva e o perı́odo óptimo de revisão.
A função objectivo deste modelo é a minimização dos custos e é aplicável apenas a sistemas
no estado estacionário, estado em que as avarias seguem um Processo Homogéneo de Poisson
(Harold Ascher e Harry Feingold (1984)).
Este documento está organizado da seguinte forma. Na secção 2 apresentam-se algumas
definições e mostra-se a forma como a fiabilidade dos sistemas pode ser aumentada através
da substituição de componentes. Na secção 3 define-se o estado estacionário dos sistemas e
apresentam-se dois testes de tendência que permitem averiguar se os sistemas se encontram ou
não no estado estacionário. Na secção 4 apresentam-se os pressupostos do modelo, os custos
que constituem a função objectivo, os parâmetros e expressão do modelo. Na secção 5 faz-se
uma breve descrição de uma aplicação informática desenvolvida para encontrar os valores das
variáveis de decisão do modelo. Na secção 6 apresenta-se um exemplo numérico. A secção 7
apresenta as conclusões e a secção 8 indica os trabalhos a desenvolver futuramente.
A fiabilidade de sistemas sujeitos a revisões periódicas
Designa-se por sistemas ou equipamentos reparáveis, os equipamentos cuja avaria não implica
o fim da vida; é lhes devolvida a capacidade de funcionamento através de uma reparação que
poderá envolver a substituição de um ou vários componentes. Por sua vez, designa-se por
componentes, os equipamentos não reparáveis economicamente, sendo que a primeira e única
avaria tem por consequência a perda definitiva do componente.
A fiabilidade de um componente pode ser caracterizada pela função de risco h(t). a função
de risco é a probabilidade condicionada do equipamento avariar no intervalo (t, t+∆t] dado que
ainda não avariou até ao instante t (Nancy R. Mann, Ray. E. Schafer e Nozer D. Singpurwalla
(1974)).
Quanto à fiabilidade de um sistema, ela é geralmente caracterizada pela taxa de ocorrência
de falhas. A taxa de ocorrência de falhas ou taxa de avarias de um sistema, denominada por
v(t), é definida como sendo a derivada em ordem ao tempo do número esperado de falhas até
ao instante t. Se N(t) for o número de avarias ocorridas até ao instante t, v(t) será dada pela
seguinte expressão (Harold Ascher e Harry Feingold (1984)):
Pode-se considerar que um equipamento reparável é composto por vários componentes que
são substituı́dos quando avariam. A falha de um componente provoca a falha do sistema. O
número esperado de falhas do sistema é assim dependente da frequência das avarias dos componentes que o compõem, que depende, por sua vez, da função de risco de cada componente,
tal como ilustra a figura 1.
A função de risco de um componente pode ser decrescente, componente 2, constante,
componentes 3 e n, ou crescente, componente 1 e 4. A figura ilustra a ocorrência de avarias
originadas pela falha de diferentes componentes pertencentes a um sistema. Quando um
componente avaria ele é substituı́do por outro componente idêntico, com a mesma função de
risco.
Se um componente com função de risco crescente for substituı́do antes de ocorrer a avaria,
a taxa de avarias do sistema diminuı́. Os componentes mecânicos são exemplos tı́picos de
componentes com função de risco crescente sendo o aumento da função de risco provocado
pelo desgaste do equipamento ocorrido ao longo do tempo.
A taxa de avarias dos sistemas não depende da forma da função de risco dos seus componentes mas sim do seu valor num determinado instante. Dessa forma, a substituição antes de
ocorrer a avaria de componentes com função de risco constante, não altera a taxa de avarias
dos sistemas uma vez que, o componente substituto tem uma função de risco com o mesmo
valor do que a do componente substituı́do. Para os componentes com função de risco crescente,
o novo componente apresenta um valor inferior para a função de risco (ver componente 4 da
figura).
O objectivo das revisões periódicas é substituir componentes com função de risco crescente
antes que ocorra a avaria, provocando assim uma diminuição na taxa de avarias e uma melhoria
na fiabilidade dos sistemas.
3
3.1
O estado estacionário dos sistemas
Definição
Segundo Ascher e Feingold , um sistema está no estado estacionário se para qualquer dois
pontos t > s ≥ 0 e qualquer ∆ > 0, as variáveis aleatórias [N(t) - N(s)] e [N(t + ∆) - N(s +
∆)] são identicamente distribuı́das.
No estado estacionário, a taxa de avarias dos sistemas é constante e o número de falhas do
sistema é modelado por um Processo Homogéneo de Poisson. Segundo o teorema de Drenick
(Harold Ascher e Harry Feingold (1984)), os sistemas encontram-se no estado estacionário após
um longo perı́odo de funcionamento.
Os sistemas submetidos a revisões realizadas a intervalos constantes, mantêm uma taxa
de avaria constante independentemente de apresentarem inicialmente tendência crescente na
taxa de avarias; a realização de revisões periódicas elimina praticamente a possibilidade dos
sistemas entrarem na fase de desgaste, fase em que a taxa de avarias aumenta rapidamente.
Os sistemas submetidos a revisões periódicas mantêm-se assim no estado estacionário (M. Xie;
H. Kong e T. N. Goh (2000)).
3.2
Testes de tendência
Para averiguar se um sistema apresenta ou não tendência na taxa de avarias, podem ser
utilizados testes de tendência tal como o teste de Laplace (equação 1) e o teste MIL-HDBK189 (equação 2) (Harold Ascher e Harry Feingold (1984)).
A hipótese nula de ambos os testes consiste em considerar a taxa de ocorrência de avarias
constante, isto é, considerar o processo observado como um processo Homogéneo de Poisson.
Se for rejeitada a hipótese nula com uma determinada margem de erro poderemos afirmar que
a taxa não é constante, isto é, o processo observado não é um processo Homogéneo de Poisson,
e que existe tendência nos dados observados.
Nas expressões (1) e (2), T1, T2, ...., Tm-1 são os tempos ordenados de falha (ou tempos
cumulados de funcionamento até à avaria) do sistema no intervalo (o, Tm]. A estatı́stica do
teste de Laplace aproxima-se de uma distribuição Normal estandardizada; a aproximação é
adequada para um nı́vel de significância de 5% e para m ≥ 4.
A estatı́stica do teste MIL-HDBK-189 é distribuı́da segundo a distribuição do Qui-quadrado
com 2(m-1) graus de liberdade.
4
O modelo
4.1
Pressupostos do modelo
O modelo assume alguns pressupostos descritos a seguir.
i) O conjunto de equipamentos em serviço e de reserva são equivalentes. Consideram-se
equivalentes, equipamentos que, por um lado, executam a mesma tarefa com a mesma
produtividade e qualidade, e por outro, têm a mesma oportunidade para avariar.
ii) A capacidade de manutenção é ilimitada. Quando o equipamento avaria, ele é reparado
de imediato. Não se considera a eventual fila de espera que se pode gerar quando a
equipa de manutenção não está disponı́vel.
iii) Os materiais para reparação e revisão estão disponı́veis quando requeridos.
iv) Procede-se à substituição de um equipamento activo por um equipamento de reserva
numa das seguintes situações: o equipamento avariou ou o equipamento completou o
perı́odo de revisão sem avaria e precisa ser revisto.
v) As revisões ao equipamento, se existirem, são executadas a intervalos constantes, depois
de decorrido um determinado tempo de funcionamento sem avarias, e durante o perı́odo
de operação do sistema.
vi) As reparações são executadas durante o perı́odo de operação do sistema.
vii) O tempo gasto na reparação de uma avaria é determinı́stico.
viii) O perı́odo de tempo para execução da revisão é igual ao perı́odo de tempo gasto na
reparação de uma avaria.
ix) O tempo durante o qual o número de equipamentos em funcionamento se altera não é
suficientemente elevado para que se verifique uma alteração na taxa de avarias.
x) As reparações repõem o sistema num estado equivalente ao imediatamente anterior à
avaria.
4.2
Os custos de Manutenção
Os custos considerados decisivos para escolha da melhor polı́tica de manutenção foram agrupados em quatro categorias por uma questão de simplificação da expressão do modelo: custos
de perda de produção, custos de reparação e de quebra de produção devido à avaria, custos
de revisão e custo de posse relativo aos equipamentos de reserva.
Todos os outros tais como gastos gerais, custo de posse das máquinas em funcionamento
e das ferramentas de trabalho não são considerados por serem independentes da polı́tica de
manutenção.
– Custos de Perda de Produção devido à falta de equipamento
O custo de perda de produção considera-se relacionado com a falta de equipamento para
substituição durante a reparação de um equipamento que se torne inoperacional devido a uma
avaria.
A falta de uma máquina provoca perdas devido à não produção de produtos, à imobilização
de material em curso de fabricação, à ocupação ineficiente da mão de obra, assim como outras
perdas induzidas tal como, eventualmente, a perda do cliente devido ao não cumprimento do
prazo de entrega.
– Custos de reparação e de quebra de produção devido à avaria
São considerados custos de quebra de produção devido à avaria, os custos originados pelo
decréscimo de produção e/ou a rejeição de produto por falta de qualidade, situações que
geralmente ocorrem na iminência da avaria.
No momento da avaria, o material ou peça em processamento pode, em certos casos, não
ser recuperável. Dependendo da fase de processamento e do valor acrescentado ao material ou
peça, os custos podem ser elevados. Estes custos são também incluı́dos nesta categoria.
A paragem do equipamento quando ocorre a avaria obriga a que seja efectuado arranque
da máquina de reserva, ou novo arranque da máquina avariada após a reparação. O custo
de arranque é, em muitos casos, bastante elevado e é considerado como um custo de quebra
devido à avaria.
Os custos incorridos para restabelecer a capacidade de funcionamento do sistema, são os
chamados custos de reparação. Incluem-se nestes custos, os custos de aquisição e de posse
de peças de reserva, os custos de aquisição e posse de materiais para reparação e o custo da
mão-de-obra.
– Custos de revisão
Os custos de manutenção ou revisão da máquina são muito semelhantes aos custos de
reparação, envolvendo o custo de materiais, de peças e de mão-de-obra.
Considera-se que as revisões aos sistemas são realizadas durante o tempo de operação e
obrigam à paragem do sistema ao qual se pretende efectuar a revisão. O sistema é substituı́do
por outro que é imediatamente posto a funcionar. O custo de arranque do novo sistema é
incluı́do no custo de revisão.
– Custos de Posse
O custo de posse é o custo de manter os sistemas de reserva num determinado espaço e de
eventualmente, proceder a operações de conservação.
Inclui-se também neste grupo, o chamado custo de oportunidade originado pela imobilização do capital e a amortização da máquina.
4.3
Parâmetros e notações
n - número de equipamentos de reserva
L - periodicidade de revisão ou tempo entre revisões sucessivas de um equipamento
nf - número de equipamentos em funcionamento activo
λ - taxa de avarias dos equipamentos activos (nf).
λ2 - taxa de revisão do sistema constituı́do por nf equipamentos
λ1 - taxa de avarias dos equipamentos activos quando são realizadas revisões periódicas ao
equipamento
T - tempo de reparação/ revisão
y1 - número de equipamentos avariados no perı́odo de reparação/revisão
y2 - número de equipamentos em revisão no perı́odo de reparação/revisão
H - custo de posse por equipamento de reserva e por unidade de tempo
R - Custo de reparação e de quebra de produção por avaria
Rv - Custo de revisão por equipamento
Cp(x) - Custo de perda de produção devido aos equipamentos em falta (x), por unidade de
tempo. Este custo é definido como uma função em x
x - número de equipamentos em falta no perı́odo de reparação/revisão
P( y1 , λ .T) - probabilidade de existir y1 equipamentos avariados no perı́odo T
P( y1 , λ1 .T) - probabilidade de existir y1 equipamentos avariados no perı́odo T, quando são
realizadas revisões periódicas
P( y2 , λ2 .T) - probabilidade de existir y2 equipamentos em revisão no perı́odo T
4.4
Expressão do modelo
A função objectivo do modelo é a minimização do custo total cuja expressão foi encontrada
para um perı́odo equivalente ao perı́odo de reparação/revisão. O custo total é função do
número de equipamentos de reserva e da taxa de revisão do sistema.
A periodicidade de revisão de um equipamento pertencente ao sistema em análise será dada
pela seguinte expressão:
ln (1 − λλ1 )
L=−
.nf
λ1
A primeira parcela da função objectivo diz respeito ao custo de perda de produção. Cp(x) é o
custo de perda de produção por unidade de tempo para x equipamentos em falta. O número
de equipamentos em falta depende do número de equipamentos em reparação (y 1 ) e do número
de equipamentos em revisão (y2 ) no perı́odo T, consoante apresentado nas restrições 3) e 4).
O modelo considera que o número de equipamentos avariados (ou número de avarias)
segue um processo homogéneo de Poisson com parâmetro dado por λ 1 .T; considera ainda que
o número de equipamentos em revisão é também uma variável poissoniana cujo parâmetro da
distribuição é dado por λ2 .T.
A segunda parcela da função objectivo consiste no custo de posse, a terceira no custo de
reparação e a quarta e última, no custo de revisão. H, R e Rv são respectivamente o custo de
posse por equipamento de reserva, o custo de reparação e o custo de revisão por equipamento,
por unidade de tempo.
O modelo não permite que sejam realizadas mais do que n revisões em simultâneo (ver
restrição 2) do modelo), sendo n o número de equipamentos de reserva.
5
Aplicação informática
Desenvolveu-se uma aplicação informática que permite registar as datas de avarias de conjuntos
de equipamentos idênticos e, a partir dessas datas, pode verificar se a distribuição de falhas de
qualquer dos conjuntos segue um Processo de Poisson Homogéneo, condição verificada através
dos testes de tendência já referidos: teste de Laplace e teste MIL-HDBK-189. Se a condição
se verificar poderá ser aplicado o modelo desenvolvido, e a taxa de avarias do conjunto será
estimada com base no registo das datas de avarias. É necessário o registo de pelo menos quatro
datas de avarias, caso contrário o segundo teste não poderá ser levado a cabo (ver capı́tulo 3.2).
Logicamente quanto maior for o número de avarias registadas melhor será a aproximação dos
estatı́sticos de teste à respectiva distribuição. O perı́odo necessário de observação irá depender,
por um lado, da fiabilidade de cada equipamento e, por outro, do número de equipamentos
em observação.
A aplicação procura a solução óptima para cada caso depois de serem introduzidos, pelo
utilizador, os custos de manutenção. A figura 2 mostra duas das janelas de interface da
aplicação: a primeira consiste no formulário para entrada e consulta de dados sobre perı́odos
de funcionamento e datas de avarias dos equipamentos, a segunda consiste no formulário que
permite a aplicação do modelo e apresentação dos resultados.
O modelo desenvolvido trata de um conjunto de equipamentos que executam a mesma
tarefa com o mesmo desempenho. Este conjunto de equipamentos foi designado de grupo.
A primeira janela apresentada permite fazer o registo de cada máquina pertencente a um
determinado grupo através da sua referência e designação, indicar as datas de inı́cio e fim dos
perı́odos de funcionamento e, registar as datas e descrição das avarias assim como a duração
da reparação do equipamento. O registo dos perı́odos de funcionamentos, datas de avarias e
duração da reparação vão permitir levar a cabo os testes estatı́sticos sendo necessário, para a
sua realização, contabilizar o tempo efectivo de funcionamento entre duas datas. A aplicação
procede ao cálculo do tempo efectivo em dias, tendo em consideração os dias feriados, sábados
e domingos.
Figura 2: Janelas de interface para entrada e consulta de dados sobre avarias a) e para aplicação do
modelo e apresentação de resultados b).
O cálculo do número de equipamentos de reserva e periodicidade de revisão requer, em
primeiro lugar, a introdução do perı́odo médio de reparação designado por T. Requer ainda o
custo de reparação e o custo de revisão, o custo de perda de produção e o custo de posse por
unidade de tempo (ver segunda janela apresentada).
O utilizador tem a possibilidade de escolher a unidade de tempo para cada um dos custos
introduzidos: dia, mês ou ano. Tem ainda a possibilidade de escolher a unidade de tempo em
que lhe será apresentada a solução.
Para que as conversões se façam devidamente e de acordo com os perı́odos de trabalho da
organização onde se insere o sistema, é pedido ao utilizador que introduza: o número de horas
de trabalho por dia e, o número de dias de trabalho por mês e por ano.
A aplicação devolve o perı́odo óptimo de revisão, o número óptimo de equipamentos de
reserva e o custo total da solução proposta.
6
Exemplo numérico
Considera-se um conjunto de 15 tornos de comando numérico idênticos em funcionamento,
cujo código é TXJ 40S. Dispõe-se do registo das datas de avaria dos tornos para o primeiro
trimestre de 2000, assim como a respectiva duração da reparação e modos de avaria. A figura 3
apresenta um relatório das avarias do grupo em questão, devolvido pela aplicação informática.
Ambos os testes estatı́sticos não revelaram a existência de uma tendência na ocorrência de
avarias para o grupo TXJ 40S.
Teste de Laplace:
Estatı́stico do teste ⇒ ET = -0,477
Valor de Z da distribuição Normal ⇒ Z0.025 = -1,96
Sendo |ET| < |Z| , a hipótese nula não é rejeitada.
LISTA DE AVARIAS DA MÁQUINA:
45
TXJ 40S
REF.
MÁQUINA
DATA
TEMPO DE REPARAÇÃO
(dias)
DESCRIÇÃO DA AVARIA
01.013
04-01-2000
1
Avaria do motoredutor
01.102
10-01-2000
3
Sistema de lubrificação inoperacional
01.010
17-01-2000
2,5
Problema no Comando Numérico
01.114
28-01-2000
1,5
Servomotor danificado
01.088
07-02-2000
2
Problema no Comando Numérico
01.003
18-02-2000
1
Servomotor danificado
01.009
23-02-2000
2
Problema no Comando Numérico
01.013
14-03-2000
1,5
Servomotor danificado
01.003
17-03-2000
2
Sistema de lubrificação inoperacional
01.010
21-03-2000
2
Sistema de lubrificação inoperacional
Figura 3: Avarias do grupo TXJ 40S.
Teste MIL-HDBK-189:
Estatı́stico do teste ⇒ ET = 25,163
Valor do Qui-quadrado com 20 graus de liberdade
⇒
χ2
20,0.025 =
34,17
Sendo |ET| < |χ2 | , a hipótese nula não é rejeitada.
A não rejeição de ambas as hipótese permite considerar que o sistema está no estado
estacionário. Isto possibilita a obtenção de resultados para o número óptimo de equipamentos
de reserva e periodicidade de revisão através dos modelos.
A figura 4 apresenta um relatório dos resultados obtidos para o grupo TXJ 40S, nomeadamente: a taxa de avarias do grupo e os valores obtidos para as variáveis de decisão do modelo
(ver campo denominado por “número de equipamentos de reserva (com revisão)”).
O tempo total observado para o grupo TXJ 40S foi de 1 122 dias (ver topo do formulário
do relatório). Sendo 10, o número de avarias verificadas nesse intervalo de tempo, a taxa de
avaria foi estimada da seguinte forma:
Segundo o modelo proposto, será necessário uma máquina de reserva, e proceder a revisões
sempre que um torno funcionar 113 dias sem avariar. O custo total associado a esta polı́tica
de manutenção é de 2.624,02 euros / mês.
No campo denominado por “número de equipamentos de reserva (sem revisão)” da figura
4 encontram ainda os valores para o número óptimo de equipamentos de reserva e custo total
para uma situação que não prevê a realização de revisões periódicas. Os resultados revelam a
necessidade de se adquirir 2 máquinas de reserva para alcançar o custo mı́nimo de 4 814 euros
/mês, valor muito superior ao encontrado com o modelo proposto.
quarta-feira, 7 de Novembro de 2001
RELATÓRIO
CÓDIGO DO GRUPO:
TXJ 40S
DESIGNAÇÃO DO GRUPO:
Tornos de Comando Numérico
Tempo Observado:
1122
Número de Avarias:
10
Nº de equip. em funcionamento:
15
Taxa de Avaria:
0,1336898
dias
avarias/dias
NÚMERO DE EQUIPAMENTOS DE RESERVA (SEM REVISÃO)
Tempo Médio de Reparação: 2 Dias
Custos
Resultados encontrados
Custo de Posse por Equipamento: 1.536,00 Euros / Mês
Número Óptimo de Equipamentos: 2
Custo de Reparação:
Custo Total: 4.814,14 Euros / Mês
450,00 Euros
Custo de Perda de Produção*: 3000 * x ^ 2 + 0 Euros / Dia
NÚMERO DE EQUIPAMENTOS DE RESERVA (COM REVISÃO)
Tempo Médio de Reparação/Revisão: 2 Dias
Número Máximo de Equipamentos de Reserva: 4
Custos
Resultados encontrados
Custo de Posse por Equipamento:1.536,00 Euros / Mês
Número Óptimo de Equipamento: 1
Custo de Reparação:
450,00 Euros
Período Óptimo de Revisões: 113 dias
Custo de Revisão:
350,00 Euros
Custo Total: 2.624,02 Euros / Mês
Custo de Perda de Produção*: 3000 * x ^ 2 + 0 Euros / Dia
* x representa o número de equipamentos em falta
Figura 4: Ficha de resultados do grupo TXJ 40S.
7
Conclusão
O modelo proposto permite encontrar uma polı́tica de manutenção que, por um lado, minimiza
os efeitos da ocorrência de avarias através da existência dos equipamentos de reserva e, por
outro lado, reduz a probabilidade de ocorrência das avarias através da revisão periódica do
equipamento.
O modelo desenvolvido é apenas aplicável a sistemas no estado estacionário; sistemas
com tendência crescente ou decrescente na ocorrência de avarias não são contemplados. No
entanto, se um sistema apresentar uma tendência crescente no número de avarias, os modelos
para cálculo de equipamentos de reserva têm pouco interesse uma vez que, nesses casos a acção
a tomar é a de actuar sobre as causas do aumento da taxa e não sobre as consequências. Nas
situações em que a taxa de falhas diminui com o tempo, seria importante determinar o efeito
que essa diminuição provoca no número óptimo de equipamentos de reserva.
Alguns pressupostos do modelo poderiam ser ultrapassados, nomeadamente:
• Capacidade ilimitada da equipa de manutenção.
Se puder ser assegurado um tempo médio de reparação inferior ao tempo médio entre
avarias, não se irá formar fila de espera e o resultado encontrado com o modelo será
perfeitamente aceitável. O tempo médio de reparação pode ser reduzido de forma a ser
inferior ao tempo médio entre avarias, através do aumento da capacidade da equipa de
manutenção.
• Revisões realizadas durante o tempo de serviço do equipamento.
Se existir a possibilidade de realizar as revisões durante o tempo de paragem do equipamento, as máquinas de reserva só serão utilizadas quando se verificar a falha do equipamento. Não haverá perda devido à paragem, nem perda devido ao arranque do equipamento depois das revisões.
Esta situação implica uma pequena modificação no modelo proposto. O número de
equipamentos em falta passa a ser apenas função do número de equipamentos avariados,
o que leva às seguintes alterações no modelo:
- as restrições 3) e 4) alteram-se para:
x = 0,
se y1 ≤ n
∨
x = y1 - n,
se y1 > n
- o custo de perda de produção altera-se para:
X
[Cp(x).T.P (y1 , λ1 .T ) ]
y1
8
Trabalhos futuros
Como foi salientado, a aplicação do modelo proposto é limitada a certos sistemas em determinadas condições de funcionamento, seria útil o cálculo do número de equipamentos de reserva
e periodicidade de revisão, nas seguintes situações:
• para sistemas com tendência na taxa de avaria;
• considerando limitação na capacidade da equipa de manutenção;
• considerando o tempo médio de reparação de um equipamento diferente do tempo médio
de revisão.
O(s) modelo(s) que permitiria(m) calcular tais incógnitas antevê-se que seja(m) dum grau
de complexidade muito superior ao do modelo aqui apresentado. Prevê-se que este trabalho
venha a ser desenvolvido futuramente.
