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Busca sequencial de alvos intermediários em modelos DEA com soma de outputs constante

Introdução

O objectivo da abordagem por Análise de Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis – DEA) é avaliar a eficiência de unidades produtivas, chamadas de unidades de tomada de decisão (Decision Making Units – DMUs), ao comparar unidades que realizam tarefas similares e que distinguem-se umas das outras pelas quantidades de recursos (inputs) que consomem e de bens (outputs) que produzem (Cooper et al., 2000, Lins e Angulo-Meza, 2000). Além de identificar as DMUs eficientes, os modelos DEA permitem medir e localizar a ineficiência, e estimar uma função de produção linear por partes, que fornece o benchmark para as DMUs ineficientes. Esse benchmark é determinado pela projecção das DMUs ineficientes na fronteira de eficiência. A forma como é feita esta projecção determina a orientação do modelo. Orientação a inputs (quando deseja-se minimizar os recursos, mantendo-se os valores dos resultados constantes) e orientação a outputs (quando deseja-se maximizar os outputs sem diminuir os inputs) são as principais.

Os modelos DEA clássicos, tanto o modelo CCR (Charnes et al., 1978) quanto o modelo BCC (Banker et al., 1984), supõem total liberdade de produção, ou seja, a produção de uma DMU não interfere na produção das demais. Entretanto, em alguns casos esta liberdade não existe. No caso de competições, por exemplo, se for considerado como output um ı́ndice que agrega seus resultados (Soares de Mello et al., 2001; Gomes et al., 2001) [17, 10], a melhora de posição de qualquer competidor implica na perda de posição de um ou mais de seus adversários.

Exemplificando com o caso dos Jogos Olı́mpicos, um paı́s (DMU) que ganhasse medalhas extras ou melhorasse o nı́vel das medalhas, automaticamente faria com que outros paı́ses deixassem de ganhar estas medalhas, ou seja, perderiam unidades de output (Lins et al., 2001).

Um outro exemplo é o caso da avaliação de eficiência de unidades produtivas que produzem um determinado produto cuja demanda é constante. Neste caso, uma certa DMU considerada ineficiente deverá produzir mais unidades do produto para atingir a fronteira de eficiência, com a consequente diminuição da produção das demais unidades.

É aqui proposta uma alteração no modelo DEA BCC clássico (Banker et al., 1984) que considera estas limitações. Este novo modelo será chamado de Modelo DEA com Ganhos de Soma Zero (DEA-GSZ), já que apresenta situação semelhante à de um jogo com soma zero (Osborne e Rubinstein, 1999), no qual tudo o que é ganho por um jogador é perdido por algum outro(s). Ou seja, a soma lı́quida dos ganhos deve ser zero.

Neste novo modelo, ao contrário do que acontece nos modelos tradicionais, o modo como uma DMU atinge seu alvo na fronteira, pode implicar na alteração da forma da fronteira eficiente. A busca por eficiência pode ser feita por uma única DMU ou por várias em regime de cooperação, o que conduz a um problema de Programação Não Linear Multiobjectivo.

Os gestores podem argumentar que é um salto extremamente grande tentar atingir a eficiência de uma só vez, sendo mais factı́vel uma busca gradativa de alvos. Uma forma de determinar estes alvos intermediários, apresentada neste artigo, é buscá-los nas camadas de iso-eficiência, que representam diferentes nı́veis de utilização da tecnologia.

2

Formulação do modelo DEA com soma de outputs constante

A formulação clássica do modelo do envelope DEA BCC com orientação a outputs, usa para cada DMU o Problema de Programação Linear (PPL) apresentado em (I). Neste PPL, para a DMU o em análise, a eficiência é dada por 1/ho ; xj representam os inputs; yj são os outputs; λj representam a contribuição da DMU j para a projecção da DMU o na fronteira. Esta projecção na fronteira de eficiência é o alvo a determinar.

A formulação geral do Modelo DEA com Ganhos de Soma Zero (DEA-GSZ) que, como descrito na primeira secção, considera a soma dos outputs constante, é a apresentada em (II) (Gomes et al., 2001) [9].

Nesta formulação, a unidade em análise é igualmente a DMU o. h Ro é o inverso da eficiência de DMU o no modelo DEA-GSZ; xj e yj são valores originais dos inputs e dos outputs, respectivamente; yj 0 são novos outputs das DMUs restantes, considerando-se a perda de outputs devido ao ganho pela DMU o;! λj são as contribuições das DMUs na projecção eficiente; em que a retirada da quantidade de outputs seja a mesma para todas as DMUs aparenta ser uma escolha equitativa, sem nenhuma necessidade de formular hipóteses que indiquem uma linha de acção mais especifica. No entanto, esta estratégia traz sérios problemas quando existem DMUs com baixos valores para os outputs. Nestes casos, corre-se o risco de criar, artificialmente, situações em que surgem outputs negativos. A estratégia de igual redução z ≤ min(yj ).

(Gomes et al., 2001) [9] só pode ser usada sem problemas nos casos em que n−1 Para evitar estas situações será usada estratégia de redução proporcional ao nı́vel de output de cada DMU. O uso desta estratégia é justificado porque, além de também evitar hipóteses mais discricionárias, permite contornar a não linearidade do modelo DEA-GSZ, com a proposição e prova de dois teoremas, que permitem o uso de uma única equação para sua resolução.

Além disso, em situações semelhantes na Programação Linear Multiobjectivo (Korhonen e Syrjänen, 2001), é defendida a preferência pela mudança proporcional. Evidentemente esta estratégia também possui seus inconvenientes, como o de não respeitar situações de sólida implantação de uma DMU em um determinado mercado. Ainda assim, para uma primeira abordagem, esta é a estratégia mais conveniente.

2.1

Estratégia de redução proporcional ao nı́vel de output das DMUs j, j 6= o

Nesta estratégia a DMU o busca ganhar z unidades de output. A redução do nı́vel de output das outras DMUs é proporcional, ou seja, aquelas com menor nı́vel de output perdem menos, e as com maior nı́vel de output perdem mais, mantendo-se a condição de a soma das perdas ser igual ao que será ganho pela DMU o.

A Figura 1 representa, para o caso bidimensional, a nova fronteira gerada a partir desta estratégia. A fronteira superior representa a fronteira do modelo clássico; a inferior representa a nova fronteira considerando-se redução proporcional de outputs de todas as DMUs, exceptuando-se a DMU o, que ganha a soma das perdas para tornar-se eficiente.

y z A perda de output para uma DMU j, j 6= o, é representada por Pj y . Como z = j

j6=o

yo (hRo − 1), tem-se que a perda de output da DMU j é

yj yoP (hRo −1) .

yj

Aplicando-se estes resul- tados ao modelo geral (II), obtém-se o modelo (III).

λj ≥ 0

O termo 1 − yo (h PRo −1) yj

será denominado “Coeficiente de Redução” (CR).

j6=o

Este é um problema de Programação Não Linear, devido à restrição

A não linearidade não é uma caracterı́stica grave, já que ao usar-se o facto de que a fronteira eficiente é composta pelas mesmas DMUs nos casos clássico e de GSZ, sabe-se a priori que todas as DMUs que não pertençam ao conjunto de referência da DMU o apresentarão λj = 0. Assim, o número de variáveis do problema fica consideravelmente reduzido e, em certos casos, pode ser resolvido analiticamente com o emprego de técnicas de Cálculo Diferencial. Em casos mais complexos, no entanto (por exemplo, DMU ineficiente com número de DMUs de referência superior a dois), estas técnicas tornam-se extremamente árduas. É então necessária outra técnica de resolução do modelo DEA-GSZ, que é obtida através dos Teoremas demonstrados a seguir.

2.2

Teorema da igualdade das contribuições das DMUs de referência

No modelo DEA-GSZ em que seja adoptada uma estratégia que não altere a composição da fronteira eficiente (excepto pela DMU que busca o alvo), o valor da contribuição das DMUs j ( λj ), j 6= o, é igual ao seu valor no modelo DEA clássico.

Prova: A Figura 2 mostra um trecho da fronteira para o caso bidimensional. A demonstração é análoga para casos multidimensionais, substituindo-se rectas por planos ou hiperplanos e suas respectivas equações.

A DMU o tem como referências as DMUs A e B no modelo DEA clássico, com alvo igual ao nı́vel de output da DMU virtual C. No modelo DEA-GSZ, a DMU o terá alvo igual ao nı́vel de output da DMU virtual C 0 . As equações das rectas suporte destes trechos das fronteiras original e deslocada são apresentadas em (IV) e em (V), respectivamente.

Figura 2: Manutenção das contribuições.

Da definição de contribuição das DMUs de referência na formação do alvo da DMU em análise, têm-se as equações (VI) e (VII).

yC = y B λ B + y A λ A yC0 = yB0 λB0 + yA0 λA0

(VI) (VII)

C −xA Ao compararem-se (IV) e (V) com (VI) e (VII), tem-se que λB = xxB −xA (λA = 1 − λB ) xC0 −xA0 e λ0B = xB0 −xA0 (λA0 = 1 − λB0 ). Como xA = xA0 , xB = xB0 e xC = xC0 , então λB = λB0 e λA = λA0 , q.e.d..

Este teorema aplica-se em particular ao caso de uma estratégia de redução proporcional, já que não são retiradas DMUs da fronteira eficiente.

2.3

Teorema da determinação do alvo

O alvo da DMU em análise no modelo DEA-GSZ de estratégia proporcional é igual ao alvo no caso clássico multiplicado pelo coeficiente de redução.

Prova: O alvo da DMU o no modelo DEA-GSZ é representado pela equação (VII) que, pelo teorema da igualdade das contribuições, pode ser rescrita como a equação (VIII).

yC0 = yB0 λB + yA0 λA

Com estratégia proporcional, yA0 = yA CR e yB0 = yB CR, e ao considerar-se o valor de CR, tem-se a equação (IX), na qual j ∗ é conjunto referência da DMU o, λ∗j e h∗o são soluções óptimas do modelo DEA BCC clássico orientado a outputs, que mostra que o alvo no modelo DEA-GSZ o proporcional (expresso pelo 1 termo da equação) é igual ao alvo clássico multiplicado pelo CR, q.e.d..

Este teorema permite calcular a eficiência e os alvos das DMUs sob o modelo DEA-GSZ proporcional em duas etapas: 1. Correr o modelo DEA BCC clássico, orientado a outputs. Obter os valores dos outputs das DMUs de referência e os valores das contribuições ou da eficiência.

2. Com os valores anteriores, resolver a equação (IX).

3

Cooperação entre DMUs

Nas secções anteriores foi modelada a situação em que uma única DMU busca a fronteira eficiente. Entretanto, em casos reais há a possibilidade de mais de uma DMU procurar maximizar a eficiência, o que pode ser feito em competição ou cooperação. Este artigo trata apenas do caso de um número de DMUs que formam um grupo de cooperação.

No paradigma do DEA-GSZ, a busca em cooperação significa que as DMUs deste grupo tentam retirar determinada quantidade de output apenas das DMUs não pertencentes ao grupo.

A Figura 3 ilustra as ideias expostas, com as DMUs A e B em cooperação.

Para este caso, o modelo DEA-GSZ é expresso pelo Problema Bi-objectivo Não Linear apresentado em (X), no qual j ∗ é o conjunto de referência da DMU A; j ∗∗ é o conjunto de referência da DMU B; yj 0 são os novos valores de output.

Para o caso de uma estratégia qualquer de redução, o modelo (X) deve ser resolvido com o uso de técnicas de Programação Não Linear Multiobjectivo. Problemas deste tipo conduzem frequentemente ao uso de metaheurı́sticas, como em Gomes et al. (2002) e Pires et al. (2002).

No entanto, para a estratégia de redução proporcional, prova-se que o modelo é reduzido a um modelo de Programação Não Linear Mono-objectivo. Para tal, é necessário o seguinte teorema.

3.1

Teorema da proporcionalidade das eficiências em estratégia proporcional

Considere-se o problema de várias DMUs em cooperação na busca de alvos com estratégia proporcional. As eficiências das DMUs no modelo DEA-GSZ são directamente proporcionais às suas eficiências no modelo DEA clássico.

Prova: Não há perda de generalidade em considerar-se apenas duas DMUs em cooperação, como as DMUs A e B da Figura 3. Para a estratégia proporcional, cada DMU j, j 6= A, B, perde quantidade de output , proporcional ao valor de seu output. A perda de output de todas as DMUs fora do grupo de cooperação é igual a soma dos ganhos. Se

P

j6=A,j6=B

yj z P

yj

yj z P

yj

, onde z corresponde à

j6=A,j6=B

= S, as parcelas ganhas por A e por B correspondem,

j6=A,j6=B

respectivamente, aos valores qS e (1 − q) S. Pelo Teorema da Determinação do Alvo, tem-se para a DMU A, hRA yA = CR (hA yA ) e para a DMU B, hRB yB = CR (hB yB ). Fazendo-se o RA quociente entre estes termos, hhRB = hhBA = q, q.e.d..

O número não negativo q pode ser definido como a proporção de aumento de output entre as DMUs A e B.

Corolário Considere-se o problema de várias DMUs em cooperação na busca de alvos com estratégia proporcional. O Problema de Programação Não Linear Multiobjectivo é reduzido a um Problema de Programação Não Linear Mono-objectivo.

Como hRB = qhRA , o modelo (X) é convertido no modelo (XI) que possui uma única função objectivo.

Sendo zA o acréscimo de output da DMU A e zB o da DMU B, z é igual à soma dos ganhos, ou seja, z = zA + zB . Como zA = yA (hRA − 1), zB = yB (hRB − 1) e hRB = qhRA , z tem o valor de z = hRA (yA + qyB ) − (yA + yB ). A perda de output de cada DMU j, j 6= A, B, é, assim representada pela expressão (XII).

yj [hRA (yA +qy P B )−(yA +yB )] , ∀j yj

6= A, B,

∀j 6= A, B

(XII)

j6=A,j6=B

Ao substituir-se (XII) em (XI), resulta (XIII), onde as variáveis de decisão são h RA e λj .

Este modelo pode ser facilmente generalizado para o caso de o conjunto de DMUs em cooperação ter cardinalidade superior a 2.

Para o caso geral, a equação que representa o Teorema da Determinação do Alvo é apresentada em (XIV), na qual W é conjunto das DMUs em cooperação e q ij = hi/hj .

Busca sequencial de alvos intermediários Alvos intermediários em modelos DEA clássicos

Atingir os alvos determinados pelos modelos DEA é uma tarefa que pode encontrar barreiras práticas. Uma determinada DMU que busca eficiência pode não ser capaz de alcançar aquele alvo que lhe é atribuı́do. Na literatura existem algumas propostas para solucionar esta dificuldade, ao auxiliar na busca por alvos alternativos situados na fronteira eficiente, com o uso de Programação por Metas (Athanassopoulos, 1995, Athanassopoulos et al., 1999), Programação Linear Multiobjectivo (Angulo-Meza, 2001, Tavares, 1998, Joro, 1998) e outras abordagens (Thanassoulis e Dyson, 1992). Todas estas proposições tomam como base os modelos DEA clássicos e buscam os alvos na fronteira eficiente.

Uma nova abordagem para a busca de alvos é descrita neste artigo: a busca de forma sequencial, nas camadas de iso-eficiência. Considera-se que uma DMU é capaz de promover mudanças em suas práticas de gestão de forma gradual. As vantagens desta abordagem residem em possibilitar à unidade aprender com o processo e incorporar as mudanças nas práticas de gestão para melhoria do nı́vel de utilização da tecnologia disponı́vel. Ou seja, a unidade pode obter metas em curto prazo mais realistas. Os alvos intermediários, atingidos em sequência, estão localizados nas camadas de iso-eficiência, portanto, abaixo da fronteira eficiente.

As camadas de iso-eficiência são obtidas da seguinte forma: as DMUs com 100% de eficiência formam a camada 1. Essas DMUs são, então, retiradas do conjunto de análise e corre-se novamente o modelo DEA. As DMUs eficientes neste subconjunto formam a camada 2. O processo repete-se até que todas as DMUs tenham sido retiradas do conjunto inicial.

Na literatura, as camadas de iso-eficiência são utilizadas para obter uma forma alternativa de ordenação e divisão em classes em DEA (Barr et al., 2000, Tavares, 1998).

4.2

Busca sequencial de alvos intermediários em modelos DEA-GSZ

A aplicação de busca sequencial descrita, quando aplicada aos modelos com soma de outputs constante, gera propriedades matemáticas adicionais a seguir detalhadas.

Durante a busca sequencial todas as camadas de iso-eficiência apresentam deslocamentos com redução do nı́vel de output, sempre que uma ou mais DMUs busquem um alvo na camada seguinte. Este processo pode ser levado ao ponto em que todas as DMUs pertençam a uma única camada, promovendo, assim, a uniformização da fronteira. A fronteira uniformizada estará localizada em nı́veis inferiores aos da fronteira DEA do modelo clássico. Esta situação pode ser vista como “ideal” por órgão reguladores, que desejem cooperação entre suas unidades.

A Figura 4 representa a busca sequencial de alvos intermediários para uma única DMU, no caso bidimensional com o paradigma DEA-GSZ. A0 e A00 são, respectivamente, o alvo da DMU A no modelo clássico e no modelo DEA-GSZ na camada L-1.

Os modelos DEA-GSZ, de busca de alvos na fronteira eficiente, continuam válidos para busca de alvos nas camadas de iso-eficiência. Exceptua-se o valor das eficiências que, neste caso, são calculadas em relação à camada alvo. Os teoremas demonstrados anteriormente permanecem válidos e, assim, a equação de determinação dos alvos para uma única DMU deslocando-se da camada Lpara a camada L-1 é apresentada em (XV).

Como anteriormente colocado, pode ocorrer de duas ou mais DMUs associarem-se em cooperação para a busca de eficiência no DEA-GSZ sequencial. Os alvos estarão localizados nas camadas de iso-eficiência. A Figura 5 mostra as DMUs A e B, localizadas na camada L, actuando em cooperação, ao buscar alvos na camada L-1. Neste caso as DMUs A e B pertencem à mesma camada de iso-eficiência, podendo também ocorrer a associação de DMUs localizadas em diferentes camadas.

De forma análoga à busca de alvos na fronteira eficiente com soma de outputs constante, tem-se um modelo multiobjectivo, que pode ser resolvido pela equação (XVI), desde que seja adoptada estratégia proporcional. A adopção desta estratégia garante a validade dos teoremas anteriores. Em (XVI), W é conjunto das DMUs em cooperação e q ij = Apesar de a equação (XVI) não impor restrição quanto às camadas de localização das DMUs do conjunto W (conjunto de DMUs em cooperação), podem ocorrer problemas se uma DMU for referência de outra na camada alvo.

4.3

Exemplo numérico

Para ilustrar os conceitos aqui desenvolvidos apresenta-se um exemplo hipotético para um conjunto de 9 DMUs, com dois inputs e um output, que deve ter soma constante (21,5). A Tabela 1 mostra os dados utilizados neste exemplo.

As DMUs do exemplo dividem-se em três camadas de iso-eficiência: • Camada 1 (fronteira eficiente): DMUs A, B e C; • Camada 2: DMUs D, E e F ; • Camada 3: DMUs G, H e I.

Em uma primeira etapa, as DMUs G, H e I formam um conjunto de cooperação em busca de alvos na Camada 2, com eficiência 66,7%, 80,0% e 84,7% em relação a esta camada. Se não fosse considerada a restrição de a soma dos outputs ser constante, os alvos de G, H e I seriam, respectivamente, 1,50, 2,50 e 2,95. Aplicando-se a equação (XV) são obtidos os resultados apresentados na Tabela 2.

Procedendo-se a uma nova iteração, com o conjunto W constituı́do pelas DMUs D, E, F , G, H e I, obtêm-se os resultados mostrados na Tabela 3, com todas as DMUs eficientes. Esta é a situação de fronteira uniformizada, que pode ser usada para emitir directrizes de polı́ticas públicas, nos casos em que várias unidades atendam a uma demanda constante.

Ressalta-se que nas Tabelas 2 e 3 a restrição de a soma dos outputs ser constante é satisfeita (soma igual a 21,5).

5

Conclusões

A constatação de que os modelos clássicos não consideram a existência de um número limitado de unidades de output, tornou necessário o desenvolvimento de um modelo DEA no qual a soma dos outputs seja constante, ou seja, a soma lı́quida dos ganhos deve ser zero. Este modelo, denominado Modelo DEA com Ganhos de Soma Zero (DEA-GSZ ), foi desenvolvido neste artigo para a estratégia de redução proporcional, no qual os valores das eficiências são sempre maiores e os dos alvos menores daqueles encontrados no modelo DEA BCC clássico. A estratégia proporcional, embora tenha limitações, é uma primeira abordagem para o modelo DEA-GSZ e possibilita a obtenção de resultados matemáticos que poderão ser usados em outras abordagens.

O caso geral de várias DMUs a buscar eficiência em cooperação conduz a um modelo de optimização multiobjectivo não linear. Os teoremas demonstrados neste artigo permitem uma grande simplificação deste modelo, que reduz-se à resolução de uma, ou mais, equações algébricas lineares. Deve-se enfatizar que o uso do factor de proporcionalidade q não é uma opção dos autores. É uma decorrência da adopção da estratégia de redução proporcional. A exploração directa do modelo multiobjectivo não linear poderá conduzir a resultados interessantes, mas só pode ser efectuada com a adopção de outras estratégias de redução do nı́vel de output.

O estabelecimento de uma busca sequencial por alvos apresenta a vantagem gerencial de permitir que as unidades possam obter metas em curto prazo mais realistas. Do ponto de vista matemático, a busca sequencial fornece os meios para, no modelo DEA-GSZ, determinar uma situação ideal de fronteira uniformizada.

Um resultado importante é o facto de os dois problemas tradicionais em DEA (determinação da fronteira e busca de alvos) ficarem estreitamente acoplados no modelo DEA-GSZ, ou seja, a simples busca por eficiência altera a forma da fronteira.

Este novo modelo proposto apresenta um amplo potencial de aplicações práticas e novos desenvolvimentos teóricos, como: • Análise simultânea de mais de um output, com e sem restrições aos pesos; • DMUs que buscam a fronteira em competição; • Considerar a possibilidade de redução de inputs para as DMUs que tiveram redução no nı́vel de output, o que provocaria o deslocamento destas DMUs ao longo das camadas de iso-eficiência.

Entre as aplicações, além da já citada avaliação de eficiência em eventos desportivos com premiação total constante, exemplificada pelas olimpı́adas, podem-se citar: • Avaliação de eficiência em eleições, considerando-se o número constante de eleitores; • Estudo de desempenho de companhias aéreas em mercado altamente competitivo para uma rota de demanda considerada constante (por exemplo, ponte aérea Rio-São Paulo); • Avaliar polı́ticas públicas municipais, que visem promover o acesso dos cidadãos ao ensino superior, cujo total de vagas oferecidas é constante. Este estudo seria um refinamento do modelo apresentado em Soares de Mello et al. (2001) [18].

Finalmente, os resultados obtidos podem ser facilmente estendidos para modelos com soma de inputs constante, geometricamente equivalente a uma rotação de eixos, e pode ser aplicado à redistribuição de recursos, como é o caso de funcionários estáveis em empresas públicas.